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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Strong maximum principle
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Strong maximum principle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:51 Do 09.08.2012
Autor: kalor

Hallo!

Wenn ich eine offene Menge $O$ habe, die beschränkt sei und eine Funktion [mm] $u\in C^2(O)\cap C(\overline{O})$, [/mm] welche harmonisch auf $O$ ist. Nehmen wir an, dass ich gezeigt habe, dass wenn $O$ zusammenhängend ist und es ein Punkt [mm] $z\in [/mm] O$ gibt mit

[mm] $$u(z)=\max_{\overline{O}}u$$ [/mm]

dann ist u konstant auf $O$. Wieso folgt nun für nicht zusammenhängendes $O$, dass

[mm] $$\max_{\overline{O}}u=\max_{\partial O}u$$ [/mm]

Danke!

greetz

KaloR

        
Bezug
Strong maximum principle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:30 Do 09.08.2012
Autor: Teufel

Hi!

Kann man nicht einfach $O$ in seine Zusammenhangskomponenten zerlegen? Ich bin mir nicht ganz sicher, aber wenn sagen wir $O=X [mm] \cup [/mm] Y$ eine disjunkte Zerlegung ist mit $X,Y$ offen und zusammenhängend, dann gilt doch folgendes:

Wenn das Maximum auf X angenommen wird, dann ist $u$ auf $X$ konstant, da $X$ zusammenhängend ist. Dann nimmt $u$ das Maximum aber auch auf dem Rand von $O$ an, weil $u$ ja dann auch auf [mm] $\partial [/mm] X$ das Maximum annimmt (und [mm] $\partial [/mm] X [mm] \subset \partial [/mm] O$).

Und wenn $u$ das Maximum auf dem Rand von $X$ annimmt, ist eh nichts zu zeigen.

Analog mit $Y$.

Und das Argument kann man natürlich für noch mehr Mengen hochziehen. Man muss nur begründen, dass man $O$ immer so schön zerlegen kann. Oder dürft ihr davon ausgehen?

Bezug
                
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Strong maximum principle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:22 So 19.08.2012
Autor: kalor

Hallo Teufel

Kurze Frage habe ich noch.

> Hi!
>  
> Kann man nicht einfach [mm]O[/mm] in seine Zusammenhangskomponenten
> zerlegen? Ich bin mir nicht ganz sicher, aber wenn sagen
> wir [mm]O=X \cup Y[/mm] eine disjunkte Zerlegung ist mit [mm]X,Y[/mm] offen
> und zusammenhängend, dann gilt doch folgendes:
>  
> Wenn das Maximum auf X angenommen wird, dann ist [mm]u[/mm] auf [mm]X[/mm]
> konstant, da [mm]X[/mm] zusammenhängend ist. Dann nimmt [mm]u[/mm] das
> Maximum aber auch auf dem Rand von [mm]O[/mm] an, weil [mm]u[/mm] ja dann
> auch auf [mm]\partial X[/mm] das Maximum annimmt (und [mm]\partial X \subset \partial O[/mm]).
>  

Wieso nimmt $u$ das Maximum auch auf [mm] $\pratial [/mm] X$ an? Ich weiss ja nur, dass $u$ konstant das Maximum ist innerhalb von $X$ .

Grüsse

hula

Bezug
                        
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Strong maximum principle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:11 So 19.08.2012
Autor: Teufel

Hi!

Wenn $u$ konstant auf $X$, dann wird das Maximum überall auf X angenommen. Insbesondere eben auch auf dem Rand!

Bezug
                                
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Strong maximum principle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:25 So 19.08.2012
Autor: kalor

Hallo Teufel

Danke für deine Geduld. Ich wäre einverstanden, wenn $X$ abgeschlossen wäre. Aber es gilt doch : [mm] $\overline{X}=X\cup \partial [/mm] $X$.  Also im Normalfall gehört doch der Rand nicht zur Menge $X$ dazu! Oder sehe ich etwas falsch?

Bezug
                                        
Bezug
Strong maximum principle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:26 So 19.08.2012
Autor: Teufel

Ah, ok. Also u ist ja auch auf ganz [mm] \overline{X} [/mm] stetig (nach Voraussetzung) und weil u auf X konstant ist, muss u aus Stetigkeitsgründen auch auch dem Rand nochmal den selben Wert annehmen (z.B. durch Folgenkriterium).

Du hast alles richtig gesehen!

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