Stetigkeit von x^2 < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Mo 14.01.2008 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | | Zeige, dass [mm] f(x)=x^2 [/mm] im Punkt [mm] x_{0} \in \IR [/mm] stetig ist. |
Ich denke, diese Aufgabe kann man mit Hilfe des Folgenkriteriums für Stetigkeit lösen.
Das heisst, ich muss ein Folge [mm] x_{n} [/mm] finden, welche gegen [mm] x_{0} [/mm] konvergiert, für n [mm] \to \infty [/mm] und daraus muss dann folgen dass [mm] f(x_{n}) [/mm] gegen [mm] f(x_{0}) [/mm] konvergiert für n [mm] \to \infty.
[/mm]
Doch was für eine Folge könnte ich wählen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:05 Mo 14.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Weg ist falsch! Folgenstetigkeit heisst für JEDE Folge von [mm] x_n [/mm] muss [mm] f(x_n) [/mm] konv.. wenn du also eine spezielle hast hilft das gar nix! (um Unstetigkeit zu beweisen kannst du ne spezielle wählen, wenn du eine einzige findest, wo du nicht konv. hast hast du die Unstetigkeit bewiesen.
hier musst du zeigen für jede Folge [mm] x_n [/mm] mit [mm] x_n [/mm] gegen [mm] x_0 [/mm] konvergiert die folge [mm] x_n^2 [/mm] gegen [mm] x_0^2.
[/mm]
Genauso leicht ist hier das [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] Kriterium, wenn du [mm] x^2-x_0^2=(x-x_0)(x+x_0) [/mm] verwendest. das brauchst du auch für das Folgenargument!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Do 17.01.2008 | | Autor: | jokerose |
ich habe diese Aufgabe nun mit Hilfe der [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Definition gelöst.
Wähle [mm] \delta [/mm] := [mm] \bruch{\varepsilon}{x+x_{0}}
[/mm]
Dann gilt für alle x [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] |x-x_{0}| [/mm] < [mm] \delta
[/mm]
[mm] |f(x)-f(x_{0})| [/mm] = [mm] (x-x_{0})(x+x_{0}) [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Ist dies so korrekt?
Mich würde aber doch noch interessieren, wie man diese Aufgabe mit Hilfe des Folgenkriteriums lösen könnte. Das habe ich leider nicht herausgefunden...!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Do 17.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> ich habe diese Aufgabe nun mit Hilfe der [mm]\varepsilon[/mm] -
> [mm]\delta[/mm] - Definition gelöst.
>
> Wähle [mm]\delta[/mm] := [mm]\bruch{\varepsilon}{x+x_{0}}[/mm]
>
> Dann gilt für alle x [mm]\in \IR[/mm] mit [mm]|x-x_{0}|[/mm] < [mm]\delta[/mm]
>
> [mm]|f(x)-f(x_{0})|[/mm] = [mm](x-x_{0})(x+x_{0})[/mm] < [mm]\varepsilon.[/mm]
>
> Ist dies so korrekt?
>
Mit ein wenig mehr Information, ja.
[mm] |f(x)-f(x_{0})|=|x²-x_{0}²|=|(x-x_{0})(x+x_{0})|=...
[/mm]
> Mich würde aber doch noch interessieren, wie man diese
> Aufgabe mit Hilfe des Folgenkriteriums lösen könnte. Das
> habe ich leider nicht herausgefunden...!
Nimm dir eine (allgemeine) Folge [mm] x_{n} [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x_{0}
[/mm]
Dann betrachte:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|f(x_{0})-f(x_{n})|=...
[/mm]
(Da einzige, was du weisst, ist der Grenzwert der Folge)
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Do 17.01.2008 | | Autor: | jokerose |
[mm] |f(x)-f(x_{0})|=|x²-x_{0}²|=|(x-x_{0})(x+x_{0})|
[/mm]
Nun setze ich x := [mm] x_{n}.
[/mm]
Da [mm] x_{n} [/mm] gegen [mm] x_{0} [/mm] konvergiert ergibt der erste Faktor also 0. Und dies ist dann logischerweise kleiner als [mm] \varepsilon.
[/mm]
Stimmt das so?
Aber ich habe so doch diesen Ausdruck gebraucht:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_{n}) [/mm] = [mm] f(\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}).
[/mm]
Und dies darf man ja nur bei stetigen Funktionen gebrauchen. Und zu diesem Zeitpunkt habe ich ja noch nicht gewusst, dass die Funktion stetig ist....!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 Do 17.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Bist du jetzt beim folgenkriterium oder beim [mm] \epsilon-\delta-Kriterium?
[/mm]
> [mm]|f(x)-f(x_{0})|=|x²-x_{0}²|=|(x-x_{0})(x+x_{0})|[/mm]
>
> Nun setze ich x := [mm]x_{n}.[/mm]
> Da [mm]x_{n}[/mm] gegen [mm]x_{0}[/mm] konvergiert ergibt der erste Faktor
> also 0.
Nicht ganz:
Beim Folgenkriterium gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|f(x_{n})-f(x_{0}|
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}|(x_{n})²-x_{0}²|
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}|(x_{n}-x_{0})*(x_{n}+x_{0})|
[/mm]
=...
Du musst jetzt aber am Ende auf [mm] f(x_{0}) [/mm] kommen
>
> Aber ich habe so doch diesen Ausdruck gebraucht:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_{n})[/mm] =
> [mm]f(\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}).[/mm]
Wenn du ihn benötigst, müsstest du das zeigen
Aber das brauchst du hier nicht
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Do 17.01.2008 | | Autor: | jokerose |
ja ich versuche immer noch die Aufgabe mit dem Folgenkriterium zu lösen.
also ich muss von [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|(x_{n}-x_{0})\cdot{}(x_{n}+x_{0})| [/mm]
nach [mm] f(x_{0}) [/mm] kommen.
Aber ich sehe einfach nicht, wie ich das machen kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Do 17.01.2008 | | Autor: | Marcel |
> ja ich versuche immer noch die Aufgabe mit dem
> Folgenkriterium zu lösen.
>
> also ich muss von
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|(x_{n}-x_{0})\cdot{}(x_{n}+x_{0})|[/mm]
>
> nach [mm]f(x_{0})[/mm] kommen.
>
> Aber ich sehe einfach nicht, wie ich das machen kann.
Hallo,
nein, wenn Du so rechnest, willst Du ja nachweisen, dass
[mm] $|f(x_n)-f(x_0)| \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
(Das ist gleichwertig mit [mm] $f(x_n)-f(x_0) \to [/mm] 0$ bzw. [mm] $f(x_n) \to f(x_0)$).
[/mm]
Und das ist dann klar, denn:
[mm] $x_n -x_0 \to [/mm] 0$, [mm] $x_n+x_0 \to 2x_0$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $|f(x_n)-f(x_0)|=|(x_n-x_0)*(x_n+x_0)|=|x_n-x_0|*|x_n+x_0| \to |0|*|2x_0|=0*2|x_0|=0$ [/mm]
(Stets: $n [mm] \to \infty$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Do 17.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jokerose,
beim Folgenkriterium hast Du zu zeigen:
Ist [mm] $(x_n)_n$ [/mm] irgendeine Folge mit [mm] $x_n \to x_0$, [/mm] so folgt schon [mm] $f(x_n) \to f(x_0)$ [/mm] (jeweils $n [mm] \to \infty$).
[/mm]
Wenn Du schon weißt, dass [mm] $a_n \to [/mm] a$ und [mm] $b_n \to [/mm] b$ [mm] $\Rightarrow$ $a_n*b_n \to [/mm] a*b$ ($n [mm] \to \infty$), [/mm] so ist die Aufgabe damit trivial:
Seien also [mm] $x_n$ [/mm] beliebig mit [mm] $x_n \to x_0$:
[/mm]
Wegen [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] folgt dann [mm] $f(x_n)=\left(x_n\right)^2=x_n*x_n \to x_0*x_0=\left(x_0\right)^2=f(x_0)$, [/mm] was zu zeigen war.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:56 Do 17.01.2008 | | Autor: | jokerose |
yep, jetzt ist's klar....! Vielen Dank.
Wäre ja soooo einfach gewesen. Ich wurde nur ein wenig verwirrt, durch die vielen verschiedenen Aussagen von den Usern...! 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:06 Do 17.01.2008 | | Autor: | Marcel |
> yep, jetzt ist's klar....! Vielen Dank.
> Wäre ja soooo einfach gewesen. Ich wurde nur ein wenig
> verwirrt, durch die vielen verschiedenen Aussagen von den
> Usern...!
Hi,
achso, weil leduart geschrieben hast, dass Du die Umformung mit der 3en binomischen Formel brauchst. Das ist aber typisch und liest man auch öfter:
Es ist meistens so zu verstehen:
Es ist nützlich...
Es kann Dir helfen...
.
.
.
Genauso liest man in vielen Beweisen:
"Wegen Satz sowieso müssen wir zeigen...", wobei man eigentlich sagen müßte:
"Nach Satz sowieso ist es hinreichend, zu zeigen..."
oder
"Nach Satz sowieso genügt es, zu zeigen..."
Da muss man sich manchmal ein wenig dran gewöhnen, dass das so formuliert wird...
Also, was Leduart sagen wollte:
Um per Definitionem nachzuweisen, dass gilt:
[mm] $a_n \to [/mm] a$
[mm] $\Rightarrow \left(a_n\right)^2 \to a^2$
[/mm]
kann man in diesem speziellen Fall mit der dritten binomischen Formel argumentieren.
Wenn man aber schon eine andere Regel zur Hand hat, die diese hier insbesondere impliziert (also als Spezialfall beinhaltet), finde ich, dass man diese andere durchaus ausnutzen sollte 
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 Do 17.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ich habe diese Aufgabe nun mit Hilfe der [mm]\varepsilon[/mm] -
> [mm]\delta[/mm] - Definition gelöst.
>
> Wähle [mm]\delta[/mm] := [mm]\bruch{\varepsilon}{x+x_{0}}[/mm]
nein, das geht so nicht. Das [mm] $\delta$ [/mm] darf zwar von [mm] $\varepsilon$ [/mm] und [mm] $x_0$ [/mm] abhängen, aber:
1.) Es muss [mm] $\delta [/mm] > 0$ sein, bei Dir ist dies je nach $x$ und [mm] $x_0$ [/mm] nicht mehr gegeben.
2.) Das [mm] $\delta$ [/mm] darf nur von Konstanten abhängig sein. Beachte, dass [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ und [mm] $x_0$, [/mm] wenn sie denn mal gewählt sind, dann als Konstanten zu betrachten sind. In diesem Sinne ist bei der Wahl von [mm] $\delta$ [/mm] das [mm] $\delta$, [/mm] wenn man von Konstanten Zahlen absieht, nur noch von [mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $\varepsilon$ [/mm] abhängig, man schreibt deshalb auch:
Zu einem beliebigen, aber festen [mm] $x_0$ [/mm] sei ein beliebiges, aber festes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gegeben. Zu zeigen ist die Existenz eines [mm] $\delta=\delta_{\varepsilon,x_0} [/mm] > 0$ mit ...
Also bei Dir ist [mm] $\delta=\delta_{\varepsilon,x_0,x}$, [/mm] und die $x$-Abhängigkeit darf nicht im [mm] $\delta$ [/mm] drinstecken!
Eine mögliche Wahl eines passenden [mm] $\delta$'s [/mm] findest Du z.B. hier:
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
in Beispiel 10.3
(Dort ist für eine fast gleiche Funktion die Stetigkeit in jedem [mm] $x_0 \not=0$ [/mm] nachgewiesen (dort ist die Funktion mit Deiner identisch), Du musst Dir dann halt hier nur noch überlegen, wie man bei Deiner Funktion zu [mm] $x_0=0$ [/mm] ein passendes [mm] $\delta [/mm] > 0$ wählt.)
Gruß,
Marcel
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