Stetigkeitsbeweis < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Fr 12.01.2007 | | Autor: | MichiNes |
| Aufgabe | | Zeigen Sie mit der in der Vorlesung gegebenen Definition [mm] (\varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] -Methode), dass die Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] , [mm] f(x)=x^{n} [/mm] stetig ist. Was ändert sich am Beweis für f: [mm] \IC \to \IC [/mm] , [mm] f(z)=z^{n} [/mm] |
Hallo,
mal wieder ein Analysis-Übungsblatt 
Ich kenn die Definition von Stetigkeit. Trotzdem komm ich bei der Aufgabe nicht weiter, weil ich irgendwie aus dem [mm] |x-x_{0}|<\delta [/mm] nicht folgern kann, dass [mm] |f(x)-f(x_{0}|<\varepsilon.
[/mm]
Da muss man ja irgendwie ein [mm] \delta [/mm] in Abhängigkeit von [mm] \varepsilon [/mm] wählen, und das krieg ich irgendwie hier nicht hin.
Hat da jemand ne Idee??
Gruß Michi
PS.:
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:40 Fr 12.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dividier [mm] x^n-x_0^n [/mm] durch [mm] x-x_0, [/mm] dann schätz das Ergebnis ab.
[mm] \delta [/mm] hängt von der Stelle [mm] x_0 [/mm] ab!
machs erstmal mit [mm] f(x)=x^2, [/mm] entsprechend gehts mit [mm] x^n, [/mm] nu [mm] \delta [/mm] wird kleiner bei größerem n.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Fr 12.01.2007 | | Autor: | MichiNes |
Hallo und danke leduart, für deine ANtwort,
sorry dass ich wohl ein bisschen auf dem Schlauch stehe. Bin aber mit der Stetigkeit noch nicht so vertraut, da wir sie erst diese Woche eingeführt haben.
Du machst jetzt also den Rechenschritt: [mm] \bruch{|f(x)-f(x_{0})|}{|x-x_{0}|}. [/mm] Was soll der dann genau bringen? Ich versteh noch nicht so ganz, was ich dann da abschätzen kann/soll.
Habs auch mit [mm] f(x)=x^{2} [/mm] schon probiert und komme dann auf [mm] \bruch{x-\bruch{x_{0}^{2}}{x}}{1-\bruch{x_{0}}{x}}. [/mm] Was muss ich dann da abschätzen??
Danke übrigens!!
Gruß Michi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Fr 12.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hatte gesagt [mm] x^2-x0^2 [/mm] durch x-x0!!!
[mm] (x^2-x0^2):(x-x0)=x+x0 [/mm]
[mm] |x+x0|<2(|x0|+\delta) [/mm] wähle [mm] \delta<1 [/mm] und [mm] \delta<\varepsilon/(|x0|+1) [/mm] bzw [mm] min(1,\varepsilon/(|x0|+1))
[/mm]
statt 1 tuts auch ne andere Zahl
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Fr 12.01.2007 | | Autor: | MichiNes |
Hallo,
wie kommst du denn auf die Abschätzung??? Ich komm da irgendwie nicht ganz mit. Hab mal irgendwas versucht mit Dreiecksungleichung:
[mm] |x+x_{0}|=|x-x_{0}+x_{0}+x_{0}| \le |x-x_{0}|+|x_{0}+x_{0}|<\delta+2|x_{0}|
[/mm]
Das ist ja aber nicht das, was du hast. Wie bist du denn darauf gekommen?
Gruß Michi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 Fr 12.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
da es nur ums Abschätzen geht, war ich einfach großzügiger:
> [mm]|x+x_{0}|=|x-x_{0}+x_{0}+x_{0}| \le |x-x_{0}|+|x_{0}+x_{0}|<\delta+2|x_{0}|[/mm]
>
[mm] \delta+2|x_{0}|<2*\delta+2|x_{0}|
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Fr 12.01.2007 | | Autor: | MichiNes |
Ok dann hab ich jetzt immerhin verstanden, wie du auf die Abschätzung gekommen bist
Allerdings ist mir immer noch ein Rätsel, was das bringt. Du musst mich verstehen, ich kenn eben einfach noch keine einzige Aufgabe (bis auf die 1-2 trivialen Beispiele aus unserem Skript). Das einzige was ich kenn, ist die Definition von Stetigkeit. Und da kommt nirgends vor, dass man etwas durch etwas teilen soll. Also was hat mir das jetzt genau gebracht?
Danke schon mal für ne Antwort. Ich hoffe, dass ich wenigstens kurz davor bin, es zu verstehen *lol*
Gruß Michi
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Hallo
es kommt ja letzlich darauf an, [mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] abzuschätzen.
Du hast ja eigentlich nur die Bedingung [mm] 0<|x-x_0|<\delta [/mm] gegeben.
Genau aus diesem Grunde "teilt man" [mm] \left|\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right|
[/mm]
Besser gesagt, man klammert [mm] |x-x_0| [/mm] aus oder formt anderweitig um, um die Bedingung [mm] |x-x_0|<\delta [/mm] dann für die weitere Abschätzung benutzen zu können.
Das ist alles nicht so leicht zu verdeutlichen, ich denke aber, wenn du einige Beispiele gerechnet hast und dir ein paar [mm] \delta [/mm] s konstruiert hast, klappt das schon
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Fr 12.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib dir die Def. von Stetigkeit nochmal genau auf:
Du musst zu JEDEM [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] \delta [/mm] finden, so dass für [mm] |x-x0|<\delta [/mm] folgt [mm] f(x)-f(x0)<\varepsilon
[/mm]
jetzt hast du [mm] f(x)=x^2 [/mm] deshalb musst du für beliebige [mm] \varepsilon [/mm] ein passendes [mm] \delta [/mm] finden.
[mm] |x^2-x0^2|=|(x+x0)|*|x-x0|<\varepsilon [/mm] willst du [mm] x+x0<2x0+\delta [/mm] du musst [mm] \delta [/mm] so wählen, dass [mm] \delta*|x+x0|\le\varepsilon.
[/mm]
also z.Bsp delta [mm] =\varepsilon/(x+x0) [/mm] aber da steckt noch x drin, das vergrößer ich durch x0+1 und hab dann das gesuchte [mm] \delta, [/mm] das von der Stelle x0 abhängt.
aber das darf es auch.
entsprechend musst du mit [mm] x^n-x0^n [/mm] umgehen, da musst du [mm] \varepsilon [/mm] noch durch mehr als 2x0 teilen.
Probiers mal. (es gibt auch ausser deinem Skript noch Bücher mit Beispielen! und du kannst hier im matheraum rumsuchen!)
Gruss leduart
U
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Fr 12.01.2007 | | Autor: | MichiNes |
Ok ich komm immer näher ran....kann grad alles nachvollziehen.
Bei [mm] \delta=\bruch{\varepsilon}{|x+x_{0}|} [/mm] gilt aber [mm] \delta=\varepsilon. [/mm] Unsere Definition sagt aber es muss kleiner sein. Kann ich dann zum Beispiel auch [mm] \delta=\bruch{\varepsilon}{2|x+x_{0}|} [/mm] wählen??
Und warum ist [mm] x
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:42 Fr 12.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. du kannst [mm] \delta [/mm] immer kleiner machen, z.Bsp so wie dus vorgeschlagen hast.
2. i.A. betrachtet man kleine Intervalle, du hattest doch schon [mm] |x+x0|<2x0+\delta, [/mm] also entweder ist [mm] \delta \ge1, [/mm] dann nehm ich halt das, oder ich vergrößer [mm] 2x0+\delta [/mm] auf 2x0+1, siehe mein früheres post.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Sa 13.01.2007 | | Autor: | MichiNes |
Ok für [mm] f(x)=x^{2} [/mm] hab ich den Beweis jetzt hingekriegt.
Wie beziehe ich das jetzt auf [mm] x^{n}? [/mm]
Bei [mm] x^{2} [/mm] konnte ich [mm] |x^{2}-x_{0}^{2}|=|x-x_{0}||x+x_{0}| [/mm] anwenden.
Wie geht das bei [mm] |x^{n}-x_{0}^{n}|. [/mm]
Das hat doch sicher was mit dem binom. Lehrsatz zu tun. Hab auch diesbezüglich schon recherchiert, komme aber absolut auf kein Ergebnis.
Noch jemand ein Tipp vielleicht
Danke
Gruß Michi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Sa 13.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Michi!
Es gilt folgender Zusammenhang, den Du auch mittels  Polynomdivision zeigen kannst:
[mm] $x^n-a^n [/mm] \ = \ [mm] (x-a)*\left(x^{n-1}+a*x^{n-2}+a^2*x^{n-3}+...+a^{n-2}*x+a^{n-1}\right) [/mm] \ = \ [mm] (x-a)*\summe_{k=0}^{n-1}a^k*x^{n-1-k}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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