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| Aufgabe | | Untersuchen Sie, ob [mm] a\in\IR [/mm] existiert, so dass die Funktion [mm] f:\IR \rightarrow \IR, f(x)=\begin{cases} sin \bruch{1}{x}, & \mbox{für } x\not=0 \\ a, & \mbox{für } x=0 \end{cases} [/mm] stetig ist. |
Ich weiß, dass sin [mm] \bruch{1}{x} [/mm] je weiter man an die 0 geht, immer stärker zwischen 1 und -1 pendelt. Letztlich hat diese Funktion bei 0 keinen Grenzwert für alle Folgen [mm] {x_n} [/mm] mit [mm] x_n \rightarrow [/mm] 0. Daher gibt es kein a, sodass die Funktion an dieser Stelle stetig ist.
Nur wie zeigt man das? Muss ich mir jetzt zwei Folgen nehmen, wobei eine gegen 1 und die andere gegen -1 geht? Wenn ja, welche?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Fr 07.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Untersuchen Sie, ob [mm]a\in\IR[/mm] existiert, so dass die Funktion
> [mm]f:\IR \rightarrow \IR, f(x)=\begin{cases} sin \bruch{1}{x}, & \mbox{für } x\not=0 \\ a, & \mbox{für } x=0 \end{cases}[/mm]
> stetig ist.
> Ich weiß, dass sin [mm]\bruch{1}{x}[/mm] je weiter man an die 0
> geht, immer stärker zwischen 1 und -1 pendelt. Letztlich
> hat diese Funktion bei 0 keinen Grenzwert für alle Folgen
> [mm]{x_n}[/mm] mit [mm]x_n \rightarrow[/mm] 0. Daher gibt es kein a, sodass
> die Funktion an dieser Stelle stetig ist.
Ja. Im Grunde willst du zeigen, dass die Funktion für kein
einziges [mm] a\in\IR [/mm] stetig fortsetzbar ist.
> Nur wie zeigt man das? Muss ich mir jetzt zwei Folgen
> nehmen, wobei eine gegen 1 und die andere gegen -1 geht?
> Wenn ja, welche?
Das ist so falsch. Das Problem ist, dass es mir gerade
schwer fällt dir einen Tipp zu geben ohne dir die Lösung
zu verraten.
edit: Ich sehe gerade, dass du es eigentlich weiter oben
schon richtig erläutert hast. Denk nochmal dadrüber nach.
Ich sage dir mal folgendes:
1. Ja, du musst dir zwei Folgen [mm] $x_n$ [/mm] und [mm] $y_n$ [/mm] überlegen.
2. Guck dir nochmal ganz genau die Definition der Folgenstetigkeit an.
3. Okay, vielleicht noch: Was wird wohl für [mm] $f(x_n)$ [/mm] bzw. [mm] $f(y_n)$ [/mm] gelten müssen?
Gruß
DieAcht
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Okay, ich sage also: Seien [mm] {x_n},{y_n} [/mm] Folgen mit [mm] x_n \rightarrow [/mm] 0+, [mm] y_n \rightarrow [/mm] 0-? Oder müssen das irgendwelche anderen Folgen sein? Wie wähle ich die Folgen denn optimal, so dass am Ende unterschiedliche Ergebnisse rauskommen. Ich brauche ja irgendwie etwas wie [mm] f(x_n) \rightarrow [/mm] 1 und [mm] f(y_n) \rightarrow [/mm] -1.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Fr 07.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Okay, ich sage also: Seien [mm]{x_n},{y_n}[/mm] Folgen mit [mm]x_n \rightarrow[/mm]
> 0+, [mm]y_n \rightarrow[/mm] 0-?
Kann, aber muss nicht.
> Oder müssen das irgendwelche
> anderen Folgen sein?
Hauptsache ist, dass die Folgen die gewünschte Eigenschaft haben (die Unstetigkeit von f zu beweisen).
> Wie wähle ich die Folgen denn
> optimal, so dass am Ende unterschiedliche Ergebnisse
> rauskommen. Ich brauche ja irgendwie etwas wie [mm]f(x_n) \rightarrow[/mm]
> 1 und [mm]f(y_n) \rightarrow[/mm] -1.
Ganz genau so ist es.
Die Sinus-Funktion hat immer mal wieder (immer nach [mm] 2\pi) [/mm] den Funktionswert 1, nämlich an den Stellen [mm] \bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2}+2\pi, \bruch{\pi}{2}+4\pi, [/mm] ... allgemein bei [mm] a_n=\bruch{\pi}{2}+n*2\pi. [/mm] Wenn du nun die Folge mit [mm] x_n=\bruch{1}{a_n} [/mm] nimmst, dann leistet die das Gewünschte.
Entsprechend gibt es eine Folge [mm] (b_n) [/mm] mit [mm] f(b_n)=-1, [/mm] aus der du [mm] y_n [/mm] konstruierst.
Gruß Sax.
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Okay, sei also [mm] {x_n} [/mm] eine Folge mit [mm] x_n \rightarrow [/mm] 0. Sei [mm] x_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{a_n}: \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{\infty}(-1)^i \bruch{(\bruch{1}{x_n})^{2i+1}}{(2i+1)!}=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{\infty}(-1)^i \bruch{a_n^{2i+1}}{(2i+1)!}. [/mm] Aber ich komme immer noch nicht weiter.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 Fr 07.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
warum bemühst du denn hier die Potenzreihendarstellung des Sinus ?
Schreib doch einfach
Sei [mm] (a_n) [/mm] die Folge mit [mm] a_n=\bruch{\pi}{2}+n*\pi [/mm] und [mm] (x_n) [/mm] die Folge mit [mm] x_n=\bruch{1}{a_n}.
[/mm]
Dann weist du zwei Dinge nach :
1. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n=0 [/mm] und [mm] x_n\not=0 [/mm] sowie
2. [mm] f(x_n)=1
[/mm]
und zwar 2. direkt : [mm] f(x_n)=sin(\bruch{1}{x_n})=sin(a_n)=sin(\bruch{\pi}{2}+n*\pi)=1
[/mm]
Dein Anfang " Okay, sei also [mm]{x_n}[/mm] eine Folge mit [mm]x_n \rightarrow[/mm] 0" ist sehr unglücklich formuliert. Du weist nämlich die Unstetigkeit von f nicht mit irgendeiner Folge [mm] (x_n) [/mm] nach sondern mit einer sehr speziellen (natürlich in Kombination mit [mm] (y_n) [/mm] ).
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Hallo Schuricht,
diese Aufgabe kannst Du auch ziemlich einfach über das Epsilon-Delta-Kriterium lösen.
Grüße
reverend
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Okay, mit dieser Stetigkeitsdeinition habe ich noch nicht wirklich gearbeitet. Es müsste ja sozusagen gelten:
Angenommen f sei stetig im Punkt [mm] x_0 [/mm] = 0. Dann gilt [mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta [/mm] >0: [mm] f(B_{\delta}(0))\subset B_{\varepsilon}(f(0)). [/mm] Ja, nur wie zeige ich, dass das Bild der kleinen [mm] \delta-Kugel [/mm] um 0 eine Teilmenge der [mm] \varepsilon-Kugel [/mm] der Funktionswerte von f(0) ist?
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Hallo nochmal,
> Okay, mit dieser Stetigkeitsdeinition habe ich noch nicht
> wirklich gearbeitet.
Ah, ok. Dabei ist sie einfacher und kommt meistens daher auch früher in den Vorlesungen.
> Es müsste ja sozusagen gelten:
>
> Angenommen f sei stetig im Punkt [mm]x_0[/mm] = 0. Dann gilt [mm]\forall \varepsilon[/mm]
> >0 [mm]\exists \delta[/mm] >0: [mm]f(B_{\delta}(0))\subset B_{\varepsilon}(f(0)).[/mm]
Nein, hier reicht vollkommen die Definition für Funktionen in [mm] \IR: [/mm] schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
> Ja, nur wie zeige ich, dass das Bild der kleinen
> [mm]\delta-Kugel[/mm] um 0 eine Teilmenge der [mm]\varepsilon-Kugel[/mm] der
> Funktionswerte von f(0) ist?
Du brauchst hier auch keine Kugeln, nur ein [mm] a\in[-1,1].
[/mm]
Nun kannst Du zeigen, dass für ein beliebig klein gewähltes [mm] \varepsilon [/mm] eben kein [mm] \delta [/mm] existiert, so dass die Funktionswerte in der [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] liegen, sondern in jeder noch so kleinen [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] um x=0 immer alle Funktionswerte von -1 bis +1 vorkommen.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:43 Fr 07.02.2014 | | Autor: | Schuricht |
Mhhh .. ich kann mir da jetzt leider nichts drauß nehmen. Trotzdem danke für die Antwort.
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