Stetigkeitskriterien < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 So 23.09.2007 | | Autor: | cutter |
| Aufgabe | Wie beweise ich die Äquivalenz der Stetigkeitskriterien:
1. Epsilon-Delta-Kriterium: [mm] f\colon [/mm] D [mm] \to \R [/mm] ist (lokal) stetig in [mm] x_0 \in [/mm] D genau dann, wenn
zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dass für alle x [mm] \in [/mm] D mit | x − x0 | < δ gilt: |f(x) - [mm] f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] .
2. Folgenkriterium: [mm] f\colon D\to \R [/mm] ist (lokal) stetig in [mm] x_0 \in [/mm] D, wenn [mm] \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)
[/mm]
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Lerne fuer eine Pruefung und weiss nicht genau, wie man dort die Aequivalenz zeigt.
Aus 2.) => 1.)
Es gilt
[mm] \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0) [/mm] also ist [mm] \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)-f(x_0)=0
[/mm]
Komm nicht so recht auf den entscheidenden Schritt....Kann mal einer helfen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:01 So 23.09.2007 | | Autor: | Blech |
> Wie beweise ich die Äquivalenz der Stetigkeitskriterien:
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> 1. Epsilon-Delta-Kriterium: [mm]f\colon[/mm] D [mm]\to \R[/mm] ist (lokal)
> stetig in [mm]x_0 \in[/mm] D genau dann, wenn
> zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert, so
> dass für alle x [mm]\in[/mm] D mit | x − x0 | < δ gilt:
> |f(x) - [mm]f(x_0)|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] .
>
> 2. Folgenkriterium: [mm]f\colon D\to \R[/mm] ist (lokal) stetig in
> [mm]x_0 \in[/mm] D, wenn [mm]\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)[/mm]
Schau Dir doch mal die Definition des Limes an.
Was genau bedeutet denn [mm]\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)[/mm]?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 So 23.09.2007 | | Autor: | cutter |
Das bedeutet,
dass der Abstand [mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] gegen 0 strebt , x gegen [mm] x_0 [/mm] strebt, also [mm] |x-x_0|< \delta [/mm] .Das ganze Kann ich dann durch Epsilion und Delta umaendern,da die Aussage fuer alle Epsilion und Delta größer Null gelten muss. Aber reicht das shcon ?=)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 So 23.09.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
wenn du das mit epsilon und delta umschreibst,erhäst du doch gerade die gewünschte Aussage. Damit ist die eine Richtung schon gezeigt. Die andere ist genau so, da du hier die epsilon und delta nur mit Folgen umschreiben musst.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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