Strecke / Menge < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Aus der Schule sind Ihnen folgende Definitionen der Mittelsenkrechten einer
Strecke AB bekannt:
i) Eine (zur Geraden AB) senkrechte Gerade durch den Mittelpunkt der Strecke AB. ii) Die Menge der Punkte, die den gleichen Abstand von den Punkten A und B haben.
Beweisen Sie (unter Verwendung Ihres Schulwissens) mengentheoretisch, dass diese Definitionen äquivalent sind. (Das heißt, dass die so definierten Mengen gleich sind.) |
Hallo.
Derzeitig besuche ich als Chemiestudent Vorlesungen der Analysis, da ich mich für Mathematik interessiere.
Da ich die Übungsstunden nicht verfolgen kann, werde ich wohl des öfteren hier Fragen stellen.
Zur obigen Aufgabe war meine Überlegung die folgende:
Annahme:
A := [mm] \{a_{A} \in \IR\}
[/mm]
B := [mm] \{a_{E} \in \IR \}
[/mm]
AB := [mm] \{a_{n} \in \IR| a_{A} \le a_{n} \le a_{E}, n \in \IN \}
[/mm]
Nach i) gilt:
[mm] M_{i}:={a_{n} \in AB| a_{n}=\bruch{a_{A}+a_{E}}{2}, n \in \IN \}
[/mm]
Nach ii) gilt:
[mm] M_{ii}:={a_{n} \in AB| (a_{n}+k)=a_{E} \wedge (a_{n}-k=a_{A}), n\in \IN \}
[/mm]
Da i=ii gelten soll muss die Vereinigung aus [mm] M_{i} [/mm] und [mm] M_{ii} [/mm] die gleichen Elemente enthalten, also [mm] M_{i}=M_{ii} [/mm] gelten.
[mm] M_{i} \cap M_{ii}= [/mm]
[mm] \forall a_{n} \in M_{i}, a_{n}=\bruch{a_{A}+a_{B}}{2} \Rightarrow 2a_{n}=a_{A}+a_{E}
[/mm]
[mm] \forall a_{n} \in M_{ii}, a_{n}+k=a_{E} \wedge a_{n}-k=a_{A} \Rightarrow [/mm]
[mm] a_{A}+a_{E}=a_{n}-k+a_{n}+k=2a_{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \not \exists a_{n} \in M_{i} \not= a_{n} \in M_{ii} \wedge \not \exists a_{n} \in M_{ii} \not= a_{n} \in M_{i} \Rightarrow M_{i}=M_{ii}
[/mm]
Ich wäre erfreut, wenn jemand mal drüberschauen könnte.
Es ist mein erster "Beweis" dieser Art, weswegen ich mich auch freuen würde, wenn ihr auf unnötige Schritte etc. hinweisen könntet.
Viele Grüße
Edit: Eigentlich sollte dieser Thread nicht in mehrere Variablen landen...
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:25 Fr 20.04.2012 | | Autor: | Stoecki |
hallo
> Aus der Schule sind Ihnen folgende Definitionen der
> Mittelsenkrechten einer
> Strecke AB bekannt:
> i) Eine (zur Geraden AB) senkrechte Gerade durch den
> Mittelpunkt der Strecke AB. ii) Die Menge der Punkte, die
> den gleichen Abstand von den Punkten A und B haben.
> Beweisen Sie (unter Verwendung Ihres Schulwissens)
> mengentheoretisch, dass diese Definitionen äquivalent
> sind. (Das heißt, dass die so definierten Mengen gleich
> sind.)
>
>
> Hallo.
>
> Derzeitig besuche ich als Chemiestudent Vorlesungen der
> Analysis, da ich mich für Mathematik interessiere.
> Da ich die Übungsstunden nicht verfolgen kann, werde ich
> wohl des öfteren hier Fragen stellen.
>
> Zur obigen Aufgabe war meine Überlegung die folgende:
>
> Annahme:
> A := [mm]\{a_{A} \in \IR\}[/mm]
> B := [mm]\{a_{E} \in \IR \}[/mm]
>
> AB := [mm]\{a_{n} \in \IR| a_{A} \le a_{n} \le a_{E}, n \in \IN \}[/mm]
>
das hier kannst du so nicht schreiben. wenn man das mit schulwissen machen soll liegt zumindest der [mm] \IR^{2} [/mm] zugrunde (also kannst du das quasi als koordinatensystem mit zwei achsen zeichnen. dort gibt es jedoch keine totale ordnung, sodass die operatoren [mm] \le [/mm] und [mm] \ge [/mm] nicht immer gelten. daher darfst du das so nicht in einem allgemeinen beweis schreiben
> Nach i) gilt:
> [mm]M_{i}:={a_{n} \in AB| a_{n}=\bruch{a_{A}+a_{E}}{2}, n \in \IN \}[/mm]
>
> Nach ii) gilt:
> [mm]M_{ii}:={a_{n} \in AB| (a_{n}+k)=a_{E} \wedge (a_{n}-k=a_{A}), n\in \IN \}[/mm]
>
> Da i=ii gelten soll muss die Vereinigung aus [mm]M_{i}[/mm] und
> [mm]M_{ii}[/mm] die gleichen Elemente enthalten, also [mm]M_{i}=M_{ii}[/mm]
> gelten.
elemente stimmt hier nicht. in deinen M-Mengen ist jeweils genau ein element, nämlich der mittelpunkt von A und B
>
> [mm]M_{i} \cap M_{ii}=[/mm]
> [mm]\forall a_{n} \in M_{i}, a_{n}=\bruch{a_{A}+a_{B}}{2} \Rightarrow 2a_{n}=a_{A}+a_{E}[/mm]
>
> [mm]\forall a_{n} \in M_{ii}, a_{n}+k=a_{E} \wedge a_{n}-k=a_{A} \Rightarrow[/mm]
> [mm]a_{A}+a_{E}=a_{n}-k+a_{n}+k=2a_{n}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \not \exists a_{n} \in M_{i} \not= a_{n} \in M_{ii} \wedge \not \exists a_{n} \in M_{ii} \not= a_{n} \in M_{i} \Rightarrow M_{i}=M_{ii}[/mm]
>
> Ich wäre erfreut, wenn jemand mal drüberschauen könnte.
> Es ist mein erster "Beweis" dieser Art, weswegen ich mich
> auch freuen würde, wenn ihr auf unnötige Schritte etc.
> hinweisen könntet.
>
> Viele Grüße
>
> Edit: Eigentlich sollte dieser Thread nicht in mehrere
> Variablen landen...
vorschlag für den beweis. sei a der mittelpunkt von A und B und x in [mm] M_1 [/mm] beliebig. dann sind die beiden dreiecke aAx und aBx rechtwinkelig. man kann dazu auch noch mehr sagen....
noch ein hinweis zeige: sei x [mm] \in M_1 [/mm] beliebig. dann muss x auch in [mm] M_2 [/mm] liegen und umgekehrt. Mengengleichheit zeigt man üblicherweise mit diesen beiden inclusionen
der rest ist nun wieder dir überlassen 
gruß bernhard
|
|
|
| |
|
Hallo und danke für die Antwort und die Hinweise.
Den geometrischen Beweis werde ich im Laufe des Tages angehen, für den Beweis der Mengengleichheit habe ich mir folgendes überlegt:
Als Annahme:
[mm] M_{1}=M_{2} \equiv M_{1} \subset M_{2} [/mm] /wedge [mm] M_{2} \subset M_{1}
[/mm]
Nur unter der Bedingung der Teilmengen gilt dann folgendes:
x [mm] \in M_{1} \Rightarrow [/mm] x [mm] \in M_{2} \wedge [/mm] x [mm] \in M_{2} \Rightarrow [/mm] x [mm] \in M_{1} [/mm]
Letztlich folgt daraus:
x in [mm] M_{1} \Leftrightarrow [/mm] x in [mm] M_{2}
[/mm]
und diese Beziehung zeigt die Gleichheit der Mengen [mm] M_{1} [/mm] und [mm] M_{2}. [/mm]
Ist meine Schlussfolgerung verständlich? Diese Schreibweise ist sehr ungewohnt und die Formulierung in Worte würde mir einfacher fallen :).
Über Tips , Hinweise etc. bin ich sehr erfreut.
Vieel Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:55 Sa 21.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Masseltof,
> Den geometrischen Beweis werde ich im Laufe des Tages
> angehen, für den Beweis der Mengengleichheit habe ich mir
> folgendes überlegt:
Nach wiederholtem Lesen habe ich dich folgendermaßen verstanden:
Du möchtest zeigen: Um [mm] $M_1=M_2$ [/mm] zu zeigen, genügt es, [mm] $M_1\subset M_2$ [/mm] und [mm] $M_2\subset M_1$ [/mm] zu zeigen.
Den (geometrischen) Nachweis von [mm] $M_1\subset M_2$ [/mm] und [mm] $M_2\subset M_1$ [/mm] möchtest du später führen.
> Als Annahme:
Behauptung, nicht Annahme.
> [mm]M_{1}=M_{2} \equiv M_{1} \subset M_{2}[/mm] [mm] \wedge[/mm] [mm]M_{2} \subset M_{1}[/mm]
Statt [mm] $\equiv$ [/mm] (du meinst damit wohl [mm] $\iff$) [/mm] müsste da [mm] $\Leftarrow$ [/mm] stehen, denn du zeigst nur diese Richtung.
> Nur unter der Bedingung der Teilmengen gilt dann
> folgendes:
> x [mm]\in M_{1} \Rightarrow[/mm] x [mm]\in M_{2} \wedge[/mm] x [mm]\in M_{2} \Rightarrow[/mm]
> x [mm]\in M_{1}[/mm]
> Letztlich folgt daraus:
> x in [mm]M_{1} \Leftrightarrow[/mm] x in [mm]M_{2}[/mm]
>
> und diese Beziehung zeigt die Gleichheit der Mengen [mm]M_{1}[/mm]
> und [mm]M_{2}.[/mm]
Wenn ich dein Anliegen richtig verstanden habe, stimmt es.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
|
