Stetigkeit von f in a < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Also letztes mal habe ich ja schon ein paar Lösungsansätze gebracht, jedenfalls so viel ich wusste. Und wurde dennoch kritisiert. Wenn ich aber nunmal nicht mehr weiss... -heul-
Nee, also mal im ernst: DANKE!!!!! ich merke schon verbesserung! Großes Lob an dieses Forum und alle die mitmachen!!!!
Ich habe also schon wieder eine Frage, besser eine Hausaufgabe. Folgendes:
Sei D [mm] \subseteq \IR [/mm] , a [mm] \in [/mm] D. Untersuchen Sie (Nachweis oder Gegenbeispiel), aus welcher der folgenden Bedingungen die Stetigkeit von f in a folgt.
(i) [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \forall \delta [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] D: |x-a|< [mm] \delta [/mm] und |f(x) - f(a)|< [mm] \varepsilon.
[/mm]
(ii) [mm] \forall \alpha \in [/mm] (0,1) [mm] \exists \beta [/mm] > 0: |f(x) - f(a)| < [mm] \varepsilon [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] D mit |x-a|< [mm] \delta
[/mm]
(iii) [mm] \forall \delta [/mm] 0 [mm] \forall \varepsilon [/mm] >0: |f(x)-f(a)| < [mm] \varepsilon [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] D mit |x-a| < [mm] \delta
[/mm]
ich hab das mit der Definition der stetigkeit nicht richtig verstanden, jedenfalls kann ich das nicht auf die gestellte aufgabe beziehen und diese bedingungen weder belegen noch widerlegen. bei (i) denke ich mal, mus die stetigkeit von f in a folgen, weil ja epsilon und delta jeweils größer null sind und der abstand x,a auch kleiner delta ist, so wie der abstand f(x),f(a) auch kleiner delta ist, oder so. oder nicht?
Danke für eure Hilfe schonmal im Vorraus!!!!!
Limes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 Mi 15.12.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Uwe
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> Sei D [mm]\subseteq \IR[/mm] , a [mm]\in[/mm] D. Untersuchen Sie (Nachweis
> oder Gegenbeispiel), aus welcher der folgenden Bedingungen
> die Stetigkeit von f in a folgt.
>
> (i) [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\forall \delta[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] x
> [mm]\in[/mm] D: |x-a|< [mm]\delta[/mm] und |f(x) - f(a)|< [mm]\varepsilon.
[/mm]
>
> (ii) [mm]\forall \alpha \in[/mm] (0,1) [mm]\exists \beta[/mm] > 0: |f(x) -
> f(a)| < [mm]\varepsilon[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] D mit |x-a|< [mm]\delta
[/mm]
>
Das ist mir völlig unkalr! Was hat da das $alpha$ zu suchen? Hast du wirklich alles richtig und vollständig abgeschrieben?
> (iii) [mm]\forall \delta[/mm] 0 [mm]\forall \varepsilon[/mm] >0: |f(x)-f(a)|
> < [mm]\varepsilon[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] D mit |x-a| < [mm]\delta
[/mm]
>
Auch das kann ich nicht lesen! Was ist das mit der ersten 0?
> ich hab das mit der Definition der stetigkeit nicht richtig
> verstanden, jedenfalls kann ich das nicht auf die gestellte
> aufgabe beziehen und diese bedingungen weder belegen noch
> widerlegen. bei (i) denke ich mal, mus die stetigkeit von f
> in a folgen, weil ja epsilon und delta jeweils größer null
> sind und der abstand x,a auch kleiner delta ist, so wie der
> abstand f(x),f(a) auch kleiner delta ist, oder so. oder
> nicht?
Da bin ich nicht deiner Meinung. Stelle dir doch zum Beispiel diese Funktion vor:
Der Funktionswert soll 1 sein für alle irrationalen Zahlen, 0 für alle rationalen Zahlen. Diese Funktion ist offenbar nicht stetig, erfüllt aber die Voraussetzungen von (i)
Mit lieben Grüssen
Paul
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Hallo ihr zwei Süßen,
ich möchte euch darauf aufmerksam machen, dass dieselbe Frage schon gestellt wurde. Daher bitte ich euch, alle weiteren Unklarheiten im Thread von Antiprofi fortzusetzen.
@Uwe: schalte dich doch mit Antiprofi mal mit einer persönlichen Nachricht kurz, evtl. seid ihr ja sogar in derselben Vorlesung.
Hugo
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