Stetigkeit via Subbasis < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Sa 03.03.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Man beweise:
Sind [mm] $(X,\mathcal{O}_1),(Y,\mathcal{O}_2)$ [/mm] topologische Räume, so ist eine Abbildung [mm] $f\colon X\to [/mm] Y$ genau dann stetig, wenn für eine beliebige Subbasis [mm] $\mathcal{S}_2$ [/mm] von [mm] $\mathcal{O}_2$ [/mm] die Mengen [mm] $f^{-1}(S),S\in\mathcal{S}_2$, [/mm] offen in [mm] $(X,\mathcal{O}_1)$ [/mm] sind. |
Moin, moin! Mein Topologie-Marathon geht weiter.
Mein (noch halber) Beweis:
[mm] "$\Rightarrow$":
[/mm]
Sei f stetig und sei [mm] $\mathcal{S}_2$ [/mm] eine bel. Subbasis von [mm] $\mathcal{O}_2$. [/mm]
Das bedeutet, man kann alle [mm] $O\in\mathcal{O}_2$ [/mm] schreiben als
[mm] $O=\bigcup_{i\in I}\left(\bigcap_{j=1}^{n}S_j\right), S_j\in \mathcal{S}_2$ [/mm] und
[mm] $f^{-1}(O)=f^{-1}\left[\bigcup_{i\in I}\left(\bigcap_{j=1}^{n}S_j\right)\right]=\bigcup_{i\in I}\left[f^{-1}\left(\bigcap_{j=1}^{n}S_j\right)\right]=\bigcup_{i\in I}\left[\bigcap_{j=1}^{n}\left(f^{-1}(S_j)\right)\right]\in\mathcal{O}_1~\forall~O\in\mathcal{O}_2$
[/mm]
(Daß dies alles für die Urbilder der Abbildung f gilt, habe ich früher schonmal bewiesen bzw. man findet es so auch im Anfangskapitel von "Mengentheoretische Topologie" von B.v.Querenburg; das dürfen wir als bekannt voraussetzen.)
Ich bin mir nicht sicher, aber ist nicht
[mm] $\bigcup_{i\in I}\left[\bigcap_{j=1}^{n}\left(f^{-1}(S_j)\right)\right]\subseteq f^{-1}(S_j)~\forall~j\in\left\{1,...,n\right\}$?
[/mm]
Denn sei [mm] $x\in \bigcup_{i\in I}\left[\bigcap_{j=1}^{n}\left(f^{-1}(S_j)\right)\right]$, [/mm] dann gibt's ein Element $ [mm] \bigcap_{j=1}^{n}\left(f^{-1}(S_j)\right)$, [/mm] s.d. [mm] $x\in \bigcap_{j=1}^{n}\left(f^{-1}(S_j)\right)$. [/mm] Daraus folgt [mm] $x\in f^{-1}(S_j)~\forall j\in\left\{1,...,n\right\}$. [/mm] Also [mm] $\bigcup_{i\in I}\left[\bigcap_{j=1}^{n}\left(f^{-1}(S_j)\right)\right]\subseteq f^{-1}(S_j)~\forall~j\in\left\{1,...,n\right\}$.
[/mm]
Dann würde ja gelten [mm] $f^{-1}(S_j)\in\mathcal{O}_1~\forall~j\in\left\{0,...,n\right\}$.
[/mm]
Die Rückrichtung mache ich später.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Sa 03.03.2012 | | Autor: | mikexx |
Ich versuche nun noch die Rückrichtung zu beweisen.
[mm] "$\Leftarrow":
[/mm]
Sei [mm] $\mathcal{S}_2$ [/mm] eine beliebige Subbasis von [mm] $\mathcal{O}_2$, [/mm] für die die Mengen [mm] $f^{-1}(S),S\in\mathcal{S}_2$, [/mm] offen in [mm] $(X,\mathcal{O}_1)$ [/mm] sind.
Sei [mm] $O\in\mathcal{O}_2$ [/mm] beliebig, dann kann man schreiben:
[mm] $O=\bigcup_{i\in I}\left(\bigcap_{j=1}^{n}S_j\right)$.
[/mm]
Nach Voraussetzung gilt [mm] $f^{-1}(S_j)\in\mathcal{O}_1~\forall~j=1,...,n$.
[/mm]
Dann ist auch [mm] $\bigcap_{j=1}^{n}f^{-1}(S_j)\in\mathcal{O}_1$. [/mm] Da beliebige Vereinigungen offener Mengen in der Topologie enthalten sind, ist auch [mm] $\bigcup_{i\in I}\left(\bigcap_{j=1}^{n}S_j\right)=O\in\mathcal{O}_1$.
[/mm]
Dies gilt für alle [mm] $O\in\mathcal{O}_2$.
[/mm]
Auch hier würde ich mich über ein Feedback freuen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 So 04.03.2012 | | Autor: | SEcki |
> Sei [mm]O\in\mathcal{O}_2[/mm] beliebig, dann kann man schreiben:
>
> [mm]O=\bigcup_{i\in I}\left(\bigcap_{j=1}^{n}S_j\right)[/mm].
>
> Nach Voraussetzung gilt
> [mm]f^{-1}(S_j)\in\mathcal{O}_1~\forall~j=1,...,n[/mm].
>
> Dann ist auch [mm]\bigcap_{j=1}^{n}f^{-1}(S_j)\in\mathcal{O}_1[/mm].
> Da beliebige Vereinigungen offener Mengen in der Topologie
> enthalten sind, ist auch [mm]\bigcup_{i\in I}\left(\bigcap_{j=1}^{n}S_j\right)=O\in\mathcal{O}_1[/mm].
Tipfehler?
> Dies gilt für alle [mm]O\in\mathcal{O}_2[/mm].
Und was zeigt das?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 So 04.03.2012 | | Autor: | mikexx |
Ja, das war ein Tippfehler, da soll bei dem Schnitt stehen
[mm] $f^{-1}(S_j)$.
[/mm]
Damit meine ich gezeigt zu haben, daß für jedes [mm] $O\in\mathcal{O}_2$ [/mm] gilt, daß [mm] $f^{-1}(O)\in\mathcal{O}_1$.
[/mm]
Also daß f stetig ist.
Korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 So 04.03.2012 | | Autor: | SEcki |
> Also daß f stetig ist.
Wenn dir [m]f^{-1}(\cup\cap M)=\cup\cap f^{-1}(M)[/m] klar ist.
SEcki
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 So 04.03.2012 | | Autor: | SEcki |
> Mein (noch halber) Beweis:
>
> "[mm]\Rightarrow[/mm]":
>
> Sei f stetig und sei [mm]\mathcal{S}_2[/mm] eine bel. Subbasis von
> [mm]\mathcal{O}_2[/mm].
>
> Das bedeutet, man kann alle [mm]O\in\mathcal{O}_2[/mm] schreiben als
Stop! Mach dir bitte die linke und rechte Seite noch einmal klar. Ich hoffe, du wirst die komplette Trivialität dieser Richtung erkennen.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 So 04.03.2012 | | Autor: | mikexx |
Ja, diese Beweisrichtung ist ja wirklich trivial und ich brech mir da einen ab. 
Ist f stetig, so gilt ja [mm] $f^{-1}(O)\in\mathcal{O}_1~\forall~O\in\mathcal{O}_2$.
[/mm]
Und da ja die Mengen einer Subbasis von [mm] $\mathcal{O}_2$ [/mm] gerade aus [mm] $\mathcal{O}_2$ [/mm] stammen, sind natürlich alle Urbilder der Elemente der Subbasis nach Voraussetzung in [mm] $\mathcal{O}_1$.
[/mm]
Ok?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 So 04.03.2012 | | Autor: | SEcki |
> Ok?
Ja.
SEcki
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