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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Di 10.06.2008 | | Autor: | saskiabc |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Es handelt sich hier um eine konkrete Problemstellung aus der Biologie, eine Aufgabe aus einem Buch gibt es nicht:
Ich habe in einem pool (den man durchaus als Urne symbolisieren kann) 20 verschiedene "Klone" (wie Kugeln mit verschiedenen Farben). Ich gehe davon aus, dass jede Farbe mit der gleichen Häufigkeit vorkommt. Der pool ist so groß, dass die Entnahme einer Kugel nicht ins Gewicht fällt. Ich gehe daher davon aus, dass es sich um ein Laplace Experiment handelt. Wie kann ich jetzt berechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit für genau zwei gleiche Kugeln bei 5mal bzw. 20 mal "ziehen" ist? |
Was ich schon rausgefunden habe, ist dass ich 20hoch 5 verschiedene Ereignisse bei 5mal ziehen habe und die Wahrscheinlichkeit für fünf verschiedene wohl mit 20x19x18x17x16/20hoch5 (=0,5814) berechnet wird. Für fünf gleiche gibt es nur 20 Ergebnisse, somit die Wahrscheinlichkeit 20/20hoch5, also 1/20hoch4 ist. Aber wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für genau x gleiche, vor allem bei dann 20 Entnahmen? Oder hat jemand dafür einfach die passende Formel? Ich hoffe, das ist konkret genug, ich bin das erste Mal in diesem Forum und eben eigentlich Biologin. Ich hoffe aber, mein Experiment mit einer guten Abschätzung besser planen zu können.
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 Di 10.06.2008 | | Autor: | Disap |
Hallo.
> Es handelt sich hier um eine
> konkrete Problemstellung aus der Biologie, eine Aufgabe aus
> einem Buch gibt es nicht:
> Ich habe in einem pool (den man durchaus als Urne
> symbolisieren kann) 20 verschiedene "Klone" (wie Kugeln mit
> verschiedenen Farben). Ich gehe davon aus, dass jede Farbe
> mit der gleichen Häufigkeit vorkommt. Der pool ist so groß,
> dass die Entnahme einer Kugel nicht ins Gewicht fällt. Ich
> gehe daher davon aus, dass es sich um ein Laplace
> Experiment handelt.
Soweit liest sich das ganz gut.
>Wie kann ich jetzt berechnen, wie groß
> die Wahrscheinlichkeit für genau zwei gleiche Kugeln bei
> 5mal bzw. 20 mal "ziehen" ist?
Da finde ich persönlich deine Beschreibung ein bisschen lachs.
Du hattest oben geschrieben (ins mathematische übersetzt)
Es gibt 20 Kugeln in einer Urne, die alle verschiedene Farben haben.
Dann gehst du also davon aus, dass die Kugel nach dem Ziehen wieder zurückgelegt wird?
> Was ich schon rausgefunden habe, ist dass ich 20hoch 5
> verschiedene Ereignisse bei 5mal ziehen habe und die
Richtig. Für solche Sachen hilft es manchmal, mit kleinen Beispielen zu arbeiten.
Z. B. du hast vier Kugeln, die von 1 bis 4 durchnummiert sind und ziehst drei mal.
Dann kannst du eine aus Kugel 4 auswählen (also vier Möglichkeiten), die ziehst du, notierst diese, und schmeisst sie zurück in die Unre, dann kannst du für die Kugel wieder zwischen 4 wählen (wieder vier Möglichkeiten), und dann halt weiter beim ersten Punkt, also immer wieder 4 Kugeln auszuwählen...
> Wahrscheinlichkeit für fünf verschiedene wohl mit
> 20x19x18x17x16/20hoch5 (=0,5814) berechnet wird. Für fünf
Stimmt, denn das wird doch damit deutlich:
Du ziehst irgendeine Kugel, die Wahrscheinlichkeit dafür ist
[mm] \frac{20}{20}
[/mm]
Du legst diese Kugel wieder zurück (nachdem du sie sortiert hast)
JEtzt möchtest du eine andere Kugel haben, die verschieden ist
Es gibt jetzt nur noch [mm] \frac{19}{20} [/mm] Möglichkeiten.
Du notierst auch diese Kugel(nummer oder farbe) und schmesst sie zurück in die Urne, du ziehst ein drittes Mal. Es gibt noch 18 'nicht gezogene Kugeln'. Dass du davon eine erwischt, dafür ist die Wahrscheinlichkeit doch gerade
[mm] $\frac{20}{20}\frac{19}{20}\frac{18}{20} [/mm] = [mm] \frac{20*19*18}{20^3}$
[/mm]
Wenn du jetzt n mal ziehst und n verschiedene Kugel haben möchtest, kannst du sofort die Fertigformel damit herleiten
[mm] \frac{(20!)}{(20-n)! * 20^n}
[/mm]
Das Ausrufungszeichen bedeutet: Fakultät
> gleiche gibt es nur 20 Ergebnisse, somit die
> Wahrscheinlichkeit 20/20hoch5, also 1/20hoch4 ist. Aber wie
Wovon redest du eigentlich? [Der Unrnenumfang ist n=20. Du möchtest jetzt m mal Ziehen, und was sollen das für gleiche sein? Meinst du damit, dass maximal eine Farbe doppelt vorkommt und die anderen verschieden sind? Oder lässt du auch zu, dass z. B. die Farben Blau und Rosa auch doppelt und zehnfach vorkommen? 10 mal ziehen könnte ja liefern: Gelb, Blau, Blau, Blau, Blau, Blau, Rosa, Rosa, Rosa, Rosa. Vermutlich suchst du eine Formel, die dir alle Fälle abdeckt?]
Es gibt weitaus mehr als 20 Ergebnisse für gleiche Kugeln, stell dir mal vor, du hast in einer Urne 3 Kugeln, rot, grün und blau
Dann kannst du doch jetzt ziehen (PRoblem: Ziehen mit Zurücklegen)
rot, rot, rot
grün, grün, grün
blau, blau, blau
rot, grün, rot
rot, blau, rot
...
Das sind doch alles verschiedene Ereignisse!
> hoch ist die Wahrscheinlichkeit für genau x gleiche, vor
> allem bei dann 20 Entnahmen? Oder hat jemand dafür einfach
Also bei wirklich 20 Kugeln fällt mir da nichts einfaches ein. Auf Anhieb.
Mal Überlegen
Wenn wieder drei Kugeln in der Urne sind, dann ist doch alles komplett aufgeschrieben:
rot, rot, rot
rot, grün, rot
rot, blau, rot
rot, rot, grün
rot rot blau
grün, rot, rot
blau, rot, rot
Das sind 7 Ereignisse, jetzt kann man rot mit blau vertauschen, und einmal kann man rot mit grün vertauschen, dann gibt es
7*3 Ereignisse, bei denen mindestens eine Kugel beliebiger Farbe doppelt vorkommt (Bei 20 machst du mit dieser logischen herangehensweise aber mit großer Wahrscheinlichkeit einen Fehler. Und als Biologin hast du vermutlich auch nicht 20, sondern gleich ein paar Millionen?)
![[]](/images/popup.gif) Wikipedia: Ziehen mit Zurücklegen
Insgesamt gibt es in unserem Fall n = 3 Kugeln, k=3 mal wird gezogen
[mm] 3^3 [/mm] = 27
Wahrscheinlichkeit
p('mindestens zwei gleiche Kugeln') = [mm] \frac{21}{27}
[/mm]
GEgenprobe:
(rot, grün, blau)
(rot, blau, grün)
(grün, rot, blau)
(grün, blau, rot)
(blau, rot, grün)
(blau, grün, rot)
das sind die restlichen sechs Ereignisse. Die Überlegungen scheinen also zu stimmen (zumindest für das kleinere)
> die passende Formel? Ich hoffe, das ist konkret genug, ich
> bin das erste Mal in diesem Forum und eben eigentlich
> Biologin. Ich hoffe aber, mein Experiment mit einer guten
> Abschätzung besser planen zu können.
Da kann ich dir leider auch nicht helfen.
Man kann aber meine Basics noch etwas vereinfachen, nur bei 20 Mio hilft dir das auch nicht.
Wieder das obige Beispiel mit drei Kugeln
rot, rot, rot Ein Ereignis
rot, x, rot, x steht für eine beliebige Farbe ungleich rot. Wir haben zwei andere Farben, also 1*2 Ereignisse
Aber, jetzt kann das x an drei verschiedenen Positionen stehen, einmal
x, rot, rot
rot, x,rot
rot, rot, x
Insgesamt also 1*2*3 Ereignisse = 3! =6 Ereignisse
Summieren wir auf
6+1 = 7 Ereignisse
Jetzt haben wir aber doch drei Farben, die Fälle für blau (also blau statt rot schreiben) und einmal für grün
Deswegen 7*3 Ereignisse = 21. (die drei, weil drei verschiedene Kugelfarben)
Ein bisschen mehr Hintergrundwissen wäre für uns ganz interessant. Z. B. Größenumfang deines Pools und das genaue Modell, also Ziehen mit Zurücklegen oder ohne?
Viele Grüße
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:44 Di 10.06.2008 | | Autor: | saskiabc |
Hallo.
erst mal vielen Dank für die ausführliche Antwort. Ja, ich bin von ziehen mit zurücklegen ausgegangen, stand auch irgendwo im Betreff. Ich habe also 20 verschiedene Farben und ziehe im einen Experiment 5 mal und im nächsten 20 mal, jeweils mit zurücklegen. 5 gleiche, sorry für die Verwirrung, sollte heißen, ich erhalte im Experiment bei 5 mal ziehen 5 mal die gleiche Farbe. Dafür gibt es relativ logisch nur 20 Möglichkeiten (für jede Farbe eine), daher die Berechnung mit 20/20hoch5.
Ich möchte jetzt wirklich ausrechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit für genau zwei gleiche Farben ist. (dann komme ich schon weiter mit genau drei u.s.w. und kann mir auch andere Ereignisse berechnen.)
Zum Experiment: Ich habe ein künstliches Gen, das an einer Position variiert. Also eigentlich habe ich in einem pool 20 verschiedene Gene, alle gleich bis auf eine Aminosäurenposition. An dieser Position sind ziemlich gleich wahrscheinlich alle 20 codierenden Aminosäuren vorhanden. Dieses Gen kloniere ich in Bakterien, diese wachsen dann auf Nährstoffplatten heran und ich kann durch Sequenzierung feststellen, welche Aminosäure an der Stelle verschlüsselt ist. (es gibt dann also grüne, blaue, rote, gelbe... Bakterien). Jetzt möchte ich ein bisschen abschätzen können, wie wahrscheinlich doppelte sind, bzw. wie groß die Wahrscheinlichkeit für höchstens zwei gleiche ist. Mit meinem Schulwissen kam ich aber ad hoc über die Beispiele mit den kleinen Zahlen nicht hinaus. Bei den Zahlen, die Du als Beispiel genannt hast, habe ich keine Probleme.
Jetzt klarer?
Viele Grüße
Saskia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:09 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Disap |
Moin.
> erst mal vielen Dank für die ausführliche Antwort. Ja, ich
> bin von ziehen mit zurücklegen ausgegangen, stand auch
> irgendwo im Betreff. Ich habe also 20 verschiedene Farben
Den Betreff hatte ich wohl etwas ignoriert.
> Jetzt klarer?
Leider kann ich aus deinem Experiment nicht enthemen, um welches Modell es sich handelt.
Ich bin ja in meiner Antwort von einer "geordneten Stichprobe mit Zurücklegen" ausgegangen.
Das heißt, dass
(rot, rot, grün)
(grün, rot, rot)
ZWEI verschiedene Ereignisse sind.
Deinem Experiment nach würde ich aber entnehmen, dass du zwischen den beiden keinen Unterschied machst?
Also du möchtest die Ereignisse
(rot, rot, grün)
(grün, rot, rot)
NICHT unterscheiden (also das ist lediglich ein Ereignis)?
MfG
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:30 Mi 11.06.2008 | | Autor: | saskiabc |
> Moin.
> >
> Leider kann ich aus deinem Experiment nicht enthemen, um
> welches Modell es sich handelt.
> Ich bin ja in meiner Antwort von einer "geordneten
> Stichprobe mit Zurücklegen" ausgegangen.
> Das heißt, dass
> (rot, rot, grün)
> (grün, rot, rot)
> ZWEI verschiedene Ereignisse sind.
>
> Deinem Experiment nach würde ich aber entnehmen, dass du
> zwischen den beiden keinen Unterschied machst?
> Also du möchtest die Ereignisse
> (rot, rot, grün)
> (grün, rot, rot)
> NICHT unterscheiden (also das ist lediglich ein
> Ereignis)?
>
Moin auch,
ja, das ist richtig, ich muss und kann gar nicht unterscheiden zwischen (rot, rot, grün) und (grün, rot, rot) oder (rot, grün, rot). Aber für die Berechnung der Häufigkeit der Ereignisse ist es doch wohl wichtig zu wissen, auf wie viele verschiedene Arten das Ereignis zu Stande kommt, oder? Das ist doch dann wie bei der Augensumme bei zwei Würfeln? Es gibt für die Summe 4 drei Möglichkeiten: (2,2), (1;3) und (3;1) auch wenn ich die beiden Würfel nicht unterscheiden kann.
VG Saskia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:56 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Disap |
-gelöscht-
Der Artikel war leider etwas fehlerhaft.
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> Ich habe in einem pool (den man durchaus als Urne
> symbolisieren kann) 20 verschiedene "Klone" (wie Kugeln mit
> verschiedenen Farben). Ich gehe davon aus, dass jede Farbe
> mit der gleichen Häufigkeit vorkommt. Der pool ist so groß,
> dass die Entnahme einer Kugel nicht ins Gewicht fällt. Ich
> gehe daher davon aus, dass es sich um ein Laplace
> Experiment handelt. Wie kann ich jetzt berechnen, wie groß
> die Wahrscheinlichkeit für genau zwei gleiche Kugeln bei
> 5mal bzw. 20 mal "ziehen" ist?
> Was ich schon rausgefunden habe, ist dass ich 20hoch 5
> verschiedene Ereignisse bei 5mal ziehen habe und die
> Wahrscheinlichkeit für fünf verschiedene wohl mit
> 20x19x18x17x16/20hoch5 (=0,5814) berechnet wird. Für fünf
> gleiche gibt es nur 20 Ergebnisse, somit die
> Wahrscheinlichkeit 20/20hoch5, also 1/20hoch4 ist. Aber wie
> hoch ist die Wahrscheinlichkeit für genau x gleiche, vor
> allem bei dann 20 Entnahmen? Oder hat jemand dafür einfach
> die passende Formel? Ich hoffe, das ist konkret genug, ich
> bin das erste Mal in diesem Forum und eben eigentlich
> Biologin. Ich hoffe aber, mein Experiment mit einer guten
> Abschätzung besser planen zu können.
> Vielen Dank
hallo Saskia,
Disap hat dir schon eine ausführliche Antwort geschrieben.
Ich nehme an, dass man deine Bemerkung über die grosse
Anzahl der Individuen so auffassen kann, dass man ein
Urnenmodell mit Ziehungen mit Zurücklegen verwenden
darf.
Ganz zentral ist aber jetzt, dass du genau spezifizieren
kannst was du mit
"genau zwei gleiche Kugeln bei 5mal bzw. 20 mal ziehen"
exakt meinst. Um dies klar zu machen, wäre es eventuell
nützlich, wenn du noch etwas mehr über dein praktisches
Experiment und dessen Fragestellung berichtest.
LG al-Chwarizmi
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