Stetigkeit von Abbildungen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:00 Do 02.06.2011 | | Autor: | xcrane |
| Aufgabe | | Es seien M, M' und M'' drei metrische Räume. f : M -> M' sei in a [mm] \in [/mm] M stetig. g : M' -> M'' sei in f(a) stetig. Zeigen Sie, dass dann auch die Hintereinanderausführung g [mm] \circ [/mm] f : M -> M'' in a stetig ist. |
Hallo.
Zunächst habe ich mir klar gemacht, was die Aufgabe oben überhaupt heisst.
(i) f : M -> M' in a stetig:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 : [mm] (|a-a_{0}| [/mm] < [mm] \delta [/mm] => |f(a) - f(a')| < [mm] \epsilon)
[/mm]
und
(ii)g : M' -> M'' in a stetig:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 : (|f(a')-f(a'')| < [mm] \delta [/mm] => |g(f(a') - g(f(a''))| < [mm] \epsilon)
[/mm]
Nun bin ich der Meinung, ich muss folgendes zeigen:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 : [mm] (|a-a_{0}-|f(a)-f(a')| [/mm] < [mm] \delta [/mm] => |f(a) - f(a')| - g(a') - g(a'')| < [mm] \epsilon)
[/mm]
Erste Frage:
Ist der Schluß richtitg, dass ich das zeigen muss?
Leider habe ich keinen Ansatz, wie ich das nun zeigen soll. Kann mir jemand auf due Sprünge helfen?
Vielen Dank.
Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 Do 02.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es seien M, M' und M'' drei metrische Räume. f : M -> M'
> sei in a [mm]\in[/mm] M stetig. g : M' -> M'' sei in f(a) stetig.
> Zeigen Sie, dass dann auch die Hintereinanderausführung g
> [mm]\circ[/mm] f : M -> M'' in a stetig ist.
> Hallo.
>
> Zunächst habe ich mir klar gemacht, was die Aufgabe oben
> überhaupt heisst.
> (i) f : M -> M' in a stetig:
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists \delta[/mm] > 0 : [mm](|a-a_{0}|[/mm] <
> [mm]\delta[/mm] => |f(a) - f(a')| < [mm]\epsilon)[/mm]
>
> und
>
> (ii)g : M' -> M'' in a stetig:
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists \delta[/mm] > 0 :
> (|f(a')-f(a'')| < [mm]\delta[/mm] => |g(f(a') - g(f(a''))| <
> [mm]\epsilon)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun bin ich der Meinung, ich muss folgendes zeigen:
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists \delta[/mm] > 0 :
> [mm](|a-a_{0}-|f(a)-f(a')|[/mm] < [mm]\delta[/mm] => |f(a) - f(a')| - g(a') -
> g(a'')| < [mm]\epsilon)[/mm]
>
> Erste Frage:
> Ist der Schluß richtitg, dass ich das zeigen muss?
Nein, das ist Unsinn. Du musst zeigen, dass [mm] $g\circ [/mm] f$ stetig ist, also
[mm]\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 : (|a-a'| < \delta => |(g\circ f)(a) - (g\circ f)(a')| < \epsilon)[/mm] ,
und da [mm] $(g\circ [/mm] f)(a) = g(f(a)) $ ist, heisst das ausgeschrieben:
[mm]\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 : (|a-a'| < \delta => |g(f(a)) - g(f(a'))| < \epsilon)[/mm] .
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Do 02.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Tipp: mit dem Folgenkriterium geht es einfacher als mit [mm] \varepsilon [/mm] und [mm] \delta
[/mm]
FRED
|
|
|
|
