Stetigkeit zeigen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei die Funktion [mm]f : \IR \to \IR[/mm] gegeben durch
[mm]f(x):=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \in \IQ \\
0, & \mbox{für } x \not\in \IQ \end{cases}[/mm]
und sei die Funktion [mm]g : \IQ \to \IQ[/mm] gegeben durch [mm]g(x) := f(x)[/mm] für alle [mm]x \in \IQ[/mm].
Zeigen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
a) Die einzige Stelle, an der die Funktion f stetig ist, ist 0.
b) Die Funktion g ist stetig. |
Hallo zusammen,
ich möchte mich zunächst einmal um a) kümmern:
Wenn ich zeigen kann, dass f auch an einer anderen Stelle stetig ist, dann hätte ich die Aussage ja widerlegt.
Und wenn ich das richtig sehe, dann gibt es dafür ja etliche Fälle. Für x=1 hat die Funktion den Grenzwert 1, was auch dem Funktionswert an der Stelle 1 entspricht – damit (linker Grenzwert = rechter Grenzwert = Funktionswert) wäre die Funktion an der Stelle 1 konvergent.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Sa 17.11.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Sei die Funktion [mm]f : \IR \to \IR[/mm] gegeben durch
>
> [mm]f(x):=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \in \IQ \\
0, & \mbox{für } x \not\in \IQ \end{cases}[/mm]
>
> und sei die Funktion [mm]g : \IQ \to \IQ[/mm] gegeben durch [mm]g(x) := f(x)[/mm]
> für alle [mm]x \in \IQ[/mm].
> Zeigen oder widerlegen Sie die
> folgenden Aussagen:
>
> a) Die einzige Stelle, an der die Funktion f stetig ist,
> ist 0.
> b) Die Funktion g ist stetig.
>
>
> Hallo zusammen,
>
> ich möchte mich zunächst einmal um a) kümmern:
>
> Wenn ich zeigen kann, dass f auch an einer anderen Stelle
> stetig ist, dann hätte ich die Aussage ja widerlegt.
ja, das stimmt.
>
> Und wenn ich das richtig sehe, dann gibt es dafür ja
> etliche Fälle. Für x=1 hat die Funktion den Grenzwert 1,
> was auch dem Funktionswert an der Stelle 1 entspricht –
> damit (linker Grenzwert = rechter Grenzwert =
> Funktionswert) wäre die Funktion an der Stelle 1
> konvergent stetig.
So einfach ist das nicht. Betrachte den rechtsseitigen Greznwert [mm] $x\to [/mm] 1$.
[mm] $\lim_{n\to \infty}1+\frac{\sqrt 2}{n}$
[/mm]
Der Term ist für alle [mm] $n\in\mathbb{R}$ [/mm] irrational
Also gilt:
[mm] $\lim_{n\to \infty}f(1+\frac{\sqrt 2}{n})=0$
[/mm]
Außerdem gilt: $f(1)=1$
Du solltest Deine Aussage also nochmal überdenken.
>
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
Hallo notinX,
> So einfach ist das nicht. Betrachte den rechtsseitigen
> Greznwert [mm]x\to 1[/mm].
> [mm]\lim_{n\to \infty}1+\frac{\sqrt 2}{n}[/mm]
vermutlich ist das eine dumme Frage, aber ich muss ich sie einfach stellen: Von was wird hier der Grenzwert betrachtet? Wo kommt der Term [mm]1+\frac{\sqrt 2}{n}[/mm] her?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Sa 17.11.2012 | | Autor: | tagg |
Das ist einfach eine Folge, die er sich definiert hat, und die ein Gegenbeispiel zu deiner Vermutung oben ist. Er hat damit eine Folge gefunden, für die gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})=0 [/mm] , obwohl [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}=1 [/mm] ist und $ f(1) = 1 $ .
Um Stetigkeit zu zeigen, müsste für JEDE Folge [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n}) [/mm] = 1 mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}=1 [/mm] und $ f(1)=1 $ sein. Der "Term" da ist einfach eine Folge, für die es nicht klappt, weil eben jedes Folgenglied irrational ist.
Überdenke mal das, was du zeigen willst.
> Wenn ich zeigen kann, dass f auch an einer anderen Stelle
> stetig ist, dann hätte ich die Aussage ja widerlegt.
Du willst offenbar a) widerlegen. Geht das nur, indem du zeigst, dass f auch an einer anderen Stelle stetig ist? Was wäre denn, wenn f an KEINER Stelle stetig ist?
|
|
|
| |
|
> Das ist einfach eine Folge, die er sich definiert hat, und
> die ein Gegenbeispiel zu deiner Vermutung oben ist. Er hat
> damit eine Folge gefunden, für die gilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})=0[/mm] , obwohl
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}=1[/mm] ist und [mm]f(1) = 1[/mm] .
>
> Um Stetigkeit zu zeigen, müsste für JEDE Folge
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})[/mm] = 1 mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}=1[/mm] und [mm]f(1)=1[/mm] sein. Der
> "Term" da ist einfach eine Folge, für die es nicht klappt,
> weil eben jedes Folgenglied irrational ist.
>
> Überdenke mal das, was du zeigen willst.
> > Wenn ich zeigen kann, dass f auch an einer anderen Stelle
> > stetig ist, dann hätte ich die Aussage ja widerlegt.
>
> Du willst offenbar a) widerlegen. Geht das nur, indem du
> zeigst, dass f auch an einer anderen Stelle stetig ist? Was
> wäre denn, wenn f an KEINER Stelle stetig ist?
Wenn ich mir das richtig überlege, dann ist das Gegenbeispiel von notinX doch schon ein Teil der Lösung, oder?
Denn im Grunde gibt es ja zwei Fälle:
Entweder ist x rational (wie x=0) oder x ist irrational.
Wenn x rational ist, dann kann man eine Folge irrationaler Zahlen [mm]\left ( x_n \right )[/mm] bilden, welche gegen die rationale Zahl x konvergiert.
Dann wäre [mm]f(x_n) = 0[/mm] und damit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n) = 0 \neq \limes_{n\rightarrow\infty} x_n = f(x) = x[/mm] .
Im zweiten Fall, wenn x irrational ist, könnte man analog dazu eine Folge rationaler Zahlen [mm](x_n)[/mm] mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n = x[/mm] bilden.
Dann wäre [mm]f(x_n) = x[/mm] und damit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n) = x = \limes_{n\rightarrow\infty} x_n \neq f(x) = 0[/mm] .
So wäre die Funktion in keinem Fall stetig.
Ist das jetzt völliger Unsinn oder liege ich damit richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 So 18.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Das ist einfach eine Folge, die er sich definiert hat, und
> > die ein Gegenbeispiel zu deiner Vermutung oben ist. Er hat
> > damit eine Folge gefunden, für die gilt:
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})=0[/mm] , obwohl
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}=1[/mm] ist und [mm]f(1) = 1[/mm] .
> >
> > Um Stetigkeit zu zeigen, müsste für JEDE Folge
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})[/mm] = 1 mit
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}=1[/mm] und [mm]f(1)=1[/mm] sein. Der
> > "Term" da ist einfach eine Folge, für die es nicht klappt,
> > weil eben jedes Folgenglied irrational ist.
> >
> > Überdenke mal das, was du zeigen willst.
> > > Wenn ich zeigen kann, dass f auch an einer anderen Stelle
> > > stetig ist, dann hätte ich die Aussage ja widerlegt.
> >
> > Du willst offenbar a) widerlegen. Geht das nur, indem du
> > zeigst, dass f auch an einer anderen Stelle stetig ist? Was
> > wäre denn, wenn f an KEINER Stelle stetig ist?
>
> Wenn ich mir das richtig überlege, dann ist das
> Gegenbeispiel von notinX doch schon ein Teil der Lösung,
> oder?
>
> Denn im Grunde gibt es ja zwei Fälle:
> Entweder ist x rational (wie x=0) oder x ist irrational.
>
>
> Wenn x rational ist, dann kann man eine Folge irrationaler
> Zahlen [mm]\left ( x_n \right )[/mm] bilden, welche gegen die
> rationale Zahl x konvergiert.
>
> Dann wäre [mm]f(x_n) = 0[/mm] und damit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n) = 0 \neq \limes_{n\rightarrow\infty} x_n = f(x) = x[/mm]
Ja, aber nur, wenn x [mm] \ne [/mm] 0 ist.
> .
>
>
> Im zweiten Fall, wenn x irrational ist, könnte man analog
> dazu eine Folge rationaler Zahlen [mm](x_n)[/mm] mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n = x[/mm] bilden.
>
> Dann wäre [mm]f(x_n) = x[/mm]
Nein. Es ist [mm] f(x_n)=x_n
[/mm]
> und damit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n) = x = \limes_{n\rightarrow\infty} x_n \neq f(x) = 0[/mm]
> .
>
>
> So wäre die Funktion in keinem Fall stetig.
Doch ! In x=0 ist f stetig, warum ?
FRED
>
> Ist das jetzt völliger Unsinn oder liege ich damit
> richtig?
|
|
|
| |
|
> > Dann wäre [mm]f(x_n) = 0[/mm] und damit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n) = 0 \neq \limes_{n\rightarrow\infty} x_n = f(x) = x[/mm]
>
>
> Ja, aber nur, wenn x [mm]\ne[/mm] 0 ist.
> > Im zweiten Fall, wenn x irrational ist, könnte man analog
> > dazu eine Folge rationaler Zahlen [mm](x_n)[/mm] mit
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n = x[/mm] bilden.
> >
> > Dann wäre [mm]f(x_n) = x[/mm]
>
> Nein. Es ist [mm]f(x_n)=x_n[/mm]
Stimmt, das habe ich aber auch gemeint. (Kleiner Fehler, große Wirkung)
> > und damit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n) = x = \limes_{n\rightarrow\infty} x_n \neq f(x) = 0[/mm]
> > .
> >
> >
> > So wäre die Funktion in keinem Fall stetig.
>
>
> Doch ! In x=0 ist f stetig, warum ?
Tatsächlich – wie Du oben schon angemerkt hast. Wenn x=0 ist und [mm](x_n)[/mm] eine Folge irrationaler Zahlen mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (x_n) = x = 0[/mm], dann gilt:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n) = \limes_{n\rightarrow\infty} x_n = f(x) = x = 0[/mm]
Also ist die Aussage, dass f nur an der Stelle 0 stetig ist, wahr. (Ja?)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 20.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
