Stetigkeit von sinh und cosh < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 So 08.01.2012 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | Wir definieren die Funktionen cosh, sinh: [mm] \IR->\IR [/mm] durch
cosh x:= [mm] cos(ix)=\bruch{e^x+e^{-x}}{2},sinh [/mm] x:= [mm] -isin(ix)=\bruch{e^x-e^{-x}}{2}
[/mm]
Zeigen Sie:
1. Die Funktionen cosh und sinh sind stetig.
1. Die Funktion sinh ist streng monoton wachsend und besitzt eine stetige Umkehrfunktion [mm] sinh^{-1}: \IR->\IR [/mm] (auch arcsinh genannt) |
Habe schon bei der Stetigkeit meine Probleme, ich muss ja zeigen, das folgendes gilt:
|f(x)-f(a)|=|coshx-cosha|< [mm] \epsilon [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] D mit [mm] |z-a|<\delta
[/mm]
Ich würde dann eben die Definition mit dem e einsetzen, aber das bringt mich ja nicht wirklich weiter oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 So 08.01.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Wir definieren die Funktionen cosh, sinh: [mm]\IR->\IR[/mm] durch
>
> cosh x:= [mm]cos(ix)=\bruch{e^x+e^{-x}}{2},sinh[/mm] x:=
> [mm]-isin(ix)=\bruch{e^x-e^{-x}}{2}[/mm]
>
> Zeigen Sie:
>
> 1. Die Funktionen cosh und sinh sind stetig.
>
> 1. Die Funktion sinh ist streng monoton wachsend und
> besitzt eine stetige Umkehrfunktion [mm]sinh^{-1}: \IR->\IR[/mm]
> (auch arcsinh genannt)
> Habe schon bei der Stetigkeit meine Probleme, ich muss ja
> zeigen, das folgendes gilt:
>
> |f(x)-f(a)|=|coshx-cosha|< [mm]\epsilon[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] D mit
> [mm]|z-a|<\delta[/mm]
wo kommt den auf einmal das z her?
>
> Ich würde dann eben die Definition mit dem e einsetzen,
> aber das bringt mich ja nicht wirklich weiter oder?
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Stetigkeit zu zeigen. Es gibt einen Satz über die Komposition stetiger Funktionen, wenn ihr den schon hattet, ist der 'Beweis' ein Kinderspiel.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 So 08.01.2012 | | Autor: | hubbel |
Ah, sorry, vertippt, muss natürlich x lauten.
Wieso Komposition, habe es so verstanden, dass ich die Stetigkeit einzeln betrachten soll also einmal von cosh und sinh oder was genau meinst du? Ja diesen Satz hatten wir schon, er sagt aus, wenn f und g stetige Funktionen sind, ist auch die Verknüpfung stetig, verstehe aber nicht, was der mir hier bringen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 So 08.01.2012 | | Autor: | notinX |
> Ah, sorry, vertippt, muss natürlich x lauten.
>
> Wieso Komposition, habe es so verstanden, dass ich die
> Stetigkeit einzeln betrachten soll also einmal von cosh und
> sinh oder was genau meinst du? Ja diesen Satz hatten wir
> schon, er sagt aus, wenn f und g stetige Funktionen sind,
> ist auch die Verknüpfung stetig, verstehe aber nicht, was
> der mir hier bringen soll.
>
Na ja, dass die e-Fkt. stetig ist wurde doch bestimmt auch schon gezeigt in der Vorlesung, oder? und sowohl cosh als auch sinh sind Kompositionen der e-Fkt, somit also stetig q.e.d.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 So 08.01.2012 | | Autor: | hubbel |
Super, ja, das stimmt, wurde gezeigt, wollte ich eigentlich auch erstmal so machen, dachte aber das reicht nicht, aber natürlich, danke.
Wie sieht es aber mit dem zweiten Teil aus? Erstmal streng monotonwachsend heißt ja, wenn f(x) < f(y) für alle x,y [mm] \in [/mm] D mit x < y.
Wie zeige ich dies allgemein?
Und kann ich die Umkehrfunktion bilden, indem ich einfach versuche nach x umzubauen und dann x und y vertausche? Habe nämlich so das Gefühl, dass dies nicht gehen könnte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 So 08.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
streng monoton: f'(x)>0
aber du kannst auch für y>x f(y)-f(x)> 0 zeigen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 So 08.01.2012 | | Autor: | hubbel |
Das mit der Ableitung hatten wir so noch nicht, ich verstehe nur nicht, wie ich das mit dem f(x) mache, ich kann ja nicht einfach annehmen, dass x<y ist, irgendwie muss ich das doch zeigen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 So 08.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit der Voraussetzung x<y zeigst du f(x)<f(y)
bzw f(y)0f(x)>0
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 So 08.01.2012 | | Autor: | hubbel |
Ok, also:
für x<y gilt:
[mm] e^x
[mm] e^{-x}>e^{-y}
[/mm]
Aber was heißt das nun für [mm] e^x-e^{-x} [/mm] und [mm] e^y-e^{-y}?
[/mm]
Bin etwas verwirrt...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 So 08.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
erstmal voneinander abziehen! dann ein bissel rumprobieren wie man >0 zeigen kann , dabei die vors benutzen
klammer [mm] e^y [/mm] z. bsp mal aus un untersuch die fälle y>0
dann überleg, was du für y<0 machst. denk immer dran x<y
Aber man muss auch mal was tun! Beweise fallen für niemand vom himmel man muss eben oft auch mal rumprobieren.
vor der nächsten Frage: poste deine (mehrzahl) Experimente
Gruss leduart
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