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Ich habe eine Frage zum Umgang mit stochastischen Matrizen.
In einem Mathematikbuch (1. Ausgabe 1. Druck) werden die Eingaben zeilenweise (zu 1) notiert, diese Matrix nenne ich mal A. In einer anderen Ausgabe desselben Buches - allerdings 1. Ausgabe 2. Druck) werden die Eingaben spaltenweise (zu 1) notiert, diese Matrix will ich mal B nennen.
Ich möchte nun die zeilenweise notierte Matrix A mit einer anderen Matrix (meinetwegen C) multiplizieren.
Die Multiplikation von A mal C ergibt ja ein anderes Ergebnis als die Multiplikation B mal C.
Also muss doch mit Matrix C irgendwas geschehen, damit
A mal C = B mal C wird.
Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen
wolfgangmax
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 Do 11.04.2019 | | Autor: | leduart |
Hallo
was genau meinst du mit zeilenweise notiert oder Spaltenweise notiert? man kann doch die Spaltenvektoren einer Matrix angeben, oder die Zeilenvektoren derselben Matrix, dadurch ändert sie sich doch nicht? oder geht es um die zu M transponierte Matrix [mm] M^T [/mm] in der an der Diagonalen gespiegelt ist, also Zeilen und spalten vertauscht sind?
Gruß leduart
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Danke erstmal für deine Rückfrage!
Also, es geht ja um stochastische Matrizen, bei denen entweder die Zeilen- oder die Spaltensumme den Wert 1 ergibt, das meine ich mit zeilen- bzw. spaltenorientiert.
Die Multiplikation mit einer weiteren Matrix, die ich C genannt hatte, führt dann ja zu 2 unterschiedlichen Ergebnissen.
Ich hoffe, diese Zeilen waren jetzt aufschlussreich
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Hiho,
es ist nicht wirklich klar, was du mit deiner Frage ueberhaupt meinst.
Du schreibst:
> Die Multiplikation mit einer weiteren Matrix, die ich C genannt hatte, führt dann ja zu 2 unterschiedlichen Ergebnissen.
Du hast ja zwei Matrizzen benannt:
Ist nun $A [mm] \not= [/mm] B$, dann ist obiges ja auch nicht ueberraschend, bis du uns erklaerst, warum AC = BC sein sollte....
Ist bei dir A=B, dann folgt ja sofort AC = BC
Also was ist nun eigentlich deine Frage?
Alternativ benenne das Buch und die Stellen mal konkret....
Gruss,
Gono
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Guten Abend,
es handelt sich um das Schülerbuch
Mathematik Fachhochschulreife, Gesundheit und Soziales Ernährungs und Hauswirtschaft NRW, Cornelsen,ISBN 978-3-06-451208-5, 1. Auflage, 1. Druck:auf Seite 203 ca Mitte der Seite steht
"Die Übergangsmatrix ist eine stochastische Matrix. Eine solche liegt vor, wenn alle Einträge der Matrix nicht negativ sind und jede Zeilensumme 1 ergibt"
Das gleiche Buch wiederholt diese Zeilen - nur mit dem Unterschied, dass jetzt " ... jede Spaltensumme 1 ergibt..."
Da ich die Ausgabe 1. Auflage, 1. Druck habe und mein Schüler 1. Auflage 2. Druck, ergeben sich hier mathematische Probleme, die ich meinem Schüler nicht erklären kann.
Mit freundlichen Grüßen
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Hiho,
die Fragestellung ist doch jetzt etwas klarer, danke dafuer.
Nun zur Antwort und mit etwas ausholen:
Rein formal kann man zwischen zeilenstochastischen und spaltenstochastischen Matrizzen unterscheiden. Bei ersteren muessen die Zeilensummen, bei letzterer die Spaltensummen gleich 1 sein.
Die Frage, welche Form man verwendet, haengt von Problemstellung bzw. von der gewaehlten Einfuerung ab.
Man kann beide Formen durch Transponieren zwar ineinander ueberfuehren, man kann aber nicht beliebig hin- und herwechseln, denn wie du selbst schon festgestellt hast, ist eine zeilenstochastische Matrix nicht notwendigerweise eine spaltenstochastische und umgekehrt.
Vielleicht ging es darum an der beschriebenen anderen Stelle?
Oder es ist schlicht weg ein Fehler im Buch....
Gruss,
Gono
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In den Schulbüchern werden die Matrizen verschieden definiert und verwendet. Dass im selben Schulbuch zwischen diesen beiden Möglichkeiten gewechselt wird, ist höchst ungewöhnlich. Es kann aber sein, dass bei einer neuen Auflage der Verfasser sich an die in deinem Schulbereich übliche Methode anpassen wollte.
Zur Sache:
Wenn du eine stochastische Übergangsmatrix A von links mit einem Spaltenvektor [mm] \vec{x} [/mm] (=Zustandsvektor) multiplizierst, um zum neuen Zustand zu gelangen, also [mm] A*\vec{x_1}=\vec{x_2}, [/mm] muss die Spaltensumme jeweils 1 ergeben.
Wenn du dagegen einen Zeilenvektor [mm] \vec{x} [/mm] (=Zustandsvektor) von links mit der stochastischen Matrix A multiplizierst, um zum neuen Zustand zu gelangen, also [mm] \vec{x_1}*A=\vec{x_2}, [/mm] muss die Zeilensumme jeweils 1 ergeben. In diesem Fall wäre A die transponierte Matrix der erstgenannten Möglichkeit.
Je nachdem, ob man die Zustandsvektoren als Zeilen- oder Spaltenvektoren benutzt, wird also die eine oder andere Darstellung von A erforderlich.
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Ich bedanke mich ganz herzlich, ihr habt mir SEHR geholfen!
Mit freundlichen Grüßen
wolfgangmax
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