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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Reaper |
| Aufgabe | Zeigen Sie :
[mm] \limes_{n\rightarrow0}(sinx/x) [/mm] = 1
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So jetzt haben wir in der UE eine andere uns bekannte Form von sinx eingesetzt, nämlich:
[mm] \summe_{k=0}^{ \infty} x^{2k+1}/(2k+1)! [/mm] /x = [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} x^{2k}/(2k+1)! [/mm] + 1 ....bis daher is noch klar....aber dann....
0 <= | [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} x^{2k}/(2k+1)! [/mm] | < [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} |x^{2k}| [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] * [mm] \summe_{k=2}^{ \infty} |x^{2k}| [/mm] = (geometrische Reihe) [mm] \limes_{x\rightarrow0} x^{2} [/mm] * [mm] 1/(1-x^2) [/mm] = 0
Haben wir dann etwa den Einschachtelungssatz verwendet? Wir haben das Ganze (Restglied) auf jeden Fall nach oben so abgschätzt dass wir auf eine geometrische Reihe kommen und daraus den Grenzwert berechnen. Die Rechenschritte sind klar. Nur wieso wird die Funktion in Betrag geschrieben? Und am Schluss kommen wir drauf dass die Funktion gegen 0 geht da wir sie durch beide Seiten eingeschachtelt haben oder..und dann is klar dass 1 + Restglied(=0) = 1 ist und somit die Aussage richtig war..darf man da überhaupt den Einschachtelungssatz nehmen bei Funktionen?
mfg,
Hannes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo Reaper!
Ihr habt einfach mittels einer einfachen Abschätzung gezeigt:
[mm] $\left| \frac{\sin(x)}{x} - 1 \right| \to [/mm] 0 [mm] \qquad [/mm] (x [mm] \to [/mm] 0)$,
und das ist genau dann der Fall, wenn
[mm] $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} [/mm] =1$
gilt.
Das siehst du ja sofort, wenn du dir einfach mal die Definition der Konvergenz vergegenwärtigst. Dort muss man ja im zweiten Fall auch
[mm] $\left| \frac{\sin(x)}{x} - 1 \right|$
[/mm]
betrachten.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:53 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Reaper!
Meines Erachtens hat hier mal wieder das Tippfehler-Teufelchen zugeschlagen  ...
Der vorletzte Term muss heißen: $... \ = \ [mm] x^2*\summe_{k=\red{0}}^{\infty}\left|x^{2k}\right| [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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Hallo,
also du kannst alternativ auch der Einfachheit halber die Regeln von de l'Hospital verwenden. Du hast mit
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin(x)}{x}
[/mm]
einen Ausdruck der Form [mm] \bruch{0}{0}. [/mm] Es gilt also
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin(x)}{x}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{(sin(x))'}{(x)'}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{cos(x)}{1}
[/mm]
=1
Viele Grüße
Daniel
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