Stetigkeit vs. Glm. Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Mo 31.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo.
Ich habe irgendwie ein Problem bei der Unterscheidung von Stetigkeit und gleichmäßiger Stetigkeit. Natürlich kenne ich die Definitionen (X sei jetzt die gegebene Menge):
f heißt stetig im Punkt a:
$ [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] = [mm] \delta(\varepsilon)>0 \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X:
( |x-a| < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x) - f(a)| < [mm] \varepsilon) [/mm] $
So, das gilt aber nur für punktweise Stetigkeit. Die Funktion f ist (im Gesamten) stetig, wenn die obige Bedingung für alle a [mm] \in [/mm] X gilt.
Die Definition für gleichmäßig stetig lautet wie folgt:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] = [mm] \delta(\varepsilon)>0 \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] X: ( |x-y| < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x) - f(y)| < [mm] \varepsilon)
[/mm]
Ist das bisher so richtig?
Nur sehe ich den Unterscheid von glm. stetig zu "normaler" Stetigkeit nicht. Klar weiß ich, dass bei glm. Stetigkeit das [mm] \varepsilon [/mm] nur von [mm] \delta [/mm] abhängen darf. Ich kann das auch alles anwenden. Da liegt also nicht mein Problem.
Nur anschaulich wird mir das nicht klar. Defintionen benutzen kann ja jeder, aber ich möchte auch verstehn, was damit gemeint ist. Danke vielmals. Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:18 Mo 31.01.2011 | | Autor: | pyw |
> Hallo.
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> Ich habe irgendwie ein Problem bei der Unterscheidung von
> Stetigkeit und gleichmäßiger Stetigkeit. Natürlich kenne
> ich die Definitionen (X sei jetzt die gegebene Menge):
>
> f heißt stetig im Punkt a:
>
> $ [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists \delta[/mm] = [mm]\delta(\varepsilon)>0 \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] X: ( |x-a| < [mm]\delta \Rightarrow[/mm] |f(x) - f(a)| < [mm]\varepsilon)[/mm] $
Eine Kleinigkeit: [mm] \delta [/mm] ist hier abhängig von [mm] \varepsilon [/mm] und a, also [mm] \delta(\varepsilon, [/mm] a) anstelle von [mm] \delta(\varepsilon)
[/mm]
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> So, das gilt aber nur für punktweise Stetigkeit. Die
> Funktion f ist (im Gesamten) stetig, wenn die obige
> Bedingung für alle a [mm]\in[/mm] X gilt.
>
> Die Definition für gleichmäßig stetig lautet wie folgt:
>
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists \delta[/mm] = [mm]\delta(\varepsilon)>0 \forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] X: ( |x-y| < [mm]\delta \Rightarrow[/mm] |f(x) - f(y)| < [mm]\varepsilon)[/mm]
Das ist Ok.
> Ist das bisher so richtig?
>
> Nur sehe ich den Unterscheid von glm. stetig zu "normaler"
> Stetigkeit nicht. Klar weiß ich, dass bei glm. Stetigkeit
> das [mm]\varepsilon[/mm] nur von [mm]\delta[/mm] abhängen darf. Ich kann das
> auch alles anwenden. Da liegt also nicht mein Problem.
>
> Nur anschaulich wird mir das nicht klar. Defintionen
> benutzen kann ja jeder, aber ich möchte auch verstehn, was
> damit gemeint ist.
Wenn [mm] \delta [/mm] nur von [mm] \varepsilon [/mm] abhängt, bedeutet das anschaulich, dass die Steigung der Funktion f im Defbereich beschränkt ist. Sie wird also nicht beliebig groß oder klein.
Verdeutlichen kannst du dir das ganz gut an den Funktionsgraphen einiger Funktionen. z. B. ist f(x) gleichmäßig stetig mit [mm] \delta=\varepsilon. [/mm] Auch die Funktion g: [0, [mm] 1]\to \IR, x\mapsto x^2 [/mm] ist gleichmäßig stetig mit [mm] \delta=\frac{\varepsilon}{2} [/mm] (Nachrechnen ). In beiden Fällen ist die Steigung beschränkt.
Hingegen ist die Funktion [mm] f:(0,\infty)\to\IR, x\mapsto \frac{1}{x} [/mm] nicht gleichmäßig stetig, da sie für [mm] x\to [/mm] 0 gegen [mm] -\infty [/mm] strebt - also anschaulich die Steigung nahe an 0 beliebig groß ist.
Ein wichtiger im Zusammenhang stehender Satz ist, dass eine Funktion, die auf einem kompakten Intervall stetig ist, auch gleichmäßig stetig ist.
Gruß,
pyw
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Mo 31.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..ich rechne mal, ok ;)
Also (salopp)
[mm] |x^{2} [/mm] - [mm] y^{2}| [/mm]
= |x-y| |x+y|
< [mm] \delta [/mm] |x+y| < [mm] \delta [/mm] * 2 < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Somit [mm] \delta [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] /2
Geht das so? Natürlich noch ordentlich mit der Def. aufschreiben und so ;)
Aber es ist wirklich schwer, sich das anschaulich zu machen. Aber ich glaube, dass ich das verstanden habe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Mo 31.01.2011 | | Autor: | pyw |
> Hmm..ich rechne mal, ok ;)
>
> Also (salopp)
>
> [mm]|x^{2}[/mm] - [mm]y^{2}|[/mm]
>
> = |x-y| |x+y|
>
> < [mm]\delta[/mm] |x+y| < [mm]\delta[/mm] * 2 < [mm]\varepsilon.[/mm]
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> Somit [mm]\delta[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] /2
>
> Geht das so? Natürlich noch ordentlich mit der Def.
> aufschreiben und so ;)
Ja, das ist ok. Wie gesagt, müsste noch ordentlich aufgeschrieben werden.
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> Aber es ist wirklich schwer, sich das anschaulich zu
> machen. Aber ich glaube, dass ich das verstanden habe.
Das freut mich
Gruß
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