Stochastik des Bogenschießens < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Do 04.11.2010 | | Autor: | Noctem09 |
| Aufgabe | Beim Bogenschießen auf eine Zielscheibe beträgt die Wahrscheinlichkeit ins Schwarze zu treffen 1/9.
(i) Wieviele Versuche werden benötigt, um mit Wahrscheinlichkeit größer gleich 0,99 wenigstens einen Treffer zu erzielen (stochastische Unabhängigkeit vorausgesetzt - ist dies realistisch)?
(ii) Sie haben mit der in (i) ermittelten Versuchsanzahl nicht ins Schwarze getroffen. Mit wieviel weiteren Versuchen müssen Sie rechnen, um mit Wahrscheinlichkeit größer gleich 0,99 wenigstens einen Treffer zu erzielen?
Hinweis: Zeigen Sie, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit, keinen Volltreffer in k + r Versuchen zu erzielen, gegeben, dass in k Versuchen kein Volltreffer erzielt wurde, unabhängig von k ist. Wie lässt sich diese Eigenschaft interpretieren? |
Hi,
ich habe bei dieser Aufgabe einige Probleme. Mein Lösungsansatz lautet wie folgt:
(i) Die gesuchte Anzahl lässt sich auch wie folgt ausdrücken: Wieviele Versuche werden benötigt, um mit einer Wahrscheinlichkeit kleiner 0,01 keinen Treffer zu erzielen:
[mm] (\bruch{8}{9})^n \le [/mm] 0,01
[mm] \Rightarrow [/mm] n [mm] \ge \bruch{log(0,01)}{log(8/9)} \approx [/mm] 39,09
[mm] \Rightarrow [/mm] Man braucht also mindestens 40 Versuche
[mm] \* [/mm] Die Annahme der stochastischen Unabhängigkeit ist unrealistisch - es liegt Abhängigkeit vor (für eine Klärung des warums wäre ich dankbar!)
(ii) Hier fehlt mir leider jeglicher Ansatz.
Ich danke Euch allen für hilfreiche Tipps.
Dankeschön!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:59 Do 04.11.2010 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Beim Bogenschießen auf eine Zielscheibe beträgt die
> Wahrscheinlichkeit ins Schwarze zu treffen 1/9.
>
> (i) Wieviele Versuche werden benötigt, um mit
> Wahrscheinlichkeit größer gleich 0,99 wenigstens einen
> Treffer zu erzielen (stochastische Unabhängigkeit
> vorausgesetzt - ist dies realistisch)?
>
> (ii) Sie haben mit der in (i) ermittelten Versuchsanzahl
> nicht ins Schwarze getroffen. Mit wieviel weiteren
> Versuchen müssen Sie rechnen, um mit Wahrscheinlichkeit
> größer gleich 0,99 wenigstens einen Treffer zu erzielen?
>
> Hinweis: Zeigen Sie, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit,
> keinen Volltreffer in k + r Versuchen zu erzielen, gegeben,
> dass in k Versuchen kein Volltreffer erzielt wurde,
> unabhängig von k ist. Wie lässt sich diese Eigenschaft
> interpretieren?
> Hi,
>
> ich habe bei dieser Aufgabe einige Probleme. Mein
> Lösungsansatz lautet wie folgt:
>
> (i) Die gesuchte Anzahl lässt sich auch wie folgt
> ausdrücken: Wieviele Versuche werden benötigt, um mit
> einer Wahrscheinlichkeit kleiner 0,01 keinen Treffer zu
> erzielen:
>
> [mm](\bruch{8}{9})^n \le[/mm] 0,01
> [mm]\Rightarrow[/mm] n [mm]\ge \bruch{log(0,01)}{log(8/9)} \approx[/mm]
> 39,09
> [mm]\Rightarrow[/mm] Man braucht also mindestens 40 Versuche
ja.
> [mm]\*[/mm] Die Annahme der stochastischen Unabhängigkeit ist
> unrealistisch - es liegt Abhängigkeit vor (für eine
> Klärung des warums wäre ich dankbar!)
was genau soll hier abhängig oder unabhängig sein?
vielleicht die Ereignisse "Treffer" bei den einzelnen Versuchen?
Gemäß Aufgabenstellung sind diese Ereignisse unabhängig, weil die Wahrscheinlichkeit des Eintretens nicht vom Eintreten oder Nichteintreten der vorherigen Treffers abhängt, sondern immer 1/9 ist.
Ob das nun realistisch ist, können die Philosophen unter sich klären. Man kann sicher argumentieren, dass mehrere Treffer den Schützen unter Erfolgsdruck setzen könnten oder mehrere Fehlschüsse ihn deprimieren, so dass seine Konzentration sinkt... aber das ist ja nicht mehr Mathematik 
> (ii) Hier fehlt mir leider jeglicher Ansatz.
die Aufgabe ist identisch zu (i), weil die Ereignisse ja unabhängig sind, also selbe Lösung: 40
Man sagt manchmal, die Verteilung habe kein Gedächtnis, weil es nicht darauf ankommt, was bislang gelaufen ist. Beim Roulette ist es auch nicht wahrscheinlicher, dass die 17 kommt, wenn sie in den letzten 100 Spielen nicht gekommen ist.
LG will
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