Stochastik - Auswahltest < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:07 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Maggons |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Huhu
Ich bin mal wieder, leider, leicht an dieser Aufgabe am Verzweifeln.
Nachdem ich mich in meiner Abiturvorbereitung nun bis zur Stochastik vorgehangelt hab, finde ich da wieder neue brocken.
Während ich mit Hypothesentests, Konfidenzintervallen und dergleichen prima zurechtkomme, mangelt es bei mir einfach bei den "Grundlagen", habe ich manchmal das Gefühl aber naja.
Auf jeden Fall habe ich hier, partiell, die Aufgabe durchgerechnet und leider keine Lösungen dafür.
Daher wäre ich sehr dankbar, falls jemand mal einen Blick drauf werden und evtl. kleine Denkanstöße zu den noch ausstehenden Aufgaben geben könnte.
a)
Leider kann ich hier nicht "sehr gut meinen Lösungsweg präsentieren".
Ich habe sowohl den geforderten Baum, als auch eine 4- Felder- Tafel angefertigt und konnte sowohl am Baum als auch in der 4- Felder- Tafel das ja bereits vorgegebene Ergebnis
[mm] P_{M}(B)=62,5% [/mm] ; M = männlich , B=bestanden
Hier bereits meine erste Frage; kann man hier von einer bedingten Wahrscheinlichkeit sprechen?
Es wäre meiner Meinung nach ja die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jemand bestanden hat unter der Voraussetzung, dass es sich um einen männlichen Teilnehmer handelt. Oder ist das "falsch" gedacht?
b)
Hier habe ich wie oben auch einen Baum, nämlich den Umkehrbaum zu oben angefertigtem, gezeichnet.
[mm] P_{B}(M)=35,71% [/mm] ; M = männlich , B=bestanden
Das wäre nun wohl die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich um einen männlichen Kandidaten handelt unter der Bedinung, dass dieser bereits die Prüfung bestanden hat. Wie bei der a) bin ich mir leider auch hier nicht sicher.
c)
p= 0,3 x= auszuwertende Testbögen
[mm] P(x\ge1) \ge [/mm] 0,95
1- P(x=0) [mm] \ge [/mm] 0,95
1 - [mm] \vektor{n \\ 0} [/mm] * [mm] 0,3^{0} [/mm] * [mm] (1-0,3)^{n} \ge [/mm] 0,95
1 - [mm] (0,7)^{n} \ge [/mm] 0,95
..
n [mm] \ge [/mm] 8,4
=> es müssen mindestens 9 Testbögen ausgewertet werden, damit man mit 95%iger Wkt. mindestens einen Bewerber findet, der den Test nicht bestanden hat.
d)
[mm] P_{0,7}^{n} [/mm] (X [mm] \le [/mm] 75) [mm] \ge [/mm] 0,95
gilt es meiner Meinung nach zu lösen
p=0,7 beschreibt den prozentualen Anteil derer, die den Auswahltest bestehen.
Das habe ich dann, so wie ich das "Ermitteln sie experimentell" aus der Aufgabe verstanden habe, kurzerhand in eine Formel eingesetzt und mit meinem CAS ein wenig ausprobiert.
[mm] \summe_{i=0}^{75} \vektor{n \\ i} [/mm] * [mm] 0,7^{i} [/mm] * [mm] (1-0,7)^{n-i}
[/mm]
Es ergaben sich folgende Ergebnisse:
n=95 Wkt.=98,09
n=96 Wkt.=97,08
n=97 Wkt.=95.7
n=98 Wkt.=93,87
Damit gilt, dass sie mindestens 97 Leute zur Auswahlprüfung zulassen sollten, um mit einer 95%igen Wkt. nicht mehr als 75 Bewerber zu haben, welche den Test bestehen.
Hier frage ich mich auch, was man als "Rechenweg/ Herleitung" notieren sollte ...?
Ich habe einfach mal meine im CAS verwendete Formel und ein paar Ergebnisse mit n aufgeschrieben, um meine Entscheidung zu verdeutlichen.
Ob das dann wohl so schickt? Per Hand fällt mir sonst nicht viel ein, was man da niederschreiben könnte.
Nunja und hier hört es leider auch schon auf mit meinem Können; ich finde leider keinerlei vernünftige Ansätze für Aufgabenstellung e).
Ich könnte wahrscheinlich auch hier wieder "experimentell" etwas herausfinden aber naja.
Es ist ja klar, dass falls der Anteil an Männern, die am Vorbereitungskurs teilnehmen, auch zugleich die Rate der Männer, die bestehen, steigt.
Die ursprüngliche Anzahl von 62,5% bestehender Männer steigt wahrscheinlich mit steigender Anzahl an Kursteilnehmern stetig an.
Die 85%, die durch das Besuchen des Vorbereitungskurses den Test bestehen, bleiben unabhängig von der Variation ihrer Besucher konstant.
Aber naja ich komme leider nicht auf die zündende Idee, wie man denn nun die beiden Werte so in ein Verhältnis zu setzen, um sie anschließend in eine Gleichung setzen zu können, um dann rechnerisch die Aufgabe lösen zu können.
Für den 2. Teil der Aufgabe gilt leider das selbe Szenario.
Also ich wäre sehr sehr dankbar, falls sich jemand hiermit auseinandersetzen könnte.
Evtl. findet sich ja sogar jemand, der auch bald sein Abitur ableisten muss und das hier als "nette Übung" nutzen kann : )
Jegliche Anregungen, Kritiken und Antworten sind mir sehr willkommen und werden dankend entgegengenommen.
Ciao,
Lg Marco
Ich habe diese Fragestellungen/ diese Lösungen in keinem anderen Internetforum oder dergleichen gepostet.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Maggons |
Huhu
Der erste Post war/ ist leider, wessen ich mir bewusst bin, relativ lang.
Auch für Teilantworten, insbesondere für Aufgabenstellung e) wäre ich sehr sehr dankbar.
Eine weitere Idee, wie man Aufgabenteil d) lösen könnte, schien mir vorhin eingefallen zu sein.
Leider weiß ich nicht, ob es korrekt ist und ich kann es selbst nich prüfen, da ich es selbst "nicht korrekt auflöse", scheinbar.
Man könnte dies doch bestimmt auch in die Näherungsformel einsetzen?
n = n p=0,7 [mm] \mu= [/mm] n*0,7 [mm] \partial(stellvertretend [/mm] für sigma)=n*0,7*0,3
Eingesetzt:
[mm] P(x\le [/mm] 75) = [mm] \Phi [/mm] ( [mm] \bruch{75-n*0,7}{\wurzel{n*0,7*0,3}})
[/mm]
nun
[mm] \Phi [/mm] ( [mm] \bruch{75-n*0,7}{\wurzel{n*0,7*0,3}}) \ge [/mm] 0,95
Kann man das überhaupt auflösen bzw überhaupt in solch eine Relation setzen?
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:38 So 13.01.2008 | | Autor: | Blech |
> Eine weitere Idee, wie man Aufgabenteil d) lösen könnte,
> schien mir vorhin eingefallen zu sein.
1. Ich denke von der Aufgabenstellung her ("bestimme experimentell"), war das urspr schon richtig. Dürft ihr beim Abi Computer/ausreichend fortgeschrittenen Taschenrechner verwenden? Wenn ja, dann würd ich bei der urspr bleiben.
2. Deine neue Idee funktioniert auch. Näherungsweise. =)
> Leider weiß ich nicht, ob es korrekt ist und ich kann es
> selbst nich prüfen, da ich es selbst "nicht korrekt
> auflöse", scheinbar.
>
> Man könnte dies doch bestimmt auch in die Näherungsformel
> einsetzen?
>
$n,\ p=0.7,\ [mm] \mu=n*0.7,\ \sigma^2=n*0.7*0.3$
[/mm]
>
> Eingesetzt:
>
[mm]P(x\le 75) = P\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\le \frac{75-\mu}{\sigma}\right)=\Phi\left(\bruch{75-n*0.7}{\wurzel{n*0.7*0.3}}\right)[/mm]
>
> nun
>
[mm] $\Phi\left(\bruch{75-n*0.7}{\wurzel{n*0.7*0.3}}\right)\ge [/mm] 0.95$
[mm] $\Rightarrow \bruch{75-n*0.7}{\wurzel{n*0.7*0.3}} \ge \Phi^{-1}(0.95)=\Phi_{0.95} \approx [/mm] 1.64$
wobei [mm] $\Phi_{0.95}$ [/mm] die 0.95 Quantile der Standardnormalverteilung ist.
Das ganze darfst Du dann nach n auflösen, und kommst auf [mm] $n\le [/mm] 96.56$.
Ich denke der Rechenweg stimmt, d.h. der Unterschied zum tatsächlichen Wert 97 kommt, weil X nur näherungsweise normalverteilt ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:22 So 13.01.2008 | | Autor: | Blech |
Hi,
es ist spät, ich hoffe ich schreibe nicht zuviel Schwachsinn =)
> Ich bin mal wieder, leider, leicht an dieser Aufgabe am
> Verzweifeln.
Das meiste von Deiner Lösung sieht gut aus. Mach Dich nicht selbst nieder.
> a)
>
> Leider kann ich hier nicht "sehr gut meinen Lösungsweg
> präsentieren".
Ist klar.
> Hier bereits meine erste Frage; kann man hier von einer
> bedingten Wahrscheinlichkeit sprechen?
Ja.
> Es wäre meiner Meinung nach ja die Wahrscheinlichkeit
> dafür, dass jemand bestanden hat unter der Voraussetzung,
> dass es sich um einen männlichen Teilnehmer handelt. Oder
> ist das "falsch" gedacht?
Das stimmt.
> b)
>
> Hier habe ich wie oben auch einen Baum, nämlich den
> Umkehrbaum zu oben angefertigtem, gezeichnet.
>
> [mm]P_{B}(M)=35,71%[/mm] ; M = männlich , B=bestanden
>
Das paßt auch.
> Das wäre nun wohl die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es
> sich um einen männlichen Kandidaten handelt unter der
> Bedinung, dass dieser bereits die Prüfung bestanden hat.
Ja.
> c)
>
> => es müssen mindestens 9 Testbögen ausgewertet werden,
> damit man mit 95%iger Wkt. mindestens einen Bewerber
> findet, der den Test nicht bestanden hat.
Paßt.
> d)
> Das habe ich dann, so wie ich das "Ermitteln sie
> experimentell" aus der Aufgabe verstanden habe, kurzerhand
> in eine Formel eingesetzt und mit meinem CAS ein wenig
> ausprobiert.
Nehme ich mal an
> Damit gilt, dass sie mindestens 97 Leute zur Auswahlprüfung
> zulassen sollten, um mit einer 95%igen Wkt. nicht mehr als
> 75 Bewerber zu haben, welche den Test bestehen.
Das Ergebnis stimmt. Aber ich würde den Anfang umformulieren:
Sie *können* maximal 97 Leute zur Auswahlprüfung zulassen, um mit...
Klar, wenn sie die 75 Stellen vergeben wollen, werden sie nahe am Maximum rumgurken, aber die Frage war wieviele sie zulassen können. =)
> Hier frage ich mich auch, was man als "Rechenweg/
> Herleitung" notieren sollte ...?
Sei [mm] $X_n$ [/mm] die Anzahl der Leute, die bestehen, wenn n Leute für die Auswahlprüfung zugelassen werden. [mm] $X_n$ [/mm] ist die Summe von n Bernoulli-Experimenten mit Erfolgswahrscheinlichkeit p=0.7. Damit ist [mm] $X_n$ [/mm] binomialverteilt mit Parametern n und p.
[mm] $P(X_n\le 75)\overset{!}{\ge}0.95$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow \summe_{i=0}^{75} \vektor{n \\ i} p^i (1-p)^{n-i}\ge [/mm] 0.95$
Auch nicht viel anders als Deins. Nur etwas ausführlicher.
> Ich habe einfach mal meine im CAS verwendete Formel und ein
> paar Ergebnisse mit n aufgeschrieben, um meine Entscheidung
> zu verdeutlichen.
> Ob das dann wohl so schickt? Per Hand fällt mir sonst
> nicht viel ein, was man da niederschreiben könnte.
Steht ja auch da, daß man es experimentell machen soll.
> Es ist ja klar, dass falls der Anteil an Männern, die am
> Vorbereitungskurs teilnehmen, auch zugleich die Rate der
> Männer, die bestehen, steigt.
> Die ursprüngliche Anzahl von 62,5% bestehender Männer
> steigt wahrscheinlich mit steigender Anzahl an
> Kursteilnehmern stetig an.
Seien B die Menge der Leute, die den Auswahltest bestehen,
M die Menge der männlichen Bewerber, W die weiblichen und V die Menge der Leute, die am Vorbereitungskurs teilnehmen.
Wir haben hier nicht wirklich Wahrscheinlichkeiten, aber ich verwende es für die Anteile: [mm] $P(K):=\frac{|K|}{|\Omega |}$ [/mm] D.h. P von der Menge K ist die Anzahl der Bewerber, die in K fallen, durch die Gesamtzahl der Bewerber. P(W) wäre damit also 0.6, etc.
[mm] $P(B)\ge [/mm] 0.77$
[mm] $P(B)=P(B\cap W)+P(B\cap M)=P(B|W)*P(W)+P(B|M)*P(M)=\dots$ [/mm]
((
P(B|W) ist der Anteil der Besteher unter der Bedingung, daß sie weiblich sind. Andere Schreibweise für bedingte Wahrscheinlichkeit, ich hab's nur zu spät gemerkt ^^°
[mm] $P(B|W)=\frac{P(B\cap W)}{P(W)} \Leftrightarrow P(B\cap [/mm] W)=P(B|W)*P(W)$
Das Linke ist die Definition der bedingten Wkeit.
))
[mm] $\dots=P(B|W,V)*P(V|W)*P(W)+P(B|W,V^c)*P(V^c|W)*P(W)+$ $P(B|M,V)*P(V|M)*P(M)+P(B|M,V^c)*P(V^c|M)*P(M)=\dots$
[/mm]
((
[mm] V^c [/mm] ist das Komplement von V, d.h. die Menge der Leute, die den Kurs nicht besucht haben.
P(B|W,V)=P(B|M,V)=0.85 (85% aller Kursteilnehmer bestehen, egal ob männlich oder weiblich)
[mm] P(V|W)=0.5=P(V^c|W) [/mm] (50% aller Frauen nehmen am Kurs teil, also nehmen 50% nicht teil)
P(W)=0.6, [mm] $\Rightarrow$ [/mm] P(M)=0.4
[mm] P(V^c|M)=1-P(V|M) [/mm] (jeder Mann nimmt entweder am Kurs teil oder nicht)
[mm] P(B|W,V^c)=0.75 [/mm] (für nicht-Kursteilnehmer, sollen wir die Werte von oben nehmen)
[mm] P(B|M,V^c)=0.625
[/mm]
))
Damit haben wir:
[mm]\dots=0.85*0.5*0.6+0.75*0.5*0.6 +0.85*P(V|M)*0.4+0.625*(1-P(V|M))*0.4 =[/mm]
[mm]= 0.3*(0.85+0.75)+0.4*((0.85-0.625)*P(V|M)+0.625)\overset{!}{\ge} 0.77[/mm]
[mm]\Rightarrow P(V|M)\ge 0.4444...[/mm]
Beim zweiten Teil haben wir immer noch:
[mm]P(B)=P(B|W,V)*P(V|W)*P(W)+P(B|W,V^c)*P(V^c|W)*P(W)+P(B|M,V)*P(V|M)*P(M)+P(B|M,V^c)*P(V^c|M)*P(M)[/mm]
mit den Zahlenwerten wie oben. Nur ist jetzt P(V|M)=1, da der Anteil der Besteher maximal wird, wenn alle männlichen Bewerber den Kurs besuchen (aus 62,5% Bestehern werden 85%). Der Rest ist ja fest. Also:
P(B)=0.85*0.5*0.6+0.75*0.5*0.6+0.85*1*0.4+0.625*(1-1)*0.4=0.85*0.5*0.6+0.75*0.5*0.6+0.85*1*0.4=0.82
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:40 So 13.01.2008 | | Autor: | Maggons |
Huhu
Zunächst mal vielen vielen Dank für das Anschauen der Angabe.
Deine Lösungen zum Aufgabenteil e) erscheinen mir sehr plausibel; jedoch werde ich morgen lieber mal in aller Ruhe Bäume anlegen, wo ich die einzelnen Wahrscheinlichkeiten eintragen kann.
Ich bin bereits heute auf die Idee gekommen, dass ich einen Baum mit den Zweigen bestanden - nicht bestanden, männlich - weiblich und vorkursbesucher - nicht vorkursbesucher mache.
Jedoch habe ich leider nicht genug Werte zusammenraffen können, um mir einen "kompletten Baum basteln zu können".
Aber nach Lesen deiner Erläuterungen sind mir einige Zusammenhänge noch eingefallen, vielen Dank dafür :)
Wie gesagt; ich werde morgen auch nochmal selbst Aufgabenteil d) durchrechnen und dann nochmal posten.
Nochmals danke
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:24 So 13.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Hallo Blech,
deine Loesung zu e) ist klasse! ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Hab' mir an der Aufgabe die Zaehne ausgebissen...
Danke.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:15 So 13.01.2008 | | Autor: | Blech |
Danke, Danke =)
Ich find's ziemlich fies, daß fast ein Drittel der Punkte auf eine Aufgabe vergeben wird, die
a) wirklich nicht schön ist, und
b) die man entweder hat oder nicht, mit wenig Spielraum dazwischen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 So 13.01.2008 | | Autor: | Maggons |
Huhu
Ich habe die Aufgabe gerade selbst nochmal durchgerechnet und meine Ergebnisse sind identisch mit deinen.
Eine Sache, an der ich ein wenig gestutzt habe, war deine Umformung von
$ [mm] P(B)=P(B\cap W)+P(B\cap M)=P(B|W)\cdot{}P(W)+P(B|M)\cdot{}P(M)=\dots [/mm] $
zu
$ [mm] \dots=P(B|W,V)\cdot{}P(V|W)\cdot{}P(W)+P(B|W,V^c)\cdot{}P(V^c|W)\cdot{}P(W)+$ P(B|M,V)\cdot{}P(V|M)\cdot{}P(M)+P(B|M,V^c)\cdot{}P(V^c|M)\cdot{}P(M)=\dots [/mm] $ $
Das Prinzip ist ja eigentlich, wenn ich es mir an einem Baumdiagramme vorstelle, dass ich quasi "noch eine Verzweigung in den Baum einfüge"; hier wäre es die Verzweigung V und [mm] V^{c}.
[/mm]
So dass ich letztendlich M -> V -> B auf dem Baum gehen würde; so kann ich mir deine Lösung erklären aber das wäre das rechnerische?
Gibt es einen Satz mit dem man das konkret erklären könnte? Was wird in deiner Umformung zu was?
Oder ist es lediglich Logik?
Wie gesagt; eigentlich ist, dank deiner sehr guten und ausführlichen Erläuterung, nun alles klar.
Das ist nun nur noch mein pures Interesse.
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 So 13.01.2008 | | Autor: | Blech |
>
> Das Prinzip ist ja eigentlich, wenn ich es mir an einem
> Baumdiagramme vorstelle, dass ich quasi "noch eine
> Verzweigung in den Baum einfüge"; hier wäre es die
> Verzweigung V und [mm]V^{c}.[/mm]
Richtig. Was Du hier machen mußt, ist einen Schritt zurücktreten und nochmal genau schauen, was hab ich und was ist gefragt. Und dann sieht man, daß hier fast alles gegeben ist, aber bedingt darauf, ob der Teilnehmer im Vorbereitungskurs war oder nicht. Also muß man die bisherigen Größen da nochmal aufteilen.
> So dass ich letztendlich M -> V -> B auf dem Baum gehen
> würde; so kann ich mir deine Lösung erklären aber das wäre
> das rechnerische?
Bedingte Wahrscheinlichkeiten funktionieren weitestgehend wie normale, also:
[mm] $P(B|W)=P(B\cap [/mm] V | W)+ [mm] P(B\cap V^c [/mm] |W)$
weil jeder Besteher entweder im Kurs war oder nicht.
Und [mm] $P(B\cap [/mm] V |W)=P(B| W,V)*P(V|W)$ ist sinngemäß wieder die Formel, mit der wir schonmal das ganze aufgeteilt haben.
Der Beweis läuft so:
[mm] $P(B\cap V|W)=\frac{P(B\cap V \cap W)}{P(W)}= [/mm] P(B| [mm] V\cap W)\frac{P(V\cap W)}{P(W)}= P(B|V\cap [/mm] W)*P(V|W)$
wobei [mm] $P(B|W,V)=P(B|W\cap [/mm] V)$ nur zwei Schreibweisen sind für den "Anteil der Besteher unter der Bedingung, daß sie weiblich sind *und* am Vorbereitungskurs teilgenommen haben (d.h. sie sind in beiden Mengen)".
Elementarer zeigt man die Gleichheit oben also mit:
[mm] $P(B|W)=\frac{P(B\cap W)}{P(W)}= \frac{P(B\cap W\cap V)+P(B\cap W\cap V^c)}{P(W)}=\frac{P(B| W\cap V)P(W\cap V)+P(B|W\cap V^c)P(W\cap V^c)}{P(W)}=$ [/mm] $ [mm] P(B|W\cap V)\underbrace{\frac{P(W\cap V)}{P(W)}}_{=P(V\cap W)/P(W)=P(V|W)}+P(B|W\cap V^c)\frac{P(W\cap V^c)}{P(W)}=P(B|W\cap [/mm] V)P(V|W)+ [mm] P(B|W\cap V^c)P(V^c|W)$
[/mm]
> Gibt es einen Satz mit dem man das konkret erklären
> könnte? Was wird in deiner Umformung zu was?
> Oder ist es lediglich Logik?
Wenn Du Dich mit dem Mengenzeugs nicht ganz wohl fühlst, dann bist Du wahrscheinlich mit einem logischen Ansatz und/oder Bäumen besser bedient.
Das mit den Mengen ist ziemlich gewöhnungsbedürftig. Es hilft sehr, wenn irgendwann die Anschauung versagt.
Aber es ist besser, wenn Du eine Methode gut lernst (wäre dann wahrscheinlich Bäume bei Dir), als wenn Du zwei (d.h. Bäume und Mengen) halbwegs beherrschst. =)
Wie gesagt, mach Dich nicht kirre. a) bis d) hattest Du richtig, und die e) war häßlich.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:55 So 13.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin,
vielleicht empfindest du das ![[]](/images/popup.gif) hier noch als hilfreich.
Stichwort "n Ereignisse".
vg Luis
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 19:30 So 13.01.2008 | | Autor: | Maggons |
Huhu
Nochmal vielen Dank an euch beide, natürlich besonders an Blech für deine ausführlichen Erklärungen.
Hab alles super nachvollziehen können und verstanden :)
Aber die Tatsache, dass diese Aufgabe wirklich 1/3 der Punkte dieser Aufgabe ausmacht, finde ich schon, wie du bereits gesagt hast, relativ seltsam.
Aber najanaja da heißt es wohl einfach nur üben, üben üben :D
Nochmals Danke
Ciao, Lg
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