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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Mi 22.06.2011 | | Autor: | novex |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Augensumme und Augendifferenz zweier unabhängiger Würfelwürfe sind unkorreliert aber unabhängig. |
Hallo, ich steige nicht ganz durch wie man die unabhängigkeit zweier Zufallsvariablen mit folgender Formel beweisen kann :
P(X=xi,Y=yi) = P(X=xi) * P(Y=yi) für alle klein Omega aus Omega
Meine ZV für die Augensumme sieht so aus :
Omega := [mm] {\{1,2,3,4,5,6\}}^2
[/mm]
X : Omega |-> R
(k,l) -> k+l
Y : Omega |-> R
(k,l) -> k-l
doch wie kann ich nun mit der obigen Formel zeigen dass sie 2 ZV abhängig voneinander sind ?
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Hallo,
um zu zeigen, dass die ZV nicht stochastisch unabhängig sind, musst du ein Gegenbeispiel finden, also ein Ereignis für das gilt:
[mm] $P(X=x_{i},Y=y_{i}) \not= P(X=x_{i})\cdot P(Y=y_{i})$
[/mm]
Dafür würde ich mir zuerst mal die Verteilung von X (Augensumme) und Y (Augendifferenz) ausrechnen. Zum Beispiel ist:
[mm] $P(X=2)=\frac{1}{36}$, [/mm] da es nur eine Möglichkeit gibt, diese Augensumme zu erhalten (beide Würfel Augenzahl 1). Jetzt berechne mal $P(Y=0)$. Welche Ereignisse kommen da in Frage?
Wenn du das hast, schau dir mal
$P(X=2,Y=0)$
an. Welches Ereignis kann hier aufgrund der Vorherigen Überlegung nur eingetreten sein?
Und jetzt mal das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten angucken. Was erkennst du?
Viele Grüße
Blascowitz
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Mi 22.06.2011 | | Autor: | novex |
> Hallo,
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> um zu zeigen, dass die ZV nicht stochastisch unabhängig
> sind, musst du ein Gegenbeispiel finden, also ein Ereignis
> für das gilt:
> [mm]P(X=x_{i},Y=y_{i}) \not= P(X=x_{i})\cdot P(Y=y_{i})[/mm]
>
> Dafür würde ich mir zuerst mal die Verteilung von X
> (Augensumme) und Y (Augendifferenz) ausrechnen. Zum
> Beispiel ist:
> [mm]P(X=2)=\frac{1}{36}[/mm], da es nur eine Möglichkeit gibt,
> diese Augensumme zu erhalten (beide Würfel Augenzahl 1).
> Jetzt berechne mal [mm]P(Y=0)[/mm]. Welche Ereignisse kommen da in
> Frage?
>
> Wenn du das hast, schau dir mal
> [mm]P(X=2,Y=0)[/mm]
> an. Welches Ereignis kann hier aufgrund der Vorherigen
> Überlegung nur eingetreten sein?
> Und jetzt mal das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten
> angucken. Was erkennst du?
>
> Viele Grüße
> Blascowitz
>
[mm]Y = 0 :={ \{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6) \} [/mm]
Also[mm] P(Y=0) = 6/36[/mm]
Somit ist [mm]P(X=2) * P(Y=0) = 6/1296[/mm]
Aber wie rechne ich nun [mm]P(X=2,Y=0) [/mm] aus ? Bzw. Was bedeutet das Komma denn überhaupt ?
Vorallem würde mich viel mehr mal Interresieren wie man das Zeigen kann ohne ein gegenbeispiel zu Suchen ? Also eine Allgemeine Vorgehensweise ohne Konkrete Zahlenwerte ?
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Guten Morgen
> > Hallo,
> >
> > um zu zeigen, dass die ZV nicht stochastisch unabhängig
> > sind, musst du ein Gegenbeispiel finden, also ein Ereignis
> > für das gilt:
> > [mm]P(X=x_{i},Y=y_{i}) \not= P(X=x_{i})\cdot P(Y=y_{i})[/mm]
> >
> > Dafür würde ich mir zuerst mal die Verteilung von X
> > (Augensumme) und Y (Augendifferenz) ausrechnen. Zum
> > Beispiel ist:
> > [mm]P(X=2)=\frac{1}{36}[/mm], da es nur eine Möglichkeit gibt,
> > diese Augensumme zu erhalten (beide Würfel Augenzahl 1).
> > Jetzt berechne mal [mm]P(Y=0)[/mm]. Welche Ereignisse kommen da in
> > Frage?
> >
> > Wenn du das hast, schau dir mal
> > [mm]P(X=2,Y=0)[/mm]
> > an. Welches Ereignis kann hier aufgrund der Vorherigen
> > Überlegung nur eingetreten sein?
> > Und jetzt mal das Produkt der
> Einzelwahrscheinlichkeiten
> > angucken. Was erkennst du?
> >
> > Viele Grüße
> > Blascowitz
> >
>
> [mm]Y = 0 :={ \{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6) \}[/mm]
> Also[mm] P(Y=0) = 6/36[/mm]
Richtig.
>
> Somit ist [mm]P(X=2) * P(Y=0) = 6/1296[/mm]
>
Richtig
> Aber wie rechne ich nun [mm]P(X=2,Y=0)[/mm] aus ? Bzw. Was bedeutet
> das Komma denn überhaupt ?
Das Komma soll bedeuten, dass beide Ereignisse gleichzeitig eintreten, das heißt, dass die Augensumme 2 ist und die Augendifferenz soll gleichzeitig 0 sein. Was müssen beide Würfel dann für eine Augenzahl gehabt haben?.
>
>
> Vorallem würde mich viel mehr mal Interresieren wie man
> das Zeigen kann ohne ein gegenbeispiel zu Suchen ? Also
> eine Allgemeine Vorgehensweise ohne Konkrete Zahlenwerte ?
Eine allgemeine Vorgehensweise fällt mir jetzt nicht ein. Man könnte einen Widerspruch probieren. Aber wenn man ein konkretes Modell mit Zahlenwerten hat, scheint mir die Konstruktion eines Gegenbeispiels einfacher.
>
Viele Grüße
Blasco
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:32 Do 23.06.2011 | | Autor: | novex |
> Guten Morgen
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> > > Hallo,
> > >
> > > um zu zeigen, dass die ZV nicht stochastisch unabhängig
> > > sind, musst du ein Gegenbeispiel finden, also ein Ereignis
> > > für das gilt:
> > > [mm]P(X=x_{i},Y=y_{i}) \not= P(X=x_{i})\cdot P(Y=y_{i})[/mm]
> >
> >
> > > Dafür würde ich mir zuerst mal die Verteilung von X
> > > (Augensumme) und Y (Augendifferenz) ausrechnen. Zum
> > > Beispiel ist:
> > > [mm]P(X=2)=\frac{1}{36}[/mm], da es nur eine Möglichkeit
> gibt,
> > > diese Augensumme zu erhalten (beide Würfel Augenzahl 1).
> > > Jetzt berechne mal [mm]P(Y=0)[/mm]. Welche Ereignisse kommen da in
> > > Frage?
> > >
> > > Wenn du das hast, schau dir mal
> > > [mm]P(X=2,Y=0)[/mm]
> > > an. Welches Ereignis kann hier aufgrund der
> Vorherigen
> > > Überlegung nur eingetreten sein?
> > > Und jetzt mal das Produkt der
> > Einzelwahrscheinlichkeiten
> > > angucken. Was erkennst du?
> > >
> > > Viele Grüße
> > > Blascowitz
> > >
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> > [mm]Y = 0 :={ \{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6) \}[/mm]
> >
> Also[mm] P(Y=0) = 6/36[/mm]
>
> Richtig.
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> > Somit ist [mm]P(X=2) * P(Y=0) = 6/1296[/mm]
> >
> Richtig
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> > Aber wie rechne ich nun [mm]P(X=2,Y=0)[/mm] aus ? Bzw. Was bedeutet
> > das Komma denn überhaupt ?
>
> Das Komma soll bedeuten, dass beide Ereignisse gleichzeitig
> eintreten, das heißt, dass die Augensumme 2 ist und die
> Augendifferenz soll gleichzeitig 0 sein. Was müssen beide
> Würfel dann für eine Augenzahl gehabt haben?.
Also kann man das Komma auch als Schnittmenge des Eregnisses X = 2 und Y = 0 ansehen ??
Das wäre ja dann einfach Die Warschenlichkeit von (1,1)
Das würde dann heißen dass [mm]1/36 \not= 6/1296[/mm] und somit wäre die Stochastische Abhängigkeit gezeigt ?
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> >
> > Vorallem würde mich viel mehr mal Interresieren wie man
> > das Zeigen kann ohne ein gegenbeispiel zu Suchen ? Also
> > eine Allgemeine Vorgehensweise ohne Konkrete Zahlenwerte ?
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> Eine allgemeine Vorgehensweise fällt mir jetzt nicht ein.
> Man könnte einen Widerspruch probieren. Aber wenn man ein
> konkretes Modell mit Zahlenwerten hat, scheint mir die
> Konstruktion eines Gegenbeispiels einfacher.
> >
>
> Viele Grüße
> Blasco
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> > Guten Morgen
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> > > > Hallo,
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> > > > um zu zeigen, dass die ZV nicht stochastisch unabhängig
> > > > sind, musst du ein Gegenbeispiel finden, also ein Ereignis
> > > > für das gilt:
> > > > [mm]P(X=x_{i},Y=y_{i}) \not= P(X=x_{i})\cdot P(Y=y_{i})[/mm]
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> > > > Dafür würde ich mir zuerst mal die Verteilung von X
> > > > (Augensumme) und Y (Augendifferenz) ausrechnen. Zum
> > > > Beispiel ist:
> > > > [mm]P(X=2)=\frac{1}{36}[/mm], da es nur eine Möglichkeit
> > gibt,
> > > > diese Augensumme zu erhalten (beide Würfel Augenzahl 1).
> > > > Jetzt berechne mal [mm]P(Y=0)[/mm]. Welche Ereignisse kommen da in
> > > > Frage?
> > > >
> > > > Wenn du das hast, schau dir mal
> > > > [mm]P(X=2,Y=0)[/mm]
> > > > an. Welches Ereignis kann hier aufgrund der
> > Vorherigen
> > > > Überlegung nur eingetreten sein?
> > > > Und jetzt mal das Produkt der
> > > Einzelwahrscheinlichkeiten
> > > > angucken. Was erkennst du?
> > > >
> > > > Viele Grüße
> > > > Blascowitz
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> > > [mm]Y = 0 :={ \{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6) \}[/mm]
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> > Also[mm] P(Y=0) = 6/36[/mm]
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> > Richtig.
> > >
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> > > Somit ist [mm]P(X=2) * P(Y=0) = 6/1296[/mm]
> > >
> > Richtig
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> > > Aber wie rechne ich nun [mm]P(X=2,Y=0)[/mm] aus ? Bzw. Was bedeutet
> > > das Komma denn überhaupt ?
> >
> > Das Komma soll bedeuten, dass beide Ereignisse gleichzeitig
> > eintreten, das heißt, dass die Augensumme 2 ist und die
> > Augendifferenz soll gleichzeitig 0 sein. Was müssen beide
> > Würfel dann für eine Augenzahl gehabt haben?.
>
> Also kann man das Komma auch als Schnittmenge des
> Eregnisses X = 2 und Y = 0 ansehen ??
>
> Das wäre ja dann einfach Die Warschenlichkeit von (1,1)
>
> Das würde dann heißen dass [mm]1/36 \not= 6/1296[/mm] und somit
> wäre die Stochastische Abhängigkeit gezeigt ?
>
Richtig.
> >
> > >
> > >
> > > Vorallem würde mich viel mehr mal Interresieren wie man
> > > das Zeigen kann ohne ein gegenbeispiel zu Suchen ? Also
> > > eine Allgemeine Vorgehensweise ohne Konkrete Zahlenwerte ?
> >
> > Eine allgemeine Vorgehensweise fällt mir jetzt nicht ein.
> > Man könnte einen Widerspruch probieren. Aber wenn man ein
> > konkretes Modell mit Zahlenwerten hat, scheint mir die
> > Konstruktion eines Gegenbeispiels einfacher.
> > >
> >
> > Viele Grüße
> > Blasco
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:03 Mi 22.06.2011 | | Autor: | rabilein1 |
Wenn man den Ausgangssatz ein wenig verändert, dann kommt da raus:
Zeigen Sie: Zwei unabhängige Würfelwürfe sind unabhängig
Kann man das ganz generell zeigen?
Oder als Gegenbeispiel:
Man zieht aus einem Kartenstapel zwei Karten hintereinander. Dann hängt die Wahrscheinlichkeit für die zweite Karte davon ab, was man vorher für eine Karte gezogen hat (weil die erstgezogene Karte beim zweiten Ziehen schon draußen ist)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 Mi 22.06.2011 | | Autor: | novex |
Naja nein, es geht ja darum dass man zeigen soll dass : Augensumme und Augendifferenz zweier unabhängigen würfe nicht unabhängig sind.
Also da steht ja schon die zwei einzelnen würfe unabhängig sind.
Und sowieso soll diese Aufgabe meines erachten nach auf die eigenschafft der Kovarianz dass Stochastische unabhängigkeit Cov(x,y) = 0 impliziert, jedoch Stochastische unabhängigkeit nicht aus Cov(x,y) folgt.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:20 Do 23.06.2011 | | Autor: | novex |
| Aufgabe | Zeigen Sie: Augensumme und Augendifferenz zweier
unabhängiger Würfelwürfe sind unkorreliert aber nicht
unabhängig. |
So, da die Abhängigkeit hier gezeigt ist geht es daran die Korrelation zu zeigen... dazu will ich mir nun erstmal die Kovarianz ausrechnen...dabei stoße ich jedoch schonwieder auf das nächste Problem...
ALso ich habe schon mal ausgerechnet
[mm] E(X) = 14*1/3 +14*2/3 + 14*3/3 + 14*4/3 + 14*5/3 + 7*6/3 =7
E(Y ) = 0[/mm]
Die Kovarianz lautet : [mm] Cov(X,Y) = E(X*Y) - EX*EY [/mm]
Da ich weiß dass der Erwartungswert von Y = 0 ist ist die Kovarianz von X und Y :
[mm]Cov(X,Y) = E(X*Y) [/mm]
Was ja soviel heißt wie :
[mm] Cov(X,Y) = \summe_{\omega\in\Omega} Px(\{\omega\})*Py(\{\omega\}) * X(\omega) * Y(\omega) [/mm] oder liege ich da falsch ? ;)
Wenn es stimmt, wie rechne ich es dann aus ? xD
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:29 Fr 24.06.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
zeige *allgemein*: [mm] $\text{Cov}[X+Y,X-Y]=0$.
[/mm]
vg Luis
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