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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:36 Di 27.04.2004 | | Autor: | phymastudi |
Hi Stefan!
Ich geb dir hier mal zwei problematische Aufgaben. ich werde dir morgen meine Lösungsidee schildern. Kannst du mir dann gegebenenfalls weiterhelfen??
Gruß Björn
1) Es werden vier Erzeugnisse geprüft. Gesucht sind zu den Ereignissen A={ Mindestens ein Stück ist einwandfrei} und B={ Höchstens ein Stück ist einwandfrei} die Ereignisse A geschnittenB, A(negiert), B(negiert), A(negiert) geschnitten B, A(negiert) geschnitten B (negiert) [mathematisch und in Worten]. Gilt A ohne B= B (negiert)?
2) Beweise oder widerlege für Indikatorfunktionen: 1A ist größergleich 1B genau dann, wenn A >(soll Teilmengenzeichen sein!) B; 1A vereinigt B= 1A+1B-1A*1B.
3) Bei einem Würfel W sei die sechs durch die Zahl i ersetzt. Man bestimme die relative Häufigkeit für das Ereignis "Würfeln einer geraden Augensumme mit den Würfeln W1, W2, W3" bei einem durchgeführten Experiment mit n größergleich 20. Ist ein möglicher Grenzwert zu erkennen? (mit Begründung)
Vielen Dank
Björn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:14 Mi 28.04.2004 | | Autor: | phymastudi |
Hallo.
Ich sitze jetzt geschlagene drei Stunden üner dem Beweis zu Aufgabe zwei und hab noch nicht einmal einen Ansatz.
Kann mir nicht jemand weiterhelfen?? Bitte!!!
Gruß Björn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Mi 28.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Björn!
> Ich geb dir hier mal zwei problematische Aufgaben. ich
zwei? 
> werde dir morgen meine Lösungsidee schildern. Kannst du
> mir dann gegebenenfalls weiterhelfen??
Welche Probleme hattest du denn hier bei diesen Aufgaben?
> 1) Es werden vier Erzeugnisse geprüft. Gesucht sind zu den
> Ereignissen A={ Mindestens ein Stück ist einwandfrei} und
> B={ Höchstens ein Stück ist einwandfrei} die Ereignisse A
> geschnittenB, A(negiert), B(negiert), A(negiert)
> geschnitten B, A(negiert) geschnitten B (negiert)
> [mathematisch und in Worten]. Gilt A ohne B= B (negiert)?
OK, ich versuche es mal für [mm] $A\cap [/mm] B$, ich denke, mit den anderen Teilaufgaben kommst du dann klar.
Ein Erzeugnis ist also entweder einwandfrei oder nicht. Wenn man das durch "1"="einwandfrei" und "0"="nicht einwandfrei" kennzeichnet, besteht die Grundmenge aus diesen 16 Ergebnissen:
[mm] $\Omega=\{0000, 0001, 0010, 0011, 0100,..., 1111\}$
[/mm]
Das Ereignis A läßt sich so bequem darstellen:
[mm] $A=\{0001,0010, 0011, 0100,..., 1111\}$ [/mm] oder noch bequemer: [mm] $A=\Omega\setminus \{0000\}$ [/mm] (wie du siehst, enthalten alle Ergebnisse in A eine 1, was heißt, dass mindestens ein Stück einwandfrei ist).
B ist auch einfach aufzuzählen: B besteht aus den Ergebnissen, bei in denen keine 1 vorkommt oder genau eine; also:
[mm] $B=\{0000,0001,0010, 0100, 1000\}$
[/mm]
Der Rest ist nun reine Mengenlehre:
[mm] $A\cap B=\{0001,0010, 0100, 1000\}$
[/mm]
Dies sind alle Ergebnisse, die genau ein einwandfreies Stück enthalten, was auch umgangsprachlich klar: "Höchstens eines und mindestens eines" ist eben "genau eines".
Der Rest dürfte dann doch aber klar sein, oder?
Der Übersichlichkeit halber fange ich einen neuen Artikel für die weiteren Aufgaben an. Ausserdem kannst du ja schon mal an Aufgabe 1 knabbern und deine Ergebnisse posten oder weiter fragen.
Bis gleich,
Marc
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Hi Marc!
erstmal danke für deine Lösungsansätze. Ich habe mich nun an den Aufgaben versucht und kann dir ja mal meine Ergebnisse offenbaren
Aufgabe 1: Das mit a geschnitten B habe ich genauso!
[mm] A(komplementär):=B\{(1000),(0100),(0010),(0001)}, [/mm] das bedeutet: kein Erzeugnis ist einwandfrei!
[mm] B(komplementär):=A\{(0000),(1000),(0100),(0010),(0001)}, [/mm] das bedeutet: 2,3 oder 4 Erzeugnisse sind einwandfrei!
A(komplementär) geschnitten B: kein Erzeugnis ist einwandfrei, da gilt:
A(komplementär):={(0000)} und B:={(0000),(1000),(0100),(0010),(0001)}
Der Schnitt aus diesen beiden Mengen wäre {(0000)}, also s.o.
A(komplementär) geschnitten B(komplementär): Das Ergebnis wäre die leere Menge, da A (komplementär):={(0000)} und B(komplementär):= [mm] A\{(0000)}
[/mm]
somit hat die Schnittmenge kein Element gemein, daher: leere Menge! NUR WAS BEDEUTET DAS FÜR MEINE ERZEUGNISSE???? Vielleicht, dass ich keine Aussage machen kann, oder dass es garkein Erzeugnis gibt???
[mm] A\B=B(komplementär)???: [/mm] meiner Meinung nach gilt diese Gleichung, da B(komplementär) bedeutet, dass die Menge alle Elemente von A enthält, ausser die gemeinsamen Elemente der Schnittmenge. Und das ist doch die selbe Aussage wie A ohne B [mm] (A\B)
[/mm]
Jetzt habe ich das alles erklärt (hoffentlich richtig), aber wie stelle ich das jetzt ordentlich mathematisch bewiesen dar???
Gruß Björn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:56 Mi 28.04.2004 | | Autor: | Marc |
hallo Björn!
Kann es sein, das dein Artikel nicht ganz vollständig ist?
> Aufgabe 1: Das mit a geschnitten B habe ich genauso!
>
> [mm] A(komplementär):=B\{(1000),(0100),(0010),(0001)}, [/mm] das
> bedeutet: kein Erzeugnis ist einwandfrei!
Woher kommt das B? Was soll die Menge?
Die Aussage "kein Erzeugnis ist einwandfrei stimmt aber komischerweise. Da ist irgendetwas durcheinander gekommen.
> [mm] B(komplementär):=A\{(0000),(1000),(0100),(0010),(0001)}, [/mm]
> das bedeutet: 2,3 oder 4 Erzeugnisse sind einwandfrei!
Hier das gleiche: Die Formel ist zusammenhangslos, die Aussage richtig.
> A(komplementär) geschnitten B: kein Erzeugnis ist
> einwandfrei, da gilt:
> A(komplementär):={(0000)} und
Hier steht jetzt plötzlich das richtige Ergebnis für [mm] A^C [/mm] ... komisch...
> B:={(0000),(1000),(0100),(0010),(0001)}
> Der Schnitt aus diesen beiden Mengen wäre {(0000)}, also
> s.o.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> A(komplementär) geschnitten B(komplementär): Das Ergebnis
> wäre die leere Menge, da A (komplementär):={(0000)} und
> B(komplementär):= [mm] A\{(0000)}
[/mm]
> somit hat die Schnittmenge kein Element gemein, daher:
> leere Menge! NUR WAS BEDEUTET DAS FÜR MEINE ERZEUGNISSE????
> Vielleicht, dass ich keine Aussage machen kann, oder dass
> es garkein Erzeugnis gibt???
Nein, das bedeutet, dass dieses Ereignis nicht eintreten kann
[mm] A^C [/mm] bedeutet ja umgangssprachlich: Kein Erzeugnis ist einwandfrei.
[mm] B^C [/mm] bedeutet dementsprechend: (Echt) mehr als 1 Erzeugnis ist einwandfrei, oder m.a.W.: Mindestens 2 Erzeugnisse sind einwandfrei.
Nun bedeutet ja [mm] $C\cap [/mm] D$: Ereignis C und Ereignis D treten ein.
Für [mm] $A^C\cap [/mm] D$ hieße das dann: Die Ziehung enthält kein einwandfreies Erzeugnis und mindestens 2 einwandfreie Erzeugnisse. Das ist unmöglich.
> [mm] A\B=B(komplementär)???: [/mm] meiner Meinung nach gilt diese
> Gleichung, da B(komplementär) bedeutet, dass die Menge alle
> Elemente von A enthält, ausser die gemeinsamen Elemente der
> Schnittmenge. Und das ist doch die selbe Aussage wie A ohne
> B [mm] (A\B)
[/mm]
>
> Jetzt habe ich das alles erklärt (hoffentlich richtig),
> aber wie stelle ich das jetzt ordentlich mathematisch
> bewiesen dar???
Du mußt doch nur die einzelnen auftretenden Mengen explizit aufschreiben. Versuche nicht, diese Gleichungen mit deinem umgangssprachlichen Verständnis zu zeigen, das ist viel zu kompliziert.
Wir hatten ja:
[mm] $X=\{0000,0001,0010, 0011, 0100,0101,0110,0111,1000,1001,1010,1011,1100,1101,1110,1111\}$
[/mm]
[mm] $A=\{0001,0010, 0011, 0100,0101,0110,0111,1000,1001,1010,1011,1100,1101,1110,1111\}$
[/mm]
[mm] $B=\{0000,0001,0010, 0100, 1000\}$
[/mm]
Nun ist [mm] $A\setminus B=\{0011,0101,0110,0111,1001,1010,1011,1100,1101,1110,1111\}$
[/mm]
Ausserdem ist
[mm] $B^C=X\setminus B=\{0011,0101,0110,0111,1001,1010,1011,1100,1101,1110,1111\}$
[/mm]
Das ist überraschenderweise die gleiche Menge, also gilt:
[mm] $A\setminus B=B^C$
[/mm]
Das umgangssprachliche Verständnis der ganzen Aufgabe würde ich also nur ganz am Anfang, beim expliziten Aufstellen der beteiligten Mengen einsetzen:
Also:
umgangssprachliches Verständnis einschalten
A={Mindestens ein Stück ist [mm] einwandfrei}=$\{0001,0010, 0011, 0100,0101,0110,0111,1000,1001,1010,1011,1100,1101,1110,1111\}$
[/mm]
B={Höchstens ein Stück ist [mm] einwandfrei}=$\{0000,0001,0010, 0100, 1000\}$
[/mm]
umgangssprachliches Verständnis ausschalten
mathematische Logik einschalten
Ab hier kannst du nun die ursprüngliche Bedeutung von A und B komplett vergessen, denke nicht mal mehr daran!
Na ja, jedenfalls hat mir das (damals) geholfen, solche Aufgaben zu verstehen. Ich hoffe, dir jetzt auch...
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 Mi 28.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Björn,
nun zur Aufgabe 2.
> 2) Beweise oder widerlege für Indikatorfunktionen:
> 1A ist größergleich 1B genau dann,
> wenn A >(soll Teilmengenzeichen sein!) B; 1A vereinigt
> B=
> 1A+1B-1A*1B.
Eine Indikatorfunktion ist eine zu einer bestimmten Menge A gebildete Funktion, die ein Element einer (übergeordneten Menge) genau dann auf 1 abbildet, wenn das Element in A liegt, sonst auf 0. Formal:
Sei [mm] $A\subseteq [/mm] X$.
[mm]\begin{array}{llll}
1_A: & X & \to & \{0,1\} \\
&x & \mapsto & \left\{\begin{matrix}1, & x\in A \\0, & x\not\in A\end{matrix}\right. \\
\end{array}[/mm].
Nun ist zunächst z.z.: [mm] $1_A\ge1_B \;\;\gdw\;\; A\supseteq [/mm] B$
Ich untersuche die beiden Implikationen, die das [mm] "$\gdw$" [/mm] bilden, einzeln:
[mm] "$\Rightarrow$": $1_A\ge1_B \;\;\Rightarrow\;\; A\supseteq [/mm] B$
Wir müssen zeigen, dass aus [mm] $x\in [/mm] B$ folgt, dass [mm] $x\in [/mm] A$ (das bedeutet [mm] $B\subseteq [/mm] A$)
Sei [mm] $x\in [/mm] B$ und es gelte [mm] $1_A(x)\ge1_B(x)$
[/mm]
Die drei möglichen Fälle sind nun:
a) [mm] $1_A(x)=0$, $1_B(x)=0$ $\Rightarrow x\not\in [/mm] A [mm] \wedge x\not\in [/mm] B$ (dieser Fall kann also nicht eintreten, da [mm] $x\in [/mm] B$ n.V.)
b) [mm] $1_A(x)=1$, $1_B(x)=0$ $\Rightarrow x\in [/mm] A [mm] \wedge x\not\in [/mm] B$ (dieser Fall kann also nicht eintreten, da [mm] $x\in [/mm] B$ n.V.)
c) [mm] $1_A(x)=1$, $1_B(x)=1$ $\Rightarrow x\in [/mm] A [mm] \wedge x\in [/mm] B$
[mm] "$\Leftarrow$": $1_A\ge1_B \;\;\Leftarrow\;\; A\supseteq [/mm] B$
Das überlasse ich dir zur Übung bzw. versuche es erst mal selbst, bevor ich weiterrechne 
Zur zweiten Aussage [mm] $1_{A\cup B}=1_A+1_B-1_A*1_B$.
[/mm]
Für ein Element [mm] $x\in [/mm] X$ kann ja nur einer der vier Fälle gelten:
a) [mm] $x\not\in [/mm] A, [mm] x\not\in [/mm] B$
b) [mm] $x\not\in [/mm] A, [mm] x\in [/mm] B$
c) [mm] $x\in [/mm] A, [mm] x\not\in [/mm] B$
d) [mm] $x\in [/mm] A, [mm] x\in [/mm] B$
Mit diesen vier Fällen würde ich die Behauptung mal überprüfen.
Melde dich einfach, falls Probleme auftauchen!
Viel Erfolg,
Marc
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Hallo Marc,
hier meine meine Lösungsidee! Meinst das ist richtig???
Sei X der Grundraum, [mm] A\subseteq X [/mm] . Dann heisst die Zufallsvariable
[mm] \begin{array}{llll}
1_A: & X & \to & \{0,1\} \\
&x & \mapsto & \left\{\begin{matrix}1, & x\in A \\0, & x\not\in A\end{matrix}\right. \\
\end{array} [/mm]
Interpretation: [mm] 1_A(x)=0 [/mm] als Niete, [mm] 1_A(x)=1 [/mm] als Treffer.
zunächst beweise ich:
Seien A,B (echte teilmenge) von X mit Indikatorfunktion [mm] 1_A[/mm] und [mm] 1_B [/mm]. Dann ist [mm] 1_{A\cap B}= 1_A*1_B[/mm]!
Fall 1: $x [mm] \in A\cap [/mm] B$ [mm] \gdw [/mm] [mm] $x\in [/mm] A$ und [mm] $x\in [/mm] B$ [mm] \gdw [/mm]
[mm] 1_A(x)=1=1_B(x) [/mm]. In diesem Fall ist [mm] 1_{A\cap B}(x)= 1=(1_A*1_B)(x)[/mm].
Fall2: [mm] $x\not\in A\cap [/mm] B[mm] \gdw [/mm] [mm] $x\not\in [/mm] A$ oder [mm] $x\not\in [/mm] B$ [mm] \gdw [/mm] [mm] $1_A(x)=0$ [/mm] oder [mm] $1_B(x)=0$. [/mm] In diesem Fall ist [mm] 1_{A\cap B}(x)= 0=(1_A*1_B)(x)[/mm].
Nun haben wir den Schnitt bewiesen aus folgendem Grund:
die nun zu beweisende Aussage (laut Aufgabe) ist vom Aufbau wie die Summenformel der Mengenlehrer gestaltet, daher müssen wir den Schnitt der Mengenzahlenvarialbe abziehen.
Ferner gilt nach Voraussetzung doch:[mm] 1_A\ge1_B \;\;\gdw\;\; A\supseteq B [/mm], das bedeutet doch, B ist echte Teilmenge von A. Somit kann, da das Element x ja existiert ja nur gelten, dass x sowohl in A und in B vorkommt, oder dass x in A, aber nicht in B vorkommt!
wenn Fall 1 gilt, sind die zufallsvariablen wie folgt definiert: [mm] $1_A=1$ $1_B=1$. [/mm] daraus folgt: [mm] 1_A+1_B-1_A*1_B= 1+1-1*1=1[/mm]
da in der Vereinigungsmenge laut Mengenlehre jedes Elemt genau einmal gezählt wird und das Element x in wenigstens der Menge A existiert, muss die Vereinigungsmengenzufallsvarialbe =1 sein, was wir bewiesen haben!
Im zweiten Fall, also das Element x ist nicht in B enthalten, muss ja dennoch wieder 1 herauskommen: [mm] 1_A+1_B-1_A*1_B= 1+0-1*0=1 q.e.d.[/mm]
reicht das aus????
Gruß Björn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:30 Do 29.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Björn!
> hier meine meine Lösungsidee! Meinst das ist richtig???
Mmmh, ich denke, du mußt noch viel mehr Struktur in deine Gedanken bringen, einiges ist so wild, dass man es kaum nachvollziehen kann.
Die Stellen, die ich nicht verstehe, markiere ich mal, kommentiere es aber ansonsten nicht Schritt für Schritt.
> zunächst beweise ich:
>
> Seien A,B (echte teilmenge) von X mit Indikatorfunktion [mm]1_A[/mm]
> und [mm]1_B [/mm]. Dann ist [mm]1_{A\cap B}= 1_A*1_B[/mm]!
>
> Fall 1: $x [mm] \in A\cap [/mm] B$ [mm]\gdw[/mm] [mm] $x\in [/mm] A$ und [mm] $x\in [/mm] B$ [mm]\gdw[/mm]
> [mm]1_A(x)=1=1_B(x) [/mm]. In diesem Fall ist [mm]1_{A\cap B}(x)= 1=(1_A*1_B)(x)[/mm].
>
> Fall2: [mm] $x\not\in A\cap [/mm] B[mm] \gdw[/mm] [mm] $x\not\in [/mm] A$ oder [mm] $x\not\in [/mm]
> B$ [mm]\gdw[/mm] [mm] $1_A(x)=0$ [/mm] oder [mm] $1_B(x)=0$. [/mm] In diesem Fall ist
> [mm]1_{A\cap B}(x)= 0=(1_A*1_B)(x)[/mm].
>
> Nun haben wir den Schnitt bewiesen aus folgendem Grund:
>
> die nun zu beweisende Aussage (laut Aufgabe) ist vom Aufbau
> wie die Summenformel der Mengenlehrer gestaltet, daher
> müssen wir den Schnitt der Mengenzahlenvarialbe abziehen.
Da verstehe ich die einzelnen Worte, und auch noch, dass die zu beweisende Formel wie die entsprechende Formel der Mengenlehre aufgebaut ist. Aber sowas darf einem doch nur die Idee und Zuversicht geben, dass die zu zeigende Aussage richtig ist -- für einen mathematischen Beweis reicht das nicht.
> Ferner gilt nach Voraussetzung doch:[mm] 1_A\ge1_B \;\;\gdw\;\; A\supseteq B [/mm],
Das verstehe ich gar nicht mehr -- nach welcher Voraussetzung gilt das? Das ist doch eine ganz andere Aufgabe?
> das bedeutet doch, B ist echte Teilmenge von A. Somit kann,
> da das Element x ja existiert ja nur gelten, dass x sowohl
> in A und in B vorkommt, oder dass x in A, aber nicht in B
> vorkommt!
> wenn Fall 1 gilt, sind die zufallsvariablen wie folgt
> definiert: [mm] $1_A=1$ $1_B=1$. [/mm] daraus folgt: [mm]1_A+1_B-1_A*1_B= 1+1-1*1=1[/mm]
>
> da in der Vereinigungsmenge laut Mengenlehre jedes Elemt
> genau einmal gezählt wird und das Element x in wenigstens
> der Menge A existiert, muss die
> Vereinigungsmengenzufallsvarialbe =1 sein, was wir bewiesen
> haben!
> Im zweiten Fall, also das Element x ist nicht in B
> enthalten, muss ja dennoch wieder 1 herauskommen:
> [mm]1_A+1_B-1_A*1_B= 1+0-1*0=1 q.e.d.[/mm]
>
> reicht das aus????
Dein "Beweis" ist viel zu lang und reicht doch nicht aus...
Es geht viel übersichtlicher, schneller und strukturierter:
Vor.: $A,B [mm] \subseteq [/mm] X$
Beh.: [mm] $1_{A\cup B}=1_A+1_B-1_A*1_B$.
[/mm]
Bew.: Sei [mm] $x\in [/mm] X$
Fall 1: [mm] $x\not\in [/mm] A, [mm] x\not\in [/mm] B$ [mm] $\Rightarrow$ $x\not\in A\cup [/mm] B$: $0=0+0-0*0$
Fall 2: [mm] $x\not\in [/mm] A, [mm] x\in [/mm] B$ [mm] $\Rightarrow$ $x\in A\cup [/mm] B$: $1=0+1-0*1$
Fall 3: [mm] $x\in [/mm] A, [mm] x\not\in [/mm] B$ [mm] $\Rightarrow$ $x\in A\cup [/mm] B$: $1=1+0-1*0$
Fall 4: [mm] $x\in [/mm] A, [mm] x\in [/mm] B$ [mm] $\Rightarrow$ $x\in A\cup [/mm] B$: $1=1+1-1*1$
Damit gilt die Beh. für alle [mm] $x\in [/mm] X$ [mm] $\Box$
[/mm]
Ein Element liegt nun mal in einer Menge oder eben nicht. Damit werden alle solche Beweise zu einer reinen Logikübung.
Ist dir das einigermaßen klar geworden? Bitte frage nach, wenn du irgendetwas nicht einsiehst...
Viele Grüße,
Marc
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Hallo MArc. Du hast Recht. Das waren zwei unabhängige Beweise, die ich zu einem zusammengeführt habe. Hast du denn eine Beweisidee für [mm] 1_A\ge1_B \;\;\gdw\;\; A\supset B [/mm]??? Bitte Ich bin verzweifelt :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 Do 29.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Björn,
nicht verzweifeln, das ist nicht sooo schwierig, man muß sich nur an die Denkweise gewöhnen.
Die eine Richtung hatte ich ja bereits gezeigt.
[mm] "$\Leftarrow$": $1_A\ge1_B \;\;\Leftarrow\;\; A\supseteq [/mm] B$
Es sei [mm] $A\supseteq [/mm] B$, [mm] $x\in [/mm] X$
Wir müssen nun zeigen, dass gilt: [mm] $1_A\ge1_B$.
[/mm]
Ich untersuche die vier möglichen Fälle:
a) [mm] $x\not\in [/mm] A, [mm] x\not\in [/mm] B$ [mm] $\Rightarrow$ $1_A=0$ [/mm] und [mm] $1_B=0$ $\Rightarrow$ $1_A\ge1_B$ [/mm] (Beh. wahr)
b) [mm] $x\not\in [/mm] A, [mm] x\in [/mm] B$ (dieser Fall ist n.V. [mm] $A\supseteq [/mm] B$ nicht möglich und muß nicht betrachtet werden.)
c) [mm] $x\in [/mm] A, [mm] x\not\in [/mm] B$ [mm] $\Rightarrow$ $1_A=1$ [/mm] und [mm] $1_B=0$ $\Rightarrow$ $1_A\ge1_B$ [/mm] (Beh. wahr)
d) [mm] $x\in [/mm] A, [mm] x\in [/mm] B$ [mm] $\Rightarrow$ $1_A=1$ [/mm] und [mm] $1_B=1$ $\Rightarrow$ $1_A\ge1_B$ [/mm] (Beh. wahr)
Und alles ist gezeigt
Das war doch nicht so schwierig, oder?
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:23 Mi 28.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Björn!
> Hi Stefan!
(Übrigens hatte ich wegen dieser Anrede gedacht, dein drei Fragen seien mit Stefan abgesprochene Aufgaben; deswegen antworte ich erst jetzt darauf...)
> 3) Bei einem Würfel W sei die sechs durch die Zahl i
> ersetzt. Man bestimme die relative Häufigkeit für das
> Ereignis "Würfeln einer geraden Augensumme mit den Würfeln
> W1, W2, W3" bei einem durchgeführten Experiment mit n
> größergleich 20. Ist ein möglicher Grenzwert zu erkennen?
> (mit Begründung)
Haben hier alle drei Würfel die Sechs durch i ersetzt?
Oder ist vielleicht bei dem Würfel [mm] W_i [/mm] die Sechs durch i ersetzt?
Das zweite wäre wesentlich angenehmer zu berechnen (obwohl ich da auch noch keine konkrete Idee habe).
Bitte gib' noch kurz Bescheid.
Grüße,
Marc
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Super, danke für die hilfen MArc!!!
Zu dieser Aufgabe meine Idee:
Die relative Hüfigkeit ist doch definiert als das Verhältnis der aus Versuchen auftretenden gesuchten Möglichkeit zur gesamtanzahl der versuche: 1/n*j (j:=1,2,.....,n) oder??
[mm] W_1 [/mm] bedeutet, dass auf dem Würfel die sechs durch eine 1 ausgetauscht wird. Also hat dieser fiktive Würfel nun zwei 1 {1,2,3,4,5,1}, dementsprechend die zwei anderen Würfel auf gleicher Weise.
Nun habe ich Versuchen mit alle drei Würfeln durchgeführt! jeweils n=24
Meine Ergebnisse:
zu [mm] W_1: [/mm] relative Häufigkeit der geraden Augensummen, also 2 und 4:
4 mal bei 24 Würfen: 4/24= 0,166666(relative Häufigkeit)
zu [mm] W_2: [/mm] (die 2 kommt doppelt vor): 18 von 24 Würfen gerade: 18/24=0,75
zu [mm] W_3: [/mm] (die 3 kommt doppelt vor): 7 von 24 Würfen gerade: 7/24=0,291666
Zusatserie [mm] W_4 [/mm] mit 210 Würfen: (4 kommt doppelt vor):
87 gerade von 210: 87/210=0,4142
Vermutung: Wenn eine gerade Zahl doppelt gezählt wird, also für die 6 wird zwie oder 4 eingesetzt, dasnn geht Wahrscheinlichkeit eine gerade Zahl zu würfeln von 50% (aus{1,2,3,4,5,6} {2,4,6}) gegen die Häufigkeit 50%, da ja eine gerade Zahl gegen eine gerade ausgetauscht wurde( dieAugensumme ist ja nicht entscheidend, sondern dass diese gerade ist).
(soll:0,5 ist: 0,75 und 0,4142)
Vielen Dank nochmals für deine Hilfe Marc. Das gibt mir Sicherheit und ich finde es super, was ihr hier für "Diskalulateure " anbietet: Vielen Víelen DAnk!
Gruß Björn
Wird für die 6 eine ungerade Zahl eingesetzt, dann geht meiner Meinung nach der Grenbzwert gegen 33%, das ja nun 2 geraden 4 ungerade Zahlen auf dem Würfel gegenüber stehen. (soll: 0,33 ist: 0,1666 und 0,29)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:46 Do 29.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Björn!
> Die relative Hüfigkeit ist doch definiert als das
> Verhältnis der aus Versuchen auftretenden gesuchten
> Möglichkeit zur gesamtanzahl der versuche: 1/n*j
> (j:=1,2,.....,n) oder??
Ja, so könnte man das sagen.
> [mm] W_1 [/mm] bedeutet, dass auf dem Würfel die sechs durch eine 1
> ausgetauscht wird. Also hat dieser fiktive Würfel nun zwei
> 1 {1,2,3,4,5,1}, dementsprechend die zwei anderen Würfel
> auf gleicher Weise.
> Nun habe ich Versuchen mit alle drei Würfeln durchgeführt!
> jeweils n=24
Du hast echt gewürfelt?!
Dann kann ich natürlich schlecht etwas dazu sagen, nur die Berechnung der relativen Häufigkeit kann ich kommentieren.
Ich muß außerdem sagen, ich hatte die Aufgabe anfangs total falsch verstanden, ich dachte, es wäre die Summe der Augenzahlen aller drei Würfel zu berechnen.
So ist die Aufgabe ja einfach.. viel zu einfach.
> Meine Ergebnisse:
>
> zu [mm] W_1: [/mm] relative Häufigkeit der geraden Augensummen, also 2
> und 4:
>
> 4 mal bei 24 Würfen: 4/24= 0,166666(relative Häufigkeit)
>
> zu [mm] W_2: [/mm] (die 2 kommt doppelt vor): 18 von 24 Würfen gerade:
> 18/24=0,75
>
> zu [mm] W_3: [/mm] (die 3 kommt doppelt vor): 7 von 24 Würfen gerade:
> 7/24=0,291666
>
> Zusatserie [mm] W_4 [/mm] mit 210 Würfen: (4 kommt doppelt vor):
>
> 87 gerade von 210: 87/210=0,4142
>
> Vermutung: Wenn eine gerade Zahl doppelt gezählt wird, also
> für die 6 wird zwie oder 4 eingesetzt, dasnn geht
> Wahrscheinlichkeit eine gerade Zahl zu würfeln von 50%
> (aus{1,2,3,4,5,6} {2,4,6}) gegen die Häufigkeit 50%, da ja
> eine gerade Zahl gegen eine gerade ausgetauscht wurde(
> dieAugensumme ist ja nicht entscheidend, sondern dass diese
> gerade ist).
> (soll:0,5 ist: 0,75 und 0,4142)
>
> Vielen Dank nochmals für deine Hilfe Marc. Das gibt mir
> Sicherheit und ich finde es super, was ihr hier für
> "Diskalulateure " anbietet: Vielen Víelen DAnk!
>
> Gruß Björn
>
> Wird für die 6 eine ungerade Zahl eingesetzt, dann geht
> meiner Meinung nach der Grenbzwert gegen 33%, das ja nun 2
> geraden 4 ungerade Zahlen auf dem Würfel gegenüber stehen.
> (soll: 0,33 ist: 0,1666 und 0,29)
>
Übrigens ist der Grenzwert der relativen Häufigkeit die W'keit.
Bei dem Würfel [mm] $W_1$ [/mm] haben wir ja sechs Seiten, vier mit ungeraden Augenzahlen und zwei mit geraden Augenzahlen. Die W'keit, eine gerade Augenzahl zu würfeln, ist somit 2/6=1/3.
Bei dem Würfel [mm] $W_2$ [/mm] haben wir weiterhin drei Seiten mit ungeraden Augenzahlen und drei mit geraden Augenzahlen. Die W'keit, eine gerade Augenzahl zu würfeln, ist somit 3/6=1/2.
Bei dem Würfel [mm] $W_3$ [/mm] siehe [mm] $W_1$
[/mm]
Woher stammen denn diese Aufgaben? Wirklich aus dem Hauptstudium? Welche Vorlesung denn?
Viele grüße,
Marc
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´Hallo MArc.
Ja, aus einer weiterführenden Vorlesung, aber nur zum warmwerden. aber die aufgabe ist doch nicht ganz richtig. Ich hätte mit diesen Würfeln gleichzeitig werfen sollen und dann den Grenzwert, oder die Wertigkeit bestimmen sollen. Mit Begründung. Reciht es, wenn ich meine Ergebnisse zusammenzähle ???
Gruß Björn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 Do 29.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Björn,
> Ja, aus einer weiterführenden Vorlesung, aber nur zum
> warmwerden. aber die aufgabe ist doch nicht ganz richtig.
> Ich hätte mit diesen Würfeln gleichzeitig werfen sollen und
> dann den Grenzwert, oder die Wertigkeit bestimmen sollen.
> Mit Begründung. Reciht es, wenn ich meine Ergebnisse
> zusammenzähle ???
Also, jetzt verstehe ich die Aufgabe wieder nicht mehr.
> Man bestimme die relative Häufigkeit für das
> Ereignis "Würfeln einer geraden Augensumme mit den Würfeln
> W1, W2, W3" bei einem durchgeführten Experiment mit n
> größergleich 20.
Doch, jetzt verstehe ich sie wieder. Da steht ja tatsächlich "Augensumme" und nicht "Augenzahl".
Also sind alle Würfel gleichzeitig zu werfen, und zu untersuchen ist, ob die Summe aller drei Augenzahlen gerade ist.
Allerdings deutet die Fragestellung auf eine praktische Durchführung hin, d.h., du sollst die drei Würfel tatsächlich öfter als 20 Mal werfen und bei jedem Wurf notieren, ob die Summe der gezeigten Augenzahlen gerade ist.
Die Anzahl der Würfe, bei denen die Augensumme gerade war, dividiert durch die Gesamtanzahl der Würfe ist dann die relative Häufigkeit.
Wirklich etwas zu berechnen wäre, wenn die Aufgabenstellung lautete: "Man bestimme die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses 'Würfel einer geraden Augensumme..."
Das kannst du zum Spaß ja auch mal machen, z.B. an einem dreistufigen Baumdiagramm (mit acht Blättern).
Wie bereits gesagt, ist dies dann der theoretische Grenzwert der relativen Häufigkeit.
Relative Häufigkeiten können nur bei tatsächlich durchgeführten Versuchen berechnet werden.
Viel Spaß beim Würfeln,
Marc
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