Stetigkeit und glm. Konvergenz < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:32 Do 06.10.2011 | | Autor: | studi_mr |
| Aufgabe | Sei a > 0 eine feste positive Zahl. Man zeige (i.) das die Funktionenreihe:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{a^{x+in}}{n^{1+a}}
[/mm]
für alle r > 0 auf dem Intervall [-r,r] gleichmäßig konvergiert und begründe(ii.), dass durch diese Reihe eine stetige Funktion auf [mm] \IR [/mm] definiert wird. |
Die Aufgabe stammt aus einer Klausur und ich würde die Lösung gerne verstehen, bin aber iwie weit davon entfernt.
Es wäre super nett, wenn mir das jemand möglichst einfach erklären könnte:
Die LSG:
(i.)
Betrachte [mm] \\
[/mm]
[mm] |\bruch{a^{x+in}}{n^{1+a}}| [/mm] = [mm] \bruch{|a^x| |a^{in}|}{n^{1+a}} \le \bruch{a^r}{n^{1+a}} [/mm] für x [mm] \in [/mm] [-r,r]
[mm] \\
[/mm]
Da a>0 ist konvergiert [mm] \summe_{i=i}^{\infty} \bruch{1}{n^{1+a}} [/mm] und somit auch [mm] \summe_{i=1}^{\infty}{\bruch{a^r}{n^{1+a}}}
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
Damit folgt mit einem Satz aus der Vorlesung, dass [mm] \summe_{i=1}^{\infty}{\bruch{a^{x+in}}{n^{1+a}}} [/mm] auf [-r,r] gleichmäßig konvergiert.
[mm] (ii.)\\
[/mm]
zz.: Grenzfunktion ist auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig
[mm] \\
[/mm]
Sei x [mm] \in \IR [/mm] beliebig, fest und wähle r [mm] \in \IR [/mm] mit x [mm] \in [/mm] [-r,r]
da die Reihe auf [-r,r] definiert und da für alle n: [mm] \bruch{a^{x+in}}{n^{1+a}} [/mm] auf [-r,r] stetig ist, ist die Grenzfunktion auf [-r,r] stetig, also auch insbesondere im Punkt x.
Da x beliebig war, ist die Grenzfunktion in jedem Punkt x [mm] \in \IR [/mm] stetig.
[mm] \\ [/mm] wie gesagt, ich verstehe die LSG nicht wirklich... also wäre echt nett, wenn mir da jemand helfen könnte.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Do 06.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
bitte sieh deinen post noch mal durch, da geht was mit n und i durcheinander, so ist die aufgabe ziemlich sinnlos, wenn n nicht gegeben ist.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Do 06.10.2011 | | Autor: | studi_mr |
Also das ist die Aufgabe 1:1 wie in der Klausur:
[img] 1 [mm] [/C:\Users\media\Desktop\aufgabe3]
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 Do 06.10.2011 | | Autor: | studi_mr |
Ahr okay also es gilt für die [mm] \summe_{n=1}^{\infty}{...}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 Do 06.10.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
also ist i die imaginäre Einheit und damit [mm] |a^{i*n}|=1
[/mm]
dass [mm] a^x [/mm] stetig ist und
$ [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{a^{x+in}}{n^{1+a}} =a^x* \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{a^{in}}{n^{1+a}} [/mm] $
Wo genau in dem Beweis liegt denn deine Schwierigkeit ?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Fr 07.10.2011 | | Autor: | studi_mr |
Hey leduart, vielen Dank für deine Antwort.
Also erstmal Teil (a)
Zunächst weiß ich nicht warum [mm] |a^{i*n}| [/mm] = 1 ist?
[mm] \\
[/mm]
Wenn dies aber der Fall ist,
ist die Abschätzung zu [mm] \bruch{a^r}{n^{1+a}} [/mm] absolut verständlich, weil der Definitionsbereich ja nur bis r geht.
Das läßt sich dann also bequem in [mm] \bruch{1}{n^{1+a}} [/mm] * [mm] a^r [/mm] zerlegen und klar ist, dass beides zusammen eine Nullfolge ergibt und damit die Reihe schon mal konvergieren kann.
[mm] \\
[/mm]
Dies müsste aber noch überprüft werden oder?
Also z.b. mit dem Abel-Dirichlet-Kriterium wäre dann
[mm] \\
[/mm]
cn = an * bn mit bn = [mm] a^r [/mm] und an = [mm] \bruch{1}{n^{1+a}}.
[/mm]
Da an eine monoton fallende Nullfolge ist und bn beschränkt ist
folgt die Konvergenz der Reihe.
[mm] \\
[/mm]
und folgt dann die gleichmäßige Kovergenz weil x [mm] \in [/mm] [-r,r] ein Kompaktum ist?
[mm] \\ [/mm] Also ich hab noch nicht so ganz verstanden wie das mit den Partialsummen funktioniert. Normalerweise würde ich ja,
wenn es sich um eine Funktionenfolge handeln würde, erstmal die punktweise Konvergenz prüfen und dann mit |f(x)-fn(x)| die gleichmäßige Konvergenz prüfen. ...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Fr 07.10.2011 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
dass e^{it}=cost+isint ist weisst du, daraus |e^{it}|=cos^2(t)+sin^2t=1 unabhängig von t
und a^{in}=e^(i*n*lna} jetzt t=n*lna
dass eine konvergente Folge mutipliziert mit nem konsanten faktor konvergiert, musst du wohl nicht beweisen, schad aber ja nix.
da du wohl vorraussetzen kanst, dass e^{lna*x} in einem kompakten intervall glm. stetig ist, und du dem GW deiner Folge einfach nen namen geben kannst kannst du den Beweis natürlich auch dann direkt machen, wie du angedeutet hast.
aber mit der stigkeit von e^x musst du das nicht, wenn die folge beschränkt ist.
als übung schadet es nichts ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
gruss leduart
|
|
|
|
