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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:33 Mo 10.07.2006 | | Autor: | kuminitu |
| Aufgabe | Definition Stetigkeit:
( [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 so [mm] dass,\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D mit [mm] |x-x_{0}|< \delta gilt:|f(x)-f(x_{0})|< \varepsilon)
[/mm]
Sei f:D->R gegeben.
Welche der folgenden Formulierungen sind äquivalent zur Stetigkeit von f in [mm] x_{0} \in [/mm] D?geben sie gegebenfalls Gegenbeispiele an:
[mm] (i)\forall \varepsilon \ge [/mm] 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 so [mm] dass,\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D mit [mm] |x-x_{0}|< \delta gilt:|f(x)-f(x_{0})|< \varepsilon
[/mm]
[mm] (ii)\forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta \ge [/mm] 0 so [mm] dass,\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D mit [mm] |x-x_{0}|< \delta gilt:|f(x)-f(x_{0})|< \varepsilon
[/mm]
[mm] (iii)\forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 so [mm] dass,\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D mit [mm] |x-x_{0}|\le \delta gilt:|f(x)-f(x_{0})| \le \varepsilon
[/mm]
[mm] (iv)\forall \varepsilon, \delta [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D mit [mm] |x-x_{0}|< \delta gilt:|f(x)-f(x_{0})|< \varepsilon [/mm] |
Hi,
ich bin leider nicht ganz sicher wie ich diese Aufgabe bearbeiten soll.
Ich denke (i) und (ii) sind nicht äquivalent zur Stetigkeitsdefinition, denn wenn ich zum Beispiel f(x) = x betreache kommt man ja auf folgendes:
Es sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 , [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon,
[/mm]
[mm] |x-x_{0}| [/mm] < [mm] \delta =>||x|-|x_{0}|| [/mm] < [mm] |x-x_{0}| \le\varepsilon. [/mm] und das sollte doch nicht stimmen oder?
Zu (iii) und (iv) weiss ich leider nicht ob es stimmt bzw. was sollte ich tun, wenn es äquivalent ist?
Bin über jede hilfe erfreut.
MFG
Ku
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:24 Di 11.07.2006 | | Autor: | PeterB |
Hi Sascha,
Ich denke ich verstehe die Aufgabe, aber ich verstehe nicht ganz was du darunter schreibst. Da die Zeit knapp zu sein scheint, schreibe ich einfach mal die Lösung hin:
Antwort: nur Eigenschaft (iii) ist äquivalent zur Stetigkeit.
Im Einzelnen:
(i) ist eine viel stärkere Aussage, da auch [mm] \varepsilon=0 [/mm] überprüft werden muss. d.h. diese Eigenschaft erfüllen nur konsante Funktionen. Ein Gegenbeispiel ist also eine beliebige nicht konstante stetige Funktion. z.B. deine Funktion f(x)=x mit beliebigem [mm] x_0 [/mm]. (Du zeigst, dass es für [mm] \varepsilon=0 [/mm] keine [mm] \delta [/mm] gibt, so dass die Bedingung erfüllt ist.
(ii) Diese Eigenschaft ist viel schwächer als die Stetigkeit: Jede Funktion erfüllt sie, da wir immer [mm] \delta=0 [/mm] wählen könne, und für [mm] x=x_0 [/mm] die Bedingung trivialer Weise erfüllt ist. Das heist ein Gegenbeispiel ist eine beliebige in [mm] x_0 [/mm] unstetige Funktion. z.B.:[mm] f(x)=0 [/mm] fall [mm] x
(iv) Diese Bedingung ist wieder viel stärker, wieder wird sie nur von konstanten Funktionen erfüllt. (siehe i): Und du musst nur für die Identität nur [mm] 0<\delta<\varepsilon [/mm] wählen, um einen Widerspruch zu erhalten.
(iii) Diese Bedingung ist nun equivalent, ein Beweis dafür ist leicht, aber nicht so nett auf zu schreiben. Ich bezeiche [mm] \varepsilon [/mm] und [mm] \delta [/mm] aus der Bedingung mit strichen, und mit [mm] \delta(\varepsilon) [/mm] ein mögliches delta. Dann geht der Beweis wie folgt:
[mm] stetig\Rightarrow [/mm](iii)
Sei ein beliebiges [mm] \varepsilon' [/mm] gegeben, dann erfüllt [mm] \delta':=\frac 1 2 \delta(\varepsilon') [/mm] die Bedingung, denn falls [mm] |x-x_0|\le \frac 1 2 \delta [/mm] folgt [mm] |x-x_0|< \delta [/mm] also [mm] [mm] |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon'[/mm] [mm] insbesondere [mm] [mm] |f(x)-f(x_0)|\le\varepsilon'[/mm] [mm].
Die andere Richtung geht genau so, nur dass man diesmal [mm] \delta:= \delta'(\frac 1 2 \varepsilon ) [/mm] betrachten muss.
Ich hoffe das reicht
Peter
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