Stetigkeit und Differenzieren < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:08 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen alle zusammen!
Hab noch ein paar Verständnisprobleme in Verbindung mit Stetigkeit und Differenzierbarkeit und hoffe, ihr könnt mir dabei helfen.
[mm] f_{0}, f_{1}, f_{2}, f_{3}: \IR \to \IR [/mm] seien definiert durch
[mm] f_{k}(x):=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x=0 \\ x^{k}*sin 1/x, & \mbox{für } x \not=0 \end{cases}
[/mm]
Jetzt soll ich z.B. zeigen, dass [mm] f_{0} [/mm] in 0 nicht stetig ist. Hab ich über Folgenstetigkeit gemacht, also hier noch kein Problem.
Nun soll ich zeigen, dass [mm] f_{1} [/mm] überall stetig ist, aber nicht in 0 differenzierbar.
Wie mach ich das hier mit der Stetigkeit?
Hab für den 2. Teil der Aufgabe erstmal die Ableitung gebildet, komme auf
f'(x)=sin(1/x)-cos(1/x)*1/x
Ist das jetzt deshalb in 0 nicht differenzierbar, weil x in 1/x nicht 0 sein darf?
Wenn ich jetzt [mm] f_{2} [/mm] betrachte un differenziere, komme ich auf
f'(x)= 2x*sin(1/x)-cos(1/x)
Hier ist angegeben, dass es überall differenzierbar ist. Wieso darf ich hier x=0 einsetzen?
[mm] f_{3} [/mm] soll stetig differenzierbar sein, Ableitung ist
[mm] f'(x)=3x^{2}*sin(1/x)-cos(1/x)*x
[/mm]
Wie kann ich das nachweisen? Hängt mit der obigen Frage zusammen, also wiese ich hier x=0 einsetzen darf.
Daraus ergibt sich, dass f''(0) nicht existiert, denn
f''(x)=6x*sin(1/x)-4cos(1/x)-sin(1/x)*1/x, weil ich hier wieder nicht x=0 einsetzen kann, oder?
liebe Grüße
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Guten Abend Franziska,
zu [mm] f_1: [/mm] Es ist ja [mm] \lim_{x\to 0} f_2(x)=0, [/mm] da [mm] -1\leq \sin (1\slash x)\leq [/mm] 1 und x gegen 0 konvergiert - soweit zur Stetigkeit.
Wenn Du die Ableitung von [mm] f_1 [/mm] bildest - was Du richtig getan hast - und deren Konvergenz
resp. Divergenz bei [mm] x\to [/mm] 0 betrachtest, so untersuchst Du ja stetige Diffbarkeit.
Koennen wir die Diffbarkeit nicht direkt via Definition untersuchen ?
Dann muesste ja der Grenzwert
[mm] \lim_{h\to 0} \frac{f_1(0+h)-f_1(0)}{h} [/mm] existieren. Es ist der Bruchterm (Differenzenquotient) gleich
[mm] \frac{h\cdot \sin (1\slash h) - 0}{h}=\sin (1\slash [/mm] h),
und hier siehst Du es: Bei [mm] h\to [/mm] 0 ''titscht'' dieser Term immer wieder zw. -1 und 1 komplett hin und her, konvergiert also nicht !!!
Also: Nicht nur nicht stetig diffbar an der Stelle 0, sondern noch nicht mal diffbar.
Bei [mm] f_2 [/mm] wiederum dasselbe: Untersuche nicht die Konvergenz von [mm] f_2' [/mm] bei [mm] x\to [/mm] 0, sondern die des Differentenquotienten von [mm] f_2, [/mm] und der ist (x=0+h wie oben) gleich
[mm] \frac{h^2\cdot \sin (1\slash h)}{h} [/mm] = [mm] h\cdot \sin (1\slash [/mm] h)
und dies konvergiert bei [mm] h\to [/mm] 0 gegen 0 (sin-Term beschraenkt).
Kommst Du damit weiter ?
Viele Gruesse,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Di 24.01.2006 | | Autor: | Janyary |
ich hab das ganze mal durchgeschaut und fand die tipps auch echt super, aber zu [mm] f_{3}(x) [/mm] haett ich noch ne frage.
[mm] f_{3}(x)=x^{3}*sin \bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] f_{3}'(x)=3x^{2}*sin \bruch{1}{x}+cos \bruch{1}{x}* (\bruch{-1}{x^{2}})
[/mm]
ist die ableitung so richtig?
wenn ich jetzt schauen moechte, ob [mm] f_{3}''(x) [/mm] existiert, wende ich doch darauf den diffenzenquotienten an, wie auch schon oben erklaert.
also setze ich wieder x=0+h
lim [mm] \bruch{f_{3}'(0+h) - f_{3}'(0)}{h} [/mm] dafuer eingesetzt, erhalte ich:
lim [mm] \bruch{f_{3}'(0)+f_{3}(h) - f_{3}'(0)}{h} [/mm] oder? also bleibt uebrig
lim [mm] \bruch{f_{3}'(h)}{h} [/mm] und das waer lim [mm] \bruch{3h^{2}*sin \bruch{1}{h}+cos \bruch{1}{h}* (\bruch{-1}{h^{2}})}{h}
[/mm]
= lim [mm] 3h*sin\bruch{1}{h}+cos \bruch{1}{h}* (\bruch{-1}{h^{3}})
[/mm]
existiert jetzt [mm] f_{3}''(0) [/mm] nicht, weil fuer [mm] h\rightarrow\00 [/mm] der rechte teil des term nicht definiert ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:51 Di 24.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Die Herleitung über die Ableitungen ist falsch. (Warum ziehst du $f'$ linear auseinander? Das ist nicht erlaubt.)
Bilde ganz einfach den Differenzenquotienten.
Aber auch [mm] $f_3'$ [/mm] war schon falsch
> [mm]f_{3}(x)=x^{3}*sin \bruch{1}{x}[/mm]
>
> [mm]f_{3}'(x)=3x^{2}*sin \bruch{1}{x}+cos \bruch{1}{x}* (\bruch{-1}{x^{2}})[/mm]
>
> ist die ableitung so richtig?
Hier muss es [mm] $\ldots [/mm] + [mm] \cos\left( \frac{1}{x} \right) \cdot [/mm] (-x)$
lauten, du hast vergessen bei der Produktregel mit [mm] $x^3$ [/mm] zu multiplizieren...
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Di 24.01.2006 | | Autor: | Janyary |
ah, ok.
also waer das lim [mm] \bruch{f_{3}'(0+h)-f_{3}'(0)}{h}
[/mm]
und eingesetzt dann: [mm] \limes_{h\rightarrow\00}\bruch{3h^{2}sin\bruch{1}{h}-h*cos\bruch{1}{h}}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow\00}3h*sin\bruch{1}{h}-cos\bruch{1}{h} [/mm] = [mm] -cos\bruch{1}{h} [/mm]
und da der grenzwert fuer [mm] h\to0 [/mm] nicht existiert, gibts auch [mm] f_{3}''(0) [/mm] nicht.
ist das so jetzt richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:49 Mi 25.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Bis auf das letzte Gleichheitszeichen (das darf man so nicht setzen, lass den Teil einfach weg) stimmt alles. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Liebe Grüße
Stefan
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