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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Sa 05.10.2013 | | Autor: | mathstat |
| Aufgabe | | Für Bernoulli Zufallsgrössen [mm] X_{1} [/mm] , ... , [mm] X_{n} [/mm] mit Parameter p, mit Wahrscheinlichkeit [mm] p_{0} [/mm] = 0.49 für die Null-Hypothese und [mm] p_{1} [/mm] = 0.51 für die Alternative. Verwende den Zentralen Grenzwertsatz um die Stichproben-Grösse abzuschätzen, so dass die Fehler 1.Art und 2.Art 0.01 betragen. Verwende eine Test Funktion, die die Nullhypothese ablehnt falls die Summe über alle [mm] X_{i} [/mm] gross ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also, meine erste grosse Problem ist, ich habe erst seit 3 Wochen Mathematische Statistik und unser Professor erklärt uns das ganze auch sehr schlecht.
Nun habe ich ein paar Internetseiten durchgeforstet, jedoch komme ich nicht ganz klar.
Also ich will keine Musterlösung oder dass es jemand vorlöst. Ich weiss, was der zentrale Grenzwertsatz ist. (Unser Prof hat es genau so definiert wie in Wikipedia)
Aber kann mir jemand erklären, wie man vom Zentralen Grenzwertsatz auf die Stichproben-Grösse kommen kann? Ich verstehe nicht, wie man da vorgehen muss.
Wäre dankbar für jede Hilfe!
Wie gesagt, ich will keine Musterlösung sondern den Zusammenhang zwischen dem Satz und dieser Aufgabe.
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Hallo,
> Für Bernoulli Zufallsgrössen [mm]X_{1}[/mm] , ... , [mm]X_{n}[/mm] mit
> Parameter p, mit Wahrscheinlichkeit [mm]p_{0}[/mm] = 0.49 für die
> Null-Hypothese und [mm]p_{1}[/mm] = 0.51 für die Alternative.
> Verwende den Zentralen Grenzwertsatz um die
> Stichproben-Grösse abzuschätzen, so dass die Fehler 1.Art
> und 2.Art 0.01 betragen. Verwende eine Test Funktion, die
> die Nullhypothese ablehnt falls die Summe über alle [mm]X_{i}[/mm]
> gross ist.
> Also, meine erste grosse Problem ist, ich habe erst seit 3
> Wochen Mathematische Statistik und unser Professor erklärt
> uns das ganze auch sehr schlecht.
> Nun habe ich ein paar Internetseiten durchgeforstet, jedoch
> komme ich nicht ganz klar.
> Also ich will keine Musterlösung oder dass es jemand
> vorlöst. Ich weiss, was der zentrale Grenzwertsatz ist.
> (Unser Prof hat es genau so definiert wie in Wikipedia)
> Aber kann mir jemand erklären, wie man vom Zentralen
> Grenzwertsatz auf die Stichproben-Grösse kommen kann? Ich
> verstehe nicht, wie man da vorgehen muss.
In deinem Test soll eine Teststatistik $T := [mm] \sum_{i=1}^{n}X_i$ [/mm] vorkommen.
Diese ist binomialverteilt: $T [mm] \sim [/mm] Bin(n,p)$, weil es Summe unabhängiger Bernoulli-verteilter ZV ist.
Wenn du mit den Fehlern des Tests rechnen musst, musst du ja Wahrscheinlichkeiten der Form [mm] $\IP(T \le [/mm] c)$ etc. bestimmen.
Wenn du das mit Hilfe der Binomialverteilung machst, ist es schwierig, das nach $n$ umzustellen. Daher sollst du stattdessen mittels der Normalverteilung approximieren.
Nutze also [mm] $\sqrt{n}\frac{T-n \cdot p}{\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}} \overset{D}{\to} [/mm] N(0,1)$ (Zentraler Grenzwertsatz) für große $n$. Dadurch kannst du beispielsweise nähern:
[mm] $\IP(T \le [/mm] c) [mm] \approx \IP\left(Z \le \sqrt{n}\frac{c-n \cdot p}{\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}}\right)$,
[/mm]
mit $Z [mm] \sim [/mm] N(0,1)$.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Sa 05.10.2013 | | Autor: | mathstat |
Danke für deine Hilfe, nun habe ich den Zusammenhang einigermassen verstanden.
Aber noch eine kleine Frage. Du schreibst ja P( T <= c ). Was ist bei dir mit c gemeint? Ist das die Wahrscheinlichkeit für den Fehler, also 0.01 oder wie ist diese zu verstehen?
Das kann ja gar nicht sein, da ich dann bei P(Z<= ... ) rechts eine negative Zahl Koeffizient bekommen würde.
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Hallo,
> Danke für deine Hilfe, nun habe ich den Zusammenhang
> einigermassen verstanden.
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> Aber noch eine kleine Frage. Du schreibst ja P( T <= c ).
> Was ist bei dir mit c gemeint? Ist das die
> Wahrscheinlichkeit für den Fehler, also 0.01 oder wie ist
> diese zu verstehen?
Nein. Dein Test sollte doch ungefaehr folgende Gestalt haben:
[mm] $\phi(X_1,...,X_n) [/mm] = [mm] \begin{cases}\mbox{Alternative}, & T(X_1,...,X_n) > c\\
\mbox{Nullhypothese}, & T(X_1,...,X_n) \le c\end{cases}$
[/mm]
(Siehe Aufgabenstellung: Test lehnt Nullhypothese ab, wenn [mm] $T(X_1,...,X_n) [/mm] := [mm] \sum_{i=1}^{n}X_i$ [/mm] zu gross ist). Dieses "zu groß" druecke ich durch die Konstante c aus, die noch genauer zu bestimmen ist.
Dazu ist zuerst der Fehler 1. Art auf 0.01 zu beschränken; damit kann c bestimmt werden:
$0.01 = [mm] \IP_0(\phi [/mm] = 1) = [mm] \IP_0(T [/mm] > c)$
(wobei [mm] $\IP_0$ [/mm] bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit unter der Nullhypothese mit [mm] p_0 [/mm] zu bilden ist)
Dann ist der Fehler 2. Art zu berechnen und das $n$ so gross zu wählen, dass auch dieser kleiner als 0.01 wird, d.h. folgende Gleichung zu loesen:
[mm] $\IP_1(\phi [/mm] = 0) = [mm] \IP_1(T \le [/mm] c) = 0.01$.
> Das kann ja gar nicht sein, da ich dann bei P(Z<= ... )
> rechts eine negative Zahl Koeffizient bekommen würde.
Wieso ist das schlimm? Eine normalverteilte Zufallsvariable nimmt auch negative Werte an.
Es ist für $Z [mm] \sim [/mm] N(0,1)$ zum Beispiel [mm] $\IP(Z \le [/mm] 0) = 0.5$.
Viele Grüße,
Stefan
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