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| Aufgabe | Die Funktion f: [0,1] [mm] \to \IR [/mm] sei definiert durch
f(x) := [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{falls } x=0 \\ 0, & \mbox{falls } \mbox{ irrational} \\ \bruch{1}{q}, & \mbox{falls } x \not= 0 \mbox{ und } x=\bruch{p}{q}, \mbox{für } p,q\in\IN \mbox{teilerfremd} \end{cases}
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass f in jedem irrationalen Punkt in [0,1] stetig ist. |
Hallo!
Z.Z. $ [mm] \forall\varepsilon>0 \exists \delta [/mm] $ > 0 : $ [mm] (\forall [/mm] $ x : $ [mm] |x-x_0|<\delta =>|f(x)-f(x_0)|< \varepsilon) [/mm] $
Sei [mm] x_0\in(\IR [/mm] ohne [mm] \IQ), [/mm] dann gilt: [mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] = |f(x) - 0| = |f(x)| < [mm] \varepsilon [/mm] .
Wenn x irrational ist, wird das sowieso erfüllt, da [mm] \varepsilon [/mm] > 0.
Wenn [mm] x\in\IQ, [/mm] weiß ich das nicht so ganz genau. Es müssten ja Folgen rationaler Zahlen [mm] (x_n) [/mm] mit Gliedern p/q , [mm] (p,q\in\IN [/mm] teilerfremd) in [0,1] existieren, die gegen [mm] x_0 [/mm] gehen und deren Bilder gegen 0 gehen, also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n) [/mm] = [mm] f(x_0) [/mm] = 0. [mm] f(\bruch{p}{q}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{q}. [/mm]
Die Folge [mm] f(x_n) [/mm] = [mm] \bruch{1}{q_n} [/mm] geht ja gegen 0, denn um beliebig nahe an eine irrationale Zahl heranzukommen, müssen die Nenner q ja in [mm] \bruch{p}{q} [/mm] immer größer werden (p demnach auch). Ich weiß das ist schwammig und vllt sogar falsch, aber kann mir jemand vielleicht helfen bzw einen Ansatz geben, wie man die Aufgabe richtig löst?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Sa 19.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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