Stochastische Unabhängigkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:47 Fr 10.11.2006 | | Autor: | Laie |
| Aufgabe | Man betrachte einen 3-maligen Münzwurf: 0 steht für Zahl, 1 für Kopf. Sei [mm] \Omega [/mm] = {0,1}³. Es wird das Wahrscheinlichkeitsmaß [mm] P_{p} (p\in [/mm] [0,1]) durch [mm] P_{p} (\{(\omega_{1},\omega_{2},\omega_{3})\}) [/mm] = [mm] p^{card\{i\in{1,2,3}:\omega_{i}=1\}} (1-p)^{card\{i\in{1,2,3}:\omega_{i}=0\}} [/mm] definiert, wobei [mm] (\omega_{1},\omega_{2},\omega_{3})\in\Omega. [/mm] Seien A="höchstens eine Zahl" und B=" das gleiche Ergebnis tritt bei den drei Würfen ein". Man berechne [mm] P_{p}(A),P_{p}(B),P_{p}(A\capB). [/mm] Für welche Werte von p sind A und B [mm] P_{p} [/mm] -unabhängig?
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Kann diese Aufgabe für Gleichverteilung berechnen. Habe aber ein Problem mit der Allgemeinheit der Aufgabe. Wer kann helfen ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:13 Fr 10.11.2006 | | Autor: | DirkG |
> Man berechne [mm]P_{p}(A),P_{p}(B),P_{p}(A\capB).[/mm]
Schreibfehler: Du meinst [mm]P_{p}(A),P_{p}(B),P_{p}(A\cap B).[/mm]
Wieso nimmst du Gleichverteilung an? Die gilt nur für [mm] $p=\frac{1}{2}$. [/mm] Für allgemeine $p$ ist doch explizit bereits die Verteilung der Elementarereignisse vorgegeben:
[mm]P_{p} (\{(\omega_{1},\omega_{2},\omega_{3})\}) = p^{card\{i\in{1,2,3}:\omega_{i}=1\}} (1-p)^{card\{i\in{1,2,3}:\omega_{i}=0\}}[/mm] [mm] \qquad [/mm] (*)
also warum rumraten? Und was die Wahrscheinlichkeit deiner Ereignisse $A$, $B$ und [mm] $A\cap [/mm] B$ betrifft: Summiere doch die Wahrscheinlichkeiten der jeweils zugehörigen Elementarereignisse gemäß (*). Davon gibt es nur [mm] $2^3=8$, [/mm] das wird doch wohl zu machen sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:47 Fr 10.11.2006 | | Autor: | Laie |
Hallo,
und erst einmal vielen Dank für die schnelle Antwort.
Ich hatte mich sicher etwas "dumm" ausgedrückt, war aber in Eile, ich musste zur Arbeit.So ist auch der Fehler beim Tippen entstanden (habe ein Zeichen zu viel gelöscht).
Ich kam allein auf folgende Lösungen: [mm] P_{p}(A)=0,5 [/mm] , [mm] P_{p}(B)=0,25 [/mm] und [mm] P_{p}(A\cap [/mm] B)=0,125 und da p=0,125 komme ich auch auf die Unabhängigkeit.
Was ist dann aber mit der Gleichung? Wozu brauche ich die dann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:54 Fr 10.11.2006 | | Autor: | DirkG |
Du sollst aber alle $p$ bestimmen, wo Unabhängigkeit herrscht - bisher hast du aber überhaupt nur [mm] $p=\frac{1}{2}$ [/mm] betrachtet. Gut, dort hast du Unabhängigkeit, aber über die anderen $p$ weißt du durch diese Rechnung nichts! Also geh doch gleich allgemein ran:
Wkt. für 0-mal Zahl : [mm] $P(\{(0,0,0)\}) [/mm] = [mm] p^0(1-p)^3 [/mm] = [mm] (1-p)^3$
[/mm]
Wkt. für 1-mal Zahl : [mm] $P(\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}) [/mm] = [mm] 3p^1(1-p)^2 [/mm] = [mm] 3p(1-p)^2$
[/mm]
Also ist $P(A) = [mm] (1-p)^3+3p(1-p)^2$, [/mm] das kann man noch zusammenfassen... Gleiches machst du für $P(B)$ und [mm] $P(A\cap [/mm] B)$.
Diese drei ermittelten Formeln für [mm] $P(A),P(B),P(A\cap [/mm] B)$ in die Unabhängigkeitsforderung [mm] $P(A)\cdot [/mm] P(B) = [mm] P(A)\cdot [/mm] P(B)$ eingesetzt liefert dann eine Gleichung für diejenigen $p$, wo Unabhängigkeit herrscht. Diese gilt es dann zu lösen, und so weißt du dann wirklich und exakt für jedes $p$ mit $0<p<1$ Bescheid. Nur Einzelwerte wie [mm] $p=\frac{1}{2}$ [/mm] einsetzen bringt nichts.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:12 Fr 10.11.2006 | | Autor: | Laie |
Vielen Dank, jetzt habe ich diese "blöde" Gleichung verstanden und werde den Rest jetzt hinbekommen.
M.f.G.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 So 12.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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