Stokesscher Satz < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Fr 06.11.2015 | | Autor: | X3nion |
| Aufgabe | Gegeben sei ein Vektorfeld mit
[mm] \overrightarrow{v} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 2xz + 3y^{2} \\ 4yz^{2}} [/mm] und der folgenden Fläche:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Verifizieren Sie den Satz von Stokes, indem Sie das Flächen- und Linienintegral berechnen! |
Hallo zusammen,
ich stecke momentan an folgender Aufgabe fest. Und zwar soll ich, wie beschrieben, Volumenintegral und Flächenintegral mithilfe des Stoke'schen Satzes berechnen. Dieser lautet ja folgendermaßen, wobei ich die Bezeichnungen selbst gewählt habe:
[mm] \integral_{}^{} \integral_{F}^{} [/mm] rot [mm] \overrightarrow{v} [/mm] * [mm] \overrightarrow{n} [/mm] * dF = [mm] \integral_{L}^{} {\overrightarrow{v} * \overrightarrow{l} * dL}
[/mm]
Mit n meine ich den Normalenvektor, mit F die Fläche, mit l den Vektor in welchen das Liniendifferenzial dL zeigt und mit L die Länge.
Ich weiß zum einen nicht, wie ich den Normalenvektor beim Flächenintegral zu bestimmen habe. Es gäbe ja 2 Möglichkeiten, nämlich [mm] \overrightarrow{n} [/mm] = (1, 0, [mm] 0)^{T} [/mm] sowie [mm] \overrightarrow{n} [/mm] = (-1, 0, [mm] 0)^{T}.
[/mm]
Beim Gauß'schen Integralsatz ist dies ja einfacher, hier muss man den nach außen gerichteten Normalenvektor der Flächen eines geschlossenen Körpers nehmen - aber hier?
Kann ich mir das anhand der sog. "Korkenzieherregel" vorstellen: Die Pfeile drehen sich ja von Blickrichtung aus gegen den Uhrzeigersinn, von der anderen Seite aus im Uhrzeigersinn. Dies bedeutet von der anderen Seite aus ja, dass man den Korkenzieher hineinschraubt, er also quasi auf mich zukommt.
Damit wäre ja [mm] \overrightarrow{n} [/mm] = [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] ?
Auf jeden Fall bekomme ich für [mm] rot(\overrightarrow{v}) [/mm] = [mm] \vektor{4z^{2} - 2x \\ 0 \\ 2z} [/mm] heraus und je nach Wahl des Normalenvektors für die linke Seite des Satzes von Stokes: [mm] \integral_{0}^{1} \integral_{0}^{1}{\vektor{4z^{2} - 2x\\0\\2z} * \vektor{-1\\0\\0} dy dz} [/mm] = - [mm] \frac{4}{3} [/mm] + 2xy und da die Fläche in der Ebene x=0 liegt: [mm] -\frac{4}{3}. [/mm] Bzw. für einen positiven Normalenvektor [mm] \overrightarrow{n} [/mm] = (1, 0, [mm] 0)^{T} [/mm] ist das Ergebnis + [mm] \frac{4}{3}.
[/mm]
Zum anderen weiß ich bei der rechten Seite des Satzes nicht, wie ich die einzelnen Linienintegrale ausrechnen soll. Muss ich das bei (i) zum Beispiel so machen, dass ich die Richtung in welche der "Pfeil" zeigt als Vektor auffasse und somit [mm] \overrightarrow{l} [/mm] = [mm] \vektor{0\\1\\0} [/mm] bekomme.
Somit wäre doch [mm] \integral_{(i)}^{} {\overrightarrow{l} dL} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1} \vektor{0 \\ 2xz + 3y^{2} \\ 4yz^{2}} [/mm] * [mm] \vektor{0\\1\\0} [/mm] dy = [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] (2xz + [mm] 3y^{2}) [/mm] dy = = 2xz + 1. Da nun das Wegstück aber die Koordinaten x = 0 und z = 0 aufweist, gilt ja vereinfacht: [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] (2xz + [mm] 3y^{2}) [/mm] dy = 1 oder nicht?
Viele Grüße,
Christian
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Fr 06.11.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
für das Linienintegral musst du den Weg parametrisieren für den Weg unten also
[mm] \gamma_1= (0,0,0)^T+ [/mm] (t,0,0) t von 0 bis 1, entsprechend die anderen Wege.
die übliche Vereinbarung ist die Normale zeigt in die Richtung, in der sich eine Rechtsschraube bewegt, wenn man sie in dem Drehsinn des Umlaufs dreht. oder mit 2 Seiten [mm] \vec(a), \vec{b} [/mm] eben [mm] \vec(A)=\vec(a)\times \vec(b) [/mm] in der Reihenfolge wie sie durchlaufen werden. dein vec(A) also entsprechend deiner Zeichnung in -x Richtung.
Schraube oder Korkzieher ist dasselbe aber dein "von der anderen Seite schauen" versteh ich nicht.
Gruß ledum
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Fr 06.11.2015 | | Autor: | X3nion |
Guten Abend ledum und an die Community,
danke für deine Antwort!
Ist denn die Art und Weise, wie ich parametrisiert habe, korrekt?
Mit der Schraube meinte ich folgendes: der Sinn, in welcher in der Zeichnung der Umfang des Quadrates durchlaufen wird, ist ja so wie man draufschaut gegen den Urzeigersinn. Somit drehe ich ja bildlich gesehen die Schraube nicht die -x Achse entlang sondern die x Achse entlang und der Normalenvektor ist doch dann Richtung x Achse gerichtet oder? Wäre der Sinn im Uhrzeigersinn so würde ich ja die Schraube Richtung -x Achse drehen, oder seh ich das falsch?
Gruß Christian
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Hallo!
Da hier immer in Richtung der Achsen integriert wird, kannst du das verkürzend tatsächlich so machen, ich kenne auch diese Schreibweise:
[mm] $\left \int_0^1 \vektor{0 \\ 2xz + 3y^{2} \\ 4yz^{2}} \vektor{0\\1\\0}dy\right|_{x=0;\ y=0}$
[/mm]
um konstante Werte für x und y anzudeuten. Aber das ist eine Abkürzung und geht nicht immer.
Ich empfehle dir, das wirklich mal so zu machen, wie Leduart es geschrieben hat (mit einer kleinen Korrektur, da y-Richtung):
[mm] \vec{l}=\vektor{x\\y\\z}=\vektor{0\\0\\0}+\vektor{0\\1\\0}*t=\vektor{0\\t\\0}\qquadt\in[0;1]
[/mm]
[mm] \left|\frac{d\vec{l}}{dt}\right|=\left|\vektor{0\\1\\0}\right|=1
[/mm]
Das erste ins Feld eingesetzt ergibt $ [mm] \vec{V}=\vektor{0 \\ 3t^{2} \\ 0} [/mm] $
und dann eben
[mm] $\int_{t=0}0^{t=1} \vec{V}*\vec{l}*\left|\frac{d\vec{l}}{dt}\right|dt=\int \vektor{0 \\ 3t^{2} \\ 0}*\vektor{0\\t\\0}*1dt=\int3t^3\,dt$
[/mm]
Dieser Weg ist allgemeingültig, auch wenn ich dir sage, der erste Weg ist ein Stück Parabel ala [mm] \vec{l}=\vektor{0\\t\\t^2}\qquad t\in[0;1] [/mm] . (Versuchs mal!)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Fr 06.11.2015 | | Autor: | X3nion |
Hallo!
Okay das mache ich, danke euch beiden für den Tipp! :)
Wieso muss der Stützvektor bei [mm] \overrightarrow{l} [/mm] dabei sein
Und wohin zeigt denn nun der Normalenvektor? :-D
Leduart meinte in -x Richtung, aber das verstehe ich nicht, da ja der Drehsinn gegen den Uhrzeigersinn ist und somit doch in x Richtung läuft?
Gruß Chris
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Hallo!
Beim ersten Weg ist der Stützvektor [mm] \vec{0}, [/mm] aber schon beim zweiten Weg ist er das nicht mehr.
Denk dran, für [mm] t\in [/mm] [0:1] soll [mm] \vec{l} [/mm] die Punkte deines Weges beschreiben. Welche Werte soll [mm] \vec{l} [/mm] denn dann für t=0 und t=1 annehmen (für jeden der vier Wege separat, du bekommst )
Nochmal zum Normalenvektor:
Die Seite mit der Integration über den Rand von Stokes Satz folgt der Rechte-Hand-Regel. Machst du mit deiner Hand das hier: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , und beschreiben die gekrümmten Finger die Richtung des Weges, dann zeigt der Daumen die Richtung der Flächennormalen an. Die gilt dann auch für die Seite mit dem Flächenintegral. (Sonst kommt es zu einem verkehrten Vorzeichen.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:45 Fr 06.11.2015 | | Autor: | X3nion |
Okay danke für die ausführliche Erklärung! Ich versuche das alles noch nachzuvollziehen ... wie ist es denn in diesem Beispiel, wohin zeigt da der Normalenvektor, Richtung -x oder x? Damit ich mir das am Beispiel verdeutlichen kann.
Und nochmals zur Parametrisierung eine Nachfrage:
[mm] \left|\frac{d\vec{l}}{dt}\right|=\left|\vektor{0\\1\\0}\right|=1
[/mm]
Wieso hast du vom der Ableitung des Vektors [mm] \overrightarrow{l} [/mm] den Betrag genommen?
Geht die Formel für das Linienintegral über ein stetiges Vektorfeld f nicht so:
[mm] \integral_{\gamma}^{} [/mm] f(x) dx = [mm] \integral_{a}^{b} f(\gamma(t)) [/mm] * [mm] \gamma'(t) [/mm] dt
mit [mm] \gamma'(t), [/mm] welches der Ableitung von [mm] \gamma [/mm] nach t entspricht?
Woher hast du den Betrag hergezaubert? :)
Und was kommt als Linienintegral für Wegstück (i) heraus, 3/4 dann??
Gruß Christian
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Hallo!
Der Normalenvektor würde aus der "Monitorebene" heraus, bzw entlang der x-Achse ("nach links") verlaufen.
Zum Betrag: Für Funktionen der Art $f:\ [mm] \IR^n\mapsto\IR$ [/mm] nimmt man den Betrag, für $f:\ [mm] \IR^n\mapsto\IR^n$ [/mm] nimmt man den Vektor. Hier ist [mm] $f(\vec{l})= \vec{V}*\vec{l}$, [/mm] das ist die erste Art, und folglich benutzt man den Betrag.
Dadurch wird auch sichergestellt, daß das Integral auch einen Skalar liefert, wie es beide Seiten des Stokes-Satzes tun. Sonst würdest du ja einen Vektor heraus bekommen.
Und ja, das Ergebnis für das erste Teilstück ist 3/4
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:58 Sa 07.11.2015 | | Autor: | X3nion |
Guten Abend!
Moment mal! Im Integralsatz von Stokes steht doch aber, dass [mm] \overrightarrow{v} [/mm] ein stetig differenzierbares Vektorfeld sein muss, und nicht Skalarfeld!
Bist du sicher dass du da nichts duecheinanderbringst?
Und wie ist das, wieso bekommst du, wenn du [mm] \vektor{0\\t\\0} [/mm] in das Vektorfeld einsetzt, [mm] \vektor{0\\3t^{2}\\0}, [/mm] also wie hast du eingesetzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 Sa 07.11.2015 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Guten Abend!
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> Moment mal! Im Integralsatz von Stokes steht doch aber,
> dass [mm]\overrightarrow{v}[/mm] ein stetig differenzierbares
> Vektorfeld sein muss, und nicht Skalarfeld!
> Bist du sicher dass du da nichts duecheinanderbringst?
Entsteht da Deiner Meinung nach ein Widerspruch? Wenn [mm] $\vec [/mm] v$ ein Vektorfeld ist, dann ist doch [mm] $\vec v\cdot \vec [/mm] l$ ein Skalarfeld, oder?
>
>
> Und wie ist das, wieso bekommst du, wenn du
> [mm]\vektor{0\\t\\0}[/mm] in das Vektorfeld einsetzt,
> [mm]\vektor{0\\3t^{2}\\0},[/mm] also wie hast du eingesetzt?
Weil [mm] $\left(\begin{array}{c}0\\t\\0\end{array}\right)$ [/mm] nichts anderes als $x=0$, $y=t$ und $z=0$ bedeutet.
Was bekommst Du denn heraus, wenn Du das einsetzt?
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Sa 07.11.2015 | | Autor: | X3nion |
Hmm okay,
dann versuche ich mal den zweiten Weg damit:
bei Wegstück (ii) ist [mm] \overrightarrow{l} [/mm] = [mm] \vektor{0\\1\\t}, [/mm] die Ableitung davon nach t ist [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] und der Betrag ebenso 1.
Eingesetzt in das Vektorfeld bekomme ich: [mm] \integral_{0}^{1} \vektor{0\\3\\4t^{2}} [/mm] * [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] * 1 dt = [mm] \integral_{0}^{1} 4t^{2} [/mm] dt = [mm] \frac{4}{3} [/mm]
Dritter Weg:
bei Wegstück (iii) ist [mm] \overrightarrow{l} [/mm] = [mm] \vektor{0\\1-t\\1}, [/mm] die Ableitung davon nach t ist [mm] \vektor{0\\-1\\0} [/mm] und der Betrag ebenso 1.
Eingesetzt in das Vektorfeld bekomme ich: [mm] \integral_{0}^{1} \vektor{0\\3(1-t)^{2}\\4(1-t)} [/mm] * [mm] \vektor{0\\-1\\0} [/mm] * 1 dt = [mm] \integral_{0}^{1} -3(1-t)^{2} [/mm] dt = -3
Vierter Weg:
bei Wegstück (iv) ist [mm] \overrightarrow{l} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\1-t}, [/mm] die Ableitung davon nach t ist [mm] \vektor{0\\0\\-1} [/mm] und der Betrag ebenso 1.
Eingesetzt in das Vektorfeld bekomme ich: [mm] \integral_{0}^{1} \vektor{0\\0\\0} [/mm] * [mm] \vektor{0\\0\\-1}* [/mm] 1 dt = 0
Insgesamt bekomme ich nun durch addieren: [mm] \frac{3}{4} [/mm] + [mm] \frac{4}{3} [/mm] + (-3) = [mm] \frac{9}{12} [/mm] + [mm] \frac{16}{12} [/mm] - [mm] \frac{36}{12}= [/mm] - [mm] \frac{11}{12}.
[/mm]
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, ist das doch dann aber ungleich des Flächenintegrals und somit gilt der Stokessche Satz nicht?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Sa 07.11.2015 | | Autor: | notinX |
> Hmm okay,
>
> dann versuche ich mal den zweiten Weg damit:
>
> bei Wegstück (ii) ist [mm]\overrightarrow{l}[/mm] =
> [mm]\vektor{0\\1\\t},[/mm] die Ableitung davon nach t ist
> [mm]\vektor{0\\0\\1}[/mm] und der Betrag ebenso 1.
> Eingesetzt in das Vektorfeld bekomme ich:
> [mm]\integral_{0}^{1} \vektor{0\\3\\4t^{2}}[/mm] * [mm]\vektor{0\\0\\1}[/mm]
> * 1 dt = [mm]\integral_{0}^{1} 4t^{2}[/mm] dt = [mm]\frac{4}{3}[/mm]
>
> Dritter Weg:
>
> bei Wegstück (iii) ist [mm]\overrightarrow{l}[/mm] =
> [mm]\vektor{0\\1-t\\1},[/mm] die Ableitung davon nach t ist
> [mm]\vektor{0\\-1\\0}[/mm] und der Betrag ebenso 1.
> Eingesetzt in das Vektorfeld bekomme ich:
> [mm]\integral_{0}^{1} \vektor{0\\3(1-t)^{2}\\4(1-t)}[/mm] *
> [mm]\vektor{0\\-1\\0}[/mm] * 1 dt = [mm]\integral_{0}^{1} -3(1-t)^{2}[/mm] dt
> = -3
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Rechne das nochmal nach.
>
> Vierter Weg:
>
>
> bei Wegstück (iv) ist [mm]\overrightarrow{l}[/mm] =
> [mm]\vektor{0\\0\\1-t},[/mm] die Ableitung davon nach t ist
> [mm]\vektor{0\\0\\-1}[/mm] und der Betrag ebenso 1.
> Eingesetzt in das Vektorfeld bekomme ich:
> [mm]\integral_{0}^{1} \vektor{0\\0\\0}[/mm] * [mm]\vektor{0\\0\\-1}*[/mm] 1
> dt = 0
>
> Insgesamt bekomme ich nun durch addieren: [mm]\frac{3}{4}[/mm] +
> [mm]\frac{4}{3}[/mm] + (-3) = [mm]\frac{9}{12}[/mm] + [mm]\frac{16}{12}[/mm] -
> [mm]\frac{36}{12}=[/mm] - [mm]\frac{11}{12}.[/mm]
>
> Wenn ich mich nicht verrechnet habe, ist das doch dann aber
> ungleich des Flächenintegrals und somit gilt der
> Stokessche Satz nicht?!
Wenn das so ist, ist das ein eindeutiges Zeichen dafür, dass Du Dich verrechnet hast. Vor allem wenn in der Aufgabenstellung steht: "Verifizieren Sie den Satz von Stokes"
Hast Du das Flächenintegral schon ausgerechnet?
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Sa 07.11.2015 | | Autor: | X3nion |
Hallo,
könntest du vielleicht durchgehen und mit sagen wo ich mich verrechnet habe?
Wäre echt cool!
Gruß Chris
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Sa 07.11.2015 | | Autor: | notinX |
> Hallo,
>
> könntest du vielleicht durchgehen und mit sagen wo ich
> mich verrechnet habe?
> Wäre echt cool!
>
> Gruß Chris
Also wenn mir jetzt kein Fehler unterlaufen ist, liegts am ersten Wegstück (i). Das hast Du in Deinem ersten Beitrag schon richtig berechnet, hast Dich dann aber verunsichern lassen.
Dass Wegstück (iii) auch falsch ist, habe ich ja schon gesagt. Das richtige Ergebnis lautet -1 (für Wegstück (iii)) und damit stimmt das Wegintegral auch mit dem Flächenintegral überein.
Jetzt alles klar?
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:25 Sa 07.11.2015 | | Autor: | X3nion |
Ohman bin ich blöd, ja klar!
bei (iii) habe ich ja [mm] \integral_{0}^{1} -3(1-t)^{2} [/mm] dt, die Stammfunktion davon ist [mm] |(1-t)^{3}| [/mm] von den Grenzen 0 und 1. Das ergibt dann 0 - 1 = -1.
Bei (i) kommt mit deiner Korrektur also doch 1 raus, somit hebt sich -1 und +1 auf und es bleibt 4/3 übrig, was auch dem Flächenintegral entspricht.
Vielen Dank!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Sa 07.11.2015 | | Autor: | X3nion |
Hallo,
dennoch habe ich noch eine Frage zur Nutzung der verschiedenen Formen der Kurvenintegrale!
Das Kurvenintegral 1. Art geht ja so:
Das Wegintegral einer stetigen Funktion
F: [mm] \IR^{n} [/mm] -> [mm] \IR
[/mm]
entlang eines stückweise definierten stetig differenzierbaren Weges
[mm] \gamma: [/mm] [a, b] -> [mm] \IR^{n}
[/mm]
ist definiert als: [mm] \integral_{\gamma}^{} [/mm] f ds = [mm] \integral_{a}^{b} f(\gamma(t)) [/mm] * [mm] ||\gamma'(t)||_{2} [/mm] dt
wobei [mm] \gamma' [/mm] die Ableitung von [mm] \gamma [/mm] nach t und [mm] ||\gamma'(t)||_{2} [/mm] die euklidische Norm des Vektors [mm] \gamma'(t) [/mm] bezeichnet.
Das Kurvenintegral 2. Art dagegen so:
Das Wegintegral über ein stetiges Vektorfeld
F: [mm] \IR^{n} [/mm] -> [mm] \IR^{n}
[/mm]
mit einer ebenfalls so parametrisierten Kurve ist definiert als das Integral über das Skalarprodukt aus f [mm] \circ \gamma [/mm] und [mm] \gamma':
[/mm]
[mm] \integral_{\gamma}^{} [/mm] f(x) dx = [mm] \integral_{a}^{b} f(\gamma(t)) [/mm] * [mm] \gamma'(t) [/mm] dt
a) Ich verstehe immer noch nicht ganz, wieso hier nicht das Kurvenintegral 2. Art angewandt wird. Weil [mm] \overrightarrow{v} [/mm] ist ja ein stetig differenzierbares Vektorfeld.
b) Ich habe gemerkt vom Skalarprodukt " [mm] \overrightarrow{v} [/mm] * [mm] \overrightarrow{l} [/mm] " im Integral, welches ich im ersten Beitrag geschrieben habe, steht in beiden Formeln nichts, sondern es ist doch eine Verkettung aus Vektorfeld und Parametrisierungsvektor, da ich Letzteren in das Vektorfeld koordinatenweise einsetze. Ich habe also wohl die Formel falsch notiert! In gewisser Weise habe ich da wohl auch Verwirrung reingebracht, weil es sich ja eben um eine Verkettung aus v und l und nicht um ein Skalarprodukt handelt.
[mm] \overrightarrow{v} [/mm] * [mm] \overrightarrow{l} [/mm] würde das Vektorfeld vielleicht zu einem Skalarfeld machen, aber davon steht ja eben nichts in der Definition des Kurvenintegrales: es muss ja ein Skalarfeld [mm] \overrightarrow{v} [/mm] gegeben sein, und für die Berechnung haben wir ja auch nicht [mm] \overrightarrow{v} [/mm] mit [mm] \overrightarrow{l} [/mm] multipliziert, sondern da hast du ja Event_Horizon korrigiert dass man es mit eben der Ableitung von [mm] \overrightarrow{l} [/mm] multiplizieren müsse, was aber wiederum Kurvenintegral 2 entspräche...
c) Du hast ja Event_Horizon auch korrigiert man muss mit der Ableitung von [mm] \overrightarrow{l} [/mm] multiplizieren. Am Ende, das hast du so belassen, steht dann noch * 1 dt, die 1 stünde ja dann für den die euklidische Norm der Ableitung des Vektors [mm] \overrightarrow{l}.
[/mm]
Aber dies ist doch dann ein Doppelgemoppel aus beiden Formeln, dann würde man aus der 1. Art die euklidische Norm und aus der 2. Art die Ableitung nehmen und beide ins Produkt setzen?! Ich versteh nur noch Bahnhof..
Würde mich freuen wenn du oder jemand anders mich aufklären könnte 
Viele Grüße,
Christian
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Sa 07.11.2015 | | Autor: | notinX |
> Hallo,
> dennoch habe ich noch eine Frage zur Nutzung der
> verschiedenen Formen der Kurvenintegrale!
>
> Das Kurvenintegral 1. Art geht ja so:
> Das Wegintegral einer stetigen Funktion
> F: [mm]\IR^{n}[/mm] -> [mm]\IR[/mm]
> entlang eines stückweise definierten stetig
> differenzierbaren Weges
> [mm]\gamma:[/mm] [a, b] -> [mm]\IR^{n}[/mm]
>
> ist definiert als: [mm]\integral_{\gamma}^{}[/mm] f ds =
> [mm]\integral_{a}^{b} f(\gamma(t))[/mm] * [mm]||\gamma'(t)||_{2}[/mm] dt
> wobei [mm]\gamma'[/mm] die Ableitung von [mm]\gamma[/mm] nach t und
> [mm]||\gamma'(t)||_{2}[/mm] die euklidische Norm des Vektors
> [mm]\gamma'(t)[/mm] bezeichnet.
>
> Das Kurvenintegral 2. Art dagegen so:
>
> Das Wegintegral über ein stetiges Vektorfeld
> F: [mm]\IR^{n}[/mm] -> [mm]\IR^{n}[/mm]
> mit einer ebenfalls so parametrisierten Kurve ist
> definiert als das Integral über das Skalarprodukt aus f
> [mm]\circ \gamma[/mm] und [mm]\gamma':[/mm]
>
> [mm]\integral_{\gamma}^{}[/mm] f(x) dx = [mm]\integral_{a}^{b} f(\gamma(t))[/mm]
> * [mm]\gamma'(t)[/mm] dt
>
> a) Ich verstehe immer noch nicht ganz, wieso hier nicht das
> Kurvenintegral 2. Art angewandt wird. Weil
> [mm]\overrightarrow{v}[/mm] ist ja ein stetig differenzierbares
> Vektorfeld.
Ja, und genau deshalb muss hier das Kurvenintegral 2. Art verwendet werden, da das Kurvenintegral erster Art für Skalarfelder und nicht für Vektorfelder definiert ist.
>
> b) Ich habe gemerkt vom Skalarprodukt " [mm]\overrightarrow{v}[/mm]
> * [mm]\overrightarrow{l}[/mm] " im Integral, welches ich im ersten
> Beitrag geschrieben habe, steht in beiden Formeln nichts,
> sondern es ist doch eine Verkettung aus Vektorfeld und
> Parametrisierungsvektor, da ich Letzteren in das Vektorfeld
> koordinatenweise einsetze. Ich habe also wohl die Formel
> falsch notiert! In gewisser Weise habe ich da wohl auch
> Verwirrung reingebracht, weil es sich ja eben um eine
> Verkettung aus v und l und nicht um ein Skalarprodukt
> handelt.
>
> [mm]\overrightarrow{v}[/mm] * [mm]\overrightarrow{l}[/mm] würde das
> Vektorfeld vielleicht zu einem Skalarfeld machen, aber
> davon steht ja eben nichts in der Definition des
> Kurvenintegrales: es muss ja ein Skalarfeld
> [mm]\overrightarrow{v}[/mm] gegeben sein, und für die Berechnung
> haben wir ja auch nicht [mm]\overrightarrow{v}[/mm] mit
> [mm]\overrightarrow{l}[/mm] multipliziert, sondern da hast du ja
> Event_Horizon korrigiert dass man es mit eben der Ableitung
> von [mm]\overrightarrow{l}[/mm] multiplizieren müsse, was aber
> wiederum Kurvenintegral 2 entspräche...
Ja, es handelt sich auch um eines 2. Art. Die Notation wie Du sie in diesem Beitrag aufgeschrieben hast ist auf jeden Fall korrekt.
>
> c) Du hast ja Event_Horizon auch korrigiert man muss mit
> der Ableitung von [mm]\overrightarrow{l}[/mm] multiplizieren. Am
> Ende, das hast du so belassen, steht dann noch * 1 dt, die
> 1 stünde ja dann für den die euklidische Norm der
> Ableitung des Vektors [mm]\overrightarrow{l}.[/mm]
> Aber dies ist doch dann ein Doppelgemoppel aus beiden
> Formeln, dann würde man aus der 1. Art die euklidische
> Norm und aus der 2. Art die Ableitung nehmen und beide ins
> Produkt setzen?! Ich versteh nur noch Bahnhof..
Ich glaube, Event_Horizon hat sich etwas unglücklich ausgedrückt.
Wenn ich das richtig verstehe hat er folgendes gemacht:
Ausgehend vom Kurvenintegral 2. Art: [mm] $\int_\gamma \vec v(\vec x)\cdot\,\mathrm{d}\vec x=\int_{t_0}^{t_1}\vec{v}(\gamma(t))\cdot\dot{\gamma}(t)\,\mathrm{d}t$
[/mm]
hat er einen normierten Vektor [mm] $\vec{n}_{\dot{\gamma}}=\frac{\dot{\gamma}(t)}{\|\dot{\gamma}(t)\|}$ [/mm] definiert. Wenn man das wiederum ins Kurvenintegral einsetzt, erhält man:
[mm] $\int_{t_0}^{t_1}\vec{v}(\gamma(t))\cdot\dot{\gamma}(t)\,\mathrm{d}t=\int_{t_0}^{t_1}\vec{v}(\gamma(t))\cdot\vec{n}_{\dot{\gamma}}\|\dot{\gamma}(t)\|\,\mathrm{d}t$
[/mm]
Dann sieht das schon so ähnlich aus, aber vielleicht stehe ich auch gerade auf dem Schlauch.
Halte Dich am besten einfach an die Definitionen, dann machst Du nichts verkehrt.
>
> Würde mich freuen wenn du oder jemand anders mich
> aufklären könnte
Wann welches Kurvenintegral verwendet wird ist eigentlich ganz einfach - es "passt" immer nur eins. Hast Du ein Skalarfeld gegeben: 1. Art, hast Du ein Vektorfeld gegeben: 2. Art.
>
> Viele Grüße,
> Christian
>
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 16:49 Sa 07.11.2015 | | Autor: | notinX |
Hallo Event_Horizon,
> Hallo!
>
> Da hier immer in Richtung der Achsen integriert wird,
> kannst du das verkürzend tatsächlich so machen, ich kenne
> auch diese Schreibweise:
>
> [mm]\left \int_0^1 \vektor{0 \\ 2xz + 3y^{2} \\ 4yz^{2}} \vektor{0\\1\\0}dy\right|_{x=0;\ y=0}[/mm]
>
> um konstante Werte für x und y anzudeuten. Aber das ist
> eine Abkürzung und geht nicht immer.
>
>
>
>
> Ich empfehle dir, das wirklich mal so zu machen, wie
> Leduart es geschrieben hat (mit einer kleinen Korrektur, da
> y-Richtung):
>
> [mm]\vec{l}=\vektor{x\\y\\z}=\vektor{0\\0\\0}+\vektor{0\\1\\0}*t=\vektor{0\\t\\0}\qquadt\in[0;1][/mm]
>
> [mm]\left|\frac{d\vec{l}}{dt}\right|=\left|\vektor{0\\1\\0}\right|=1[/mm]
>
>
> Das erste ins Feld eingesetzt ergibt [mm]\vec{V}=\vektor{0 \\ 3t^{2} \\ 0}[/mm]
>
> und dann eben
>
> [mm]\int_{t=0}0^{t=1} \vec{V}*\vec{l}*\left|\frac{d\vec{l}}{dt}\right|dt=\int \vektor{0 \\ 3t^{2} \\ 0}*\vektor{0\\t\\0}*1dt=\int3t^3\,dt[/mm]
Hier muss es doch lauten:
[mm] $\int_{t=0}0^{t=1} \vec{V}*\vec{l}*\left|\frac{d\vec{l}}{dt}\right|dt=\int \vektor{0 \\ 3t^{2} \\ 0}*\vektor{0\\ {\color{red}1} \\0}*1dt=\ldots$
[/mm]
Dann kommt für das erste Teislstück auch was anderes raus.
>
> Dieser Weg ist allgemeingültig, auch wenn ich dir sage,
> der erste Weg ist ein Stück Parabel ala
> [mm]\vec{l}=\vektor{0\\t\\t^2}\qquad t\in[0;1][/mm] . (Versuchs
> mal!)
Gruß,
notinX
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