Strenge Monotonie nachweisen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:11 Mo 11.06.2007 | | Autor: | Leader |
Hallo,
wie kann ich die strenge Monotonie einer Funktion nachweisen? Ich habe eine Funktion f(x) = [mm] e^{3x} [/mm] - 25 gegeben und will beweisen, dass diese genau eine Nullstelle besitzt.
Dazu habe ich zunächst die 1. Ableitung gebildet, also f'(x) = [mm] 3e^{3x} [/mm] und gezeigt, dass diese keine Nullstelle besitzt, es also keine Extrempunkte gibt und die Funktion folglich monoton ist.
Ich denke aber, die Aussage allein reicht nicht, denn monoton schließt ja nicht aus, dass die Funktion bei y=0 für ein paar x-Werte konstant bleibt und dann hätte sie mehr als eine Nullstelle.
Also muss ich zeigen, dass strenge Monotonie vorliegt, aber wie mach ich das am besten?
Freundliche Grüße,
Leader.
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> Hallo,
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> wie kann ich die strenge Monotonie einer Funktion
> nachweisen? Ich habe eine Funktion f(x) = [mm]e^{3x}[/mm] - 25
> gegeben und will beweisen, dass diese genau eine Nullstelle
> besitzt.
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> Dazu habe ich zunächst die 1. Ableitung gebildet, also
> f'(x) = [mm]3e^{3x}[/mm] und gezeigt, dass diese keine Nullstelle
> besitzt, es also keine Extrempunkte gibt und die Funktion
> folglich monoton ist.
Du kannst Dich darauf beschränken zu zeigen, dass die Ableitung [mm]f'(x)>0[/mm] ist, für alle [mm]x[/mm]. Aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung folgt dann sogleich, dass [mm]f[/mm] streng monoton wachsend ist: Denn nach dem Mittelwertsatz muss ja, für [mm]x_1
[mm]f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)\cdot (x_2-x_1)[/mm]
Salopp ausgedrückt "es gibt eine Tangente, deren Steigung gleich der Steigung der Sekante ist". Aus [mm]f'(\xi)>0[/mm] und [mm]x_2-x_1>0[/mm] folgt daraus sogleich, dass [mm]f(x_2)-f(x_1)>0[/mm] ist, was nichts anderes bedeutet, als [mm]x_1ist streng monoton wachsend).
> Ich denke aber, die Aussage allein reicht nicht, denn
> monoton schließt ja nicht aus, dass die Funktion bei y=0
> für ein paar x-Werte konstant bleibt und dann hätte sie
> mehr als eine Nullstelle.
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> Also muss ich zeigen, dass strenge Monotonie vorliegt, aber
> wie mach ich das am besten?
>
> Freundliche Grüße,
> Leader.
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