Stokes'sches Gesetz < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Kleine Kugelförmige Teilchen erfahren in einem Fluid eine viskose Widerstandskraft, die durch das Stokes'sche Gesetz gegeben ist: [mm] F_w=6*\pi*\eta*r*v. [/mm] Dabei ist r der Radius des Teilchens, v seine Geschwindigkeit und [mm] \eta [/mm] die Viskosität des fluiden Mediums.
a) Schätzen Sie die Endgeschwindigkeit eines runden Schadstoffteilchens mit einem Radius von [mm] 10^{-5} [/mm] m und mit einer Dichte von 2000 [mm] kg/m^3.
[/mm]
b) Wie lange braucht ein solches Teilchen, um in der Luft 100 m weit zu fallen, wenn es windstill ist und die Luft eine Viskosität [mm] von\eta=1,8*10^{-5} N*s*m^{-2} [/mm] hat? |
Hallo,
bei Frage a im Lehrbuch heißt es:
[mm] \Sigma{F_y}=ma_y
[/mm]
[mm] mg-6*\pi*\eta*r*v_E=0
[/mm]
[mm] v_E=\br{m*g}{6*\pi*\eta*r}
[/mm]
Nun über das Volumen die Masse berechnen und dann [mm] V_E:
[/mm]
[mm] V_E=2,42 [/mm] cm/s
Das habe ich soweit verstanden...
Bei b) steht dann:
[mm] t=\br{s}{v}=br\{10^4 cm}{2,42 cm/s}=4,13*10^3 [/mm] s=1,15 h
Wenn das Teilchen aus der Ruhe heraus die 100 Meter angehen würde, dann müsste man aber anders rechnen oder?
Wir haben es doch hier mit einer nicht konstanten Beschleunigung zu tun. Also kann doch dann v auch nicht als konstant angenommen werden wie in Antwort b) oder?
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Hi sonic,
> Kleine Kugelförmige Teilchen erfahren in einem Fluid eine
> viskose Widerstandskraft, die durch das Stokes'sche Gesetz
> gegeben ist: [mm]F_w=6*\pi*\eta*r*v.[/mm] Dabei ist r der Radius des
> Teilchens, v seine Geschwindigkeit und [mm]\eta[/mm] die Viskosität
> des fluiden Mediums.
> a) Schätzen Sie die Endgeschwindigkeit eines runden
> Schadstoffteilchens mit einem Radius von [mm]10^{-5}[/mm] m und mit
> einer Dichte von 2000 [mm]kg/m^3.[/mm]
> b) Wie lange braucht ein solches Teilchen, um in der Luft
> 100 m weit zu fallen, wenn es windstill ist und die Luft
> eine Viskosität [mm]von\eta=1,8*10^{-5} N*s*m^{-2}[/mm] hat?
> Hallo,
> bei Frage a im Lehrbuch heißt es:
>
> [mm]\Sigma{F_y}=ma_y[/mm]
>
> [mm]mg-6*\pi*\eta*r*v_E=0[/mm]
>
> [mm]v_E=\br{m*g}{6*\pi*\eta*r}[/mm]
>
> Nun über das Volumen die Masse berechnen und dann [mm]V_E:[/mm]
>
> [mm]V_E=2,42[/mm] cm/s
>
> Das habe ich soweit verstanden...
>
> Bei b) steht dann:
>
> [mm]t=\br{s}{v}=br\{10^4 cm}{2,42 cm/s}=4,13*10^3[/mm] s=1,15 h
>
> Wenn das Teilchen aus der Ruhe heraus die 100 Meter angehen
> würde, dann müsste man aber anders rechnen oder?
>
> Wir haben es doch hier mit einer nicht konstanten
> Beschleunigung zu tun. Also kann doch dann v auch nicht als
> konstant angenommen werden wie in Antwort b) oder?
Ja das stimmt. Hier stellt sich jedoch wieder die Frage, wie lange es braucht um auf die "Endgeschwindigkeit" zu gelangen. Sagen wir mal, die obige Zeit stimmt (ich habe keinen einzigen Wert nachgerechnet, antworte nur auf die obige Frage), also 1,15h stimmen. Das ist also ganz grob geschätzt eine Stunde. Wenn aber nun das Teilchen gerade einmal sagen wir 1 Minute benötigt um die maximale Geschwindigkeit zu erreichen, so ist das Verhältnis derart gering, dass man durchaus gewillt ist, hier eine Vereinfachung vorzunehmen.
Man könnte diese Argumentation ja mal durch eine Rechnung überprüfen.
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> Man könnte diese Argumentation ja mal durch eine Rechnung
> überprüfen.
O.K. Ich versuche es mal...
Die Frage ist: Wie lange braucht das Teilchen bis es Endgeschwindigkeit erreicht hat? Wie groß ist die Verschiebung bis es Endgeschwindigkeit erreicht hat?
Also:
[mm] \eta=1,8*10^{-5} [/mm]
[mm] r=10^{-5}m [/mm]
[mm] \rho=2000kg/m^3 [/mm]
[mm] m=\br{4}{3}*\pi*r^3*\rho=\br{4}{3}*\pi*(10^{-5})^3 m*2000kg/m^3=8,38*10^{-12}kg
[/mm]
Wir haben eine Funktion a in Abhängigkeit von v:
[mm] m*a=m*g-6*\pi*\eta*r*v \Rightarrow a(v)=-405v+9,81\br{m}{s^2}
[/mm]
Das heißt in Abhängigkeit von v ist die Beschleunigung linear fallend. Die Geschwindigkeit steigt so lange an bis die Beschleunigung null ist und die Endgeschwindigkeit erreicht ist.
Jetzt suche ich ja einen Bezug zur Zeit.
Hier weiß ich nicht so richtig weiter...
Wenn ich jetzt die Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit hätte bräuchte ich ja nur integrieren um auf die Geschwindigkeit Zeit Funktion zu kommen oder?
Komme ich hier überhaupt mit der Infinitesimalrechnung weiter oder muss ich das numerisch angehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 Mo 14.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Dgl
v'=-405/s*v+g
ist leicht zu lösen, (homogene, dann Ansatz v=A*g für die partikuläre Losung der Inh.)
daraus dann ,wann die Endgeschwindigkeit zu 99,99% erreicht ist.
Gruß leduart
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