Stetigkeit von Funktionen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:42 Sa 09.12.2006 | | Autor: | Sharik |
| Aufgabe | Beweise den folgenden Satz:
Wenn zwei stetige Funktionen f,g: X [mm] \to \IR [/mm] in einer in X dichten Teilmenge D übereinstimmen, dann sind sie einander gleich.
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Hallo,
i) also "dicht" wurde definiert durch:
Eine Menge Y [mm] \subset \IR [/mm] heißt in X [mm] \subset \IR [/mm] dicht, wenn jedes x [mm] \in [/mm] X Grenzwert einer Folge [mm] (y_{n}) [/mm] mit [mm] y_{n} \in [/mm] Y ist.
ii) Eine Funktion ist stetig in a [mm] \in [/mm] X, wenn zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] > 0 existiert, so dass gilt Ix-aI < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] If(x)-f(a)I < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Nach i) ist dann D eine Teilmenge von Y, wobei Y dicht in X ist. Wenn ich jetzt zeigen kann, dass f,g in D übereinstimmen, dann kann man daraus folgern, dass diese Funktionen gleich sind.
Aber wie kann ich sowas zeigen?
Danke schon mal für die Mühe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:39 So 10.12.2006 | | Autor: | choosy |
> Beweise den folgenden Satz:
> Wenn zwei stetige Funktionen f,g: X [mm]\to \IR[/mm] in einer in X
> dichten Teilmenge D übereinstimmen, dann sind sie einander
> gleich.
>
> Hallo,
>
> i) also "dicht" wurde definiert durch:
> Eine Menge Y [mm]\subset \IR[/mm] heißt in X [mm]\subset \IR[/mm] dicht,
> wenn jedes x [mm]\in[/mm] X Grenzwert einer Folge [mm](y_{n})[/mm] mit [mm]y_{n} \in[/mm]
> Y ist.
> ii) Eine Funktion ist stetig in a [mm]\in[/mm] X, wenn zu jedem
> [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ein [mm]\delta[/mm] > 0 existiert, so dass gilt
> Ix-aI < [mm]\delta \Rightarrow[/mm] If(x)-f(a)I < [mm]\varepsilon.[/mm]
>
hattet ihr zufällig schon den Satz nach dem für stetige funktionen f und konvergente folgen [mm] $(x_n)$ [/mm] gilt, das
$lim [mm] f(x_n) [/mm] = f( lim [mm] x_n) [/mm] = f(x)$ ?
> Nach i) ist dann D eine Teilmenge von Y, wobei Y dicht in X
nein, da steht doch D ist eine in X dichte teilmenge....
> ist. Wenn ich jetzt zeigen kann, dass f,g in D
> übereinstimmen, dann kann man daraus folgern, dass diese
> Funktionen gleich sind.
> Aber wie kann ich sowas zeigen?
>
> Danke schon mal für die Mühe!
>
>
Mal sehen: Sei [mm] $x\in [/mm] X$ beliebig. Da [mm] $D\subset [/mm] X$ eine dichte Teilmenge ist, existiert eine Folge [mm] $(x_n)\subset [/mm] D$ mit [mm] $x_n\rightarrow [/mm] x$.
Insbesondere ist nun [mm] $f(x_n)=g(x_n)$, $n\in\IN$, [/mm] da f und g in D übereinstimmen.
Da f,g stetig sind, gilt dann
$f(x) = [mm] f(\lim x_n) [/mm] = [mm] \lim f(x_n) [/mm] = [mm] \lim g(x_n) [/mm] = [mm] g(\lim x_n) [/mm] = g(x)$
... nur so eine beweisskizze.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 So 10.12.2006 | | Autor: | Sharik |
> hattet ihr zufällig schon den Satz nach dem für stetige
> funktionen f und konvergente folgen [mm](x_n)[/mm] gilt, das
> [mm]lim f(x_n) = f( lim x_n) = f(x)[/mm] ?
Hallo choosy,
ich bin jetzt ein paar mal mein Skript durchgegangen und finde keinen Satz, der das wiedergibt. Das einzige, was in diese Richtung geht ist ein Satz der folgendes aussagt:
Die Grenzfunktion f: X [mm] \to \IR [/mm] einer gleichmäßig konvergenten Folge stetiger Funktionen ist immer stetig.
Daher weiß ich natürlich nicht ob ich das benutzen darf.
Könnte man denn den Satz aus der Aufgabe auch anders beweisen?
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Hallo Sharik,
> > hattet ihr zufällig schon den Satz nach dem für stetige
> > funktionen f und konvergente folgen [mm](x_n)[/mm] gilt, das
> > [mm]lim f(x_n) = f( lim x_n) = f(x)[/mm] ?
>
>
> Hallo choosy,
> ich bin jetzt ein paar mal mein Skript durchgegangen und
> finde keinen Satz, der das wiedergibt. Das einzige, was in
> diese Richtung geht ist ein Satz der folgendes aussagt:
> Die Grenzfunktion f: X [mm]\to \IR[/mm] einer gleichmäßig
> konvergenten Folge stetiger Funktionen ist immer stetig.
>
Nein, das ist ein komplett anderes thema.
> Daher weiß ich natürlich nicht ob ich das benutzen darf.
> Könnte man denn den Satz aus der Aufgabe auch anders
> beweisen?
>
Was choosy als satz bezeichnet hat, ist eigentlich genau die DEFINITION von stetigkeit einer funktion, muesst ihr gehabt haben. Schau nochmal in deinem skript nach, wie ihr die stetigkeit definiert habt.
VG
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 Mo 11.12.2006 | | Autor: | Sharik |
Ich hab nochmal nachgeschaut und nichts gefunden werde das jedoch übernehmen und mir einprägen.
Vielen Dank für die Hilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:24 Mo 11.12.2006 | | Autor: | Sharik |
| Aufgabe | Zeige, dass die "linearen" Funktionen, also die Funktionen der Form
f(x)=mx ,m [mm] \in \IR, [/mm] (1)
die einzigen stetigen Funktionen sind, die die Eigenschaft
für alle x,y [mm] \in \IR [/mm] ist f(x+y)=f(x)+f(y) (2)
haben. |
Als Anleitung dazu:
Zeige also, dass die Funktionen der Form (1) die Eigenschaft (2) haben, aber auch, dass stetige Funktionen mit der Eigenschaft (2) die Form (1) haben. Hinweis für letzteres : f(0+0)=? Wie hängen m und f(1) zusammen?
Teige (1) der Reihe nach für x [mm] \in \IN, [/mm] x [mm] \in \IZ [/mm] und für x [mm] \in \IQ. [/mm] Was liefert schließlich der Satz aus dem 1. Teil der Aufgabe?
Wie genau zeigt man das?
die Funktionen der Form (1) die Eigenschaft (2) haben:
f(x)+f(y)= mx+my = m(x+y) =f(x+y)
stetige Funktionen mit der Eigenschaft (2) die Form (1) haben:
f(0)=f(0+0)=f(o)+f(0) aber ich verstehe nicht was mir das helfen soll?
und f(1)=1m =m
das x [mm] \in \IN [/mm] , [mm] \IZ [/mm] , [mm] \IQ [/mm] ist habe ich gemacht weiß aber nicht, was das mit dem Satz zu tun hat.
Kann mir da bitte jemand helfen?
Danke schon mal....
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:24 Mi 13.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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