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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:43 Mi 22.02.2006 | | Autor: | Limboman |
Hallo!
Ich habe Probleme mit der dem Begriff der Stetigkeit.
Definition der Stetigkeit:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 mit der Eigenschaft:
|f(x)-f(a)| [mm] \le \varepsilon, [/mm] falls |x-a| [mm] \le \delta.
[/mm]
Ich verstehe das folgendermaßen:
Die Funktion f(x) besitzt in a einen Grenzwert f(a), wenn es zu jede [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] eine [mm] \delta-Umgebung [/mm] von a gibt, so daß fast alle Funktionswerte im [mm] \varepsilon-Streifen [/mm] liegen, falls die x-Werte auch im [mm] \delta-Streifen [/mm] liegen.
Ich hoffe ich habe das richtig verstanden.
Trotzdem verstehe ich nicht warum,
f(x)=x stetig
[mm] f(x)=x^{2} [/mm] nicht stetig
f(x)= [mm] x^{3} [/mm] stetig ist.
Kann mir da irgendjemand weiterhelfen und mir das so erklären das man es auch verstehen kann. Die beweise der Funktionen habe ich schon. Die bringen mir aber nicht das gewünschte Ergebniss.
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Hallo,
dein Text zur Definition ist nicht ganz einleuchtend. Erst mal muss das dann für alle x im Definitionsbereich gelten und zweitens ist das die Definition der Stetigkeit in einem Punkt (bei dir heißt er a). In etwas mehr Worten würde ich das so beschreiben:
Zu jedem beliebigen schmal vorgegebenen Streifen [mm] S_{\varepsilon}=\{(x,y)|f(x_{0})-\varepsilon
Gleichwertig zu dieser Definition ist diese hier:
[mm] f:D\to\IR [/mm] ist stetig in [mm] x_{0} \gdw \limes_{x\rightarrow x_{0}}=f(x_{0}).
[/mm]
Dadurch wird dieses Epsilon-Delta-Kriterium einleuchtend, finde ich. Mit dieser Definition findet man auch leicht Funktionen, für die das nicht gilt, also z.B. [mm] f(x)=x^{-1}. [/mm] Läuft nämlich [mm] x\to0 [/mm] so gibt's da ganz verschiedene Funktionswerte. Klar? Die von dir genannten Funktionen sind alle stetig. Wie kommst du darauf, dass sie nicht stetig sind? Allein anschaulich macht das keinen Sinn, wenn du die Graphen mal betrachtest.
Viele Grüße
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:09 Mi 22.02.2006 | | Autor: | Limboman |
Ja du hast recht ich habe mich in der zweiten Funktion verlesen da stand sie wäre nicht gleichmäßig stetig. Das ist natürlich ein Unterschied. Ich danke dir für die schnelle Antwort.
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