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| Aufgabe | [mm] f(x)=\begin{cases} 0, x=0 \\ \bruch{sinx}{x}, x\not=0 \end{cases}
[/mm]
ist f stetig in [mm] x_{0}=0? [/mm] |
das war ne frage in der klausur, die ich irgendwie (ja, wie immer) falsch gemacht habe.
ich bin über die [mm] \epsilon-\delta-Def. [/mm] von Stetigkeit rangegangen (haben das einmal in der Übung gehabt, konnte mich aber nicht mehr an die vorgehensweise erinnern).
dann wäre doch [mm] \vmat{ x-x_{0} }<\delta [/mm] und da [mm] \delta>0 [/mm] ist ist x<0.
ich hab mir gedacht das ich daher [mm] f(x)=\bruch{sinx}{x} [/mm] für [mm] \vmat{ f(x)-f(x_{0}) }<\epsilon. [/mm] da ich dann aber 0/0 rechne und das ja nicht definiert ist hab ich mit sicherheit was falsch gemacht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:16 Di 20.02.2007 | | Autor: | statler |
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, x=0 \\ \bruch{sinx}{x}, x\not=0 \end{cases}[/mm]
>
> ist f stetig in [mm]x_{0}=0?[/mm]
> das war ne frage in der klausur, die ich irgendwie (ja,
> wie immer) falsch gemacht habe.
Das Ding ist in 0 nicht stetig, vielleicht machst du einfach etwas experimentelle Mathematik und berechnest mit dem TR die Werte für ein paar sehr kleine x'e.
Den richtigen Beweis kannst du dann z. B. mit Hilfe von de l'Hopital führen, wenn du das in der Vorlesung hattest. Oder über die Taylorreihe von sinx. Einen elementaren Beweis wüßte ich im Moment nicht, er hängt davon ab, wie der Sinus eingeführt worden ist.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Di 20.02.2007 | | Autor: | Jorgi |
Huhu :)
Vorab, bei solchen Aufgaben würde ich nicht die [mm]\varepsilon - \delta[/mm] Formulierungen benutzen, sondern über die "Grenzwerte" die Aufgabe angehen. Eigentlich immer .. ausser wenn die [mm]\varepsilon - \delta[/mm] Formulierungen ausdrücklich in der Aufgabenstellung verlangt wird .... *zitter* sie ist einfach schrecklich :)
Nun gut,
damit [mm]f[/mm] in 0 stetig ist, musst du
überprüfen, ob folgende Gleichheiten gelten :
[mm]\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)[/mm]
und
[mm]\lim_{x \to 0^-}f(x) = f(0)[/mm]
dabei ist [mm]\lim_{x \to 0^+}[/mm] der rechtsseitige und [mm]\lim_{x \to 0^-}[/mm] der linksseitige Grenzwert
ja .. es gilt folgendes
[mm]\lim_{x \to 0^+} f(x) =\lim_{x \to 0^+} \frac{sin(x)}{x} \underbrace{=}_{L'Hospital} \lim_{x \to 0^+}cos(x) = 1 \not= f(0) = 0[/mm]
beim linksseitigen Grenzwert analog :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 Di 20.02.2007 | | Autor: | celeste16 |
okay, danke für die tipps. auch wenn der weg total falsch war - das ergebnis war zumindest gleich
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