Struktur von sl(3,C) < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 2 dimensionale Lie-Unteralgebra H = [mm] d_{sl}(3, \IC) [/mm] der Diagonalmatrizen in sl(3, [mm] \IC). [/mm]
H = span [mm] \{ e_{11}-e_{22}, e_{22}-e_{33}\}
[/mm]
h = [mm] \pmat{a_{1} & 0 & 0 \\ 0 & a_{2} & 0 \\ 0 & 0 & a_{3} } \in [/mm] H
[mm] \rightarrow [/mm] [h, [mm] e_{ij}]=he_{ij}-e_{ij}h [/mm] = [mm] (a_{i}-a_{j})e_{ij}
[/mm]
d.h. [mm] \{e_{ij}|i \not= j\} [/mm] gemeinsame Eigenvektoren von ad H
zugehörige Gewichte: (ad [mm] h)(e_{ij})=[h, e_{ij}]=(e_{i}-e_{j})(h)e_{ij} [/mm] mit [mm] e_{i}: [/mm] H [mm] \rightarrow \IC, [/mm] h [mm] \mapsto a_{i}
[/mm]
D.h. [mm] e_{i}-e_{j} \in H^{\*} [/mm] (Dualraum) Gewicht von ad H mit Gewichtsraum
[mm] L_{ij}=\{x \in sl(3,\IC)|(ad h)(x)=(e_{i}-e_{j})(h)x, \forall h \in H\} [/mm] = [mm] span\{e_{ij}\}
[/mm]
[mm] sl(3,\IC)=H\oplus(\oplus_{i\not= j}L_{ij}) [/mm] Zerlegung in Gewichtsräume |
Hallo liebe Mathe-Gemeinde 
Zu diesem Beispiel hätte ich ein paar Fragen, da mir nicht wirklich alles klar ist.
Ok, also H = [mm] span\{h_{1}, h_{2}\}=span\{\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 }\}
[/mm]
Gut, sei [mm] e_{ij}=e_{21}=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
also [mm] [h_{1}, e_{21}]=\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0}\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}-\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0}=-2\pmat{0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] = [mm] -2e_{12}
[/mm]
Was wäre denn jetzt hier das zugehörige Gewicht? -2? Sozusagen der Eigenwert? Ich weiss irgendwie nicht, was jetzt mit [mm] (e_{i}-e_{j}) [/mm] gemeint sein soll...
Und ansonsten:
[mm] [h_{2}, e_{21}]=e_{21}
[/mm]
[mm] [h_{1}, e_{31}]=-e_{31}
[/mm]
[mm] [h_{2}, e_{31}]= -e_{31}
[/mm]
[mm] [h_{1},e_{12}]=2e_{12}
[/mm]
[mm] [h_{2},e_{12}]=-e_{12}
[/mm]
[mm] [h_{1},e_{23}]=e_{23}
[/mm]
[mm] [h_{2},e_{23}]=-2e_{23}
[/mm]
[mm] [h_{1},e_{13}]=e_{13}
[/mm]
[mm] [h_{2},e_{13}]=-e_{13}
[/mm]
[mm] [h_{1},e_{23}]=-e_{23}
[/mm]
[mm] [h_{2},e_{23}]=-e_{23}
[/mm]
Und wie würde man denn jetzt zu der obigen Zerlegung kommen?
Ich würde mich sehr über Hilfe freuen
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:43 Do 20.08.2015 | | Autor: | hippias |
> 2 dimensionale Lie-Unteralgebra H = [mm]d_{sl}(3, \IC)[/mm] der
> Diagonalmatrizen in sl(3, [mm]\IC).[/mm]
> H = span [mm]\{ e_{11}-e_{22}, e_{22}-e_{33}\}[/mm]
> h = [mm]\pmat{a_{1} & 0 & 0 \\ 0 & a_{2} & 0 \\ 0 & 0 & a_{3} } \in[/mm]
> H
>
> [mm]\rightarrow[/mm] [h, [mm]e_{ij}]=he_{ij}-e_{ij}h[/mm] =
> [mm](a_{i}-a_{j})e_{ij}[/mm]
> d.h. [mm]\{e_{ij}|i \not= j\}[/mm] gemeinsame Eigenvektoren von ad
> H
> zugehörige Gewichte: (ad [mm]h)(e_{ij})=[h, e_{ij}]=(e_{i}-e_{j})(h)e_{ij}[/mm]
> mit [mm]e_{i}:[/mm] H [mm]\rightarrow \IC,[/mm] h [mm]\mapsto a_{i}[/mm]
>
> D.h. [mm]e_{i}-e_{j} \in H^{\*}[/mm] (Dualraum) Gewicht von ad H mit
> Gewichtsraum
> [mm]L_{ij}=\{x \in sl(3,\IC)|(ad h)(x)=(e_{i}-e_{j})(h)x, \forall h \in H\}[/mm]
> = [mm]span\{e_{ij}\}[/mm]
>
> [mm]sl(3,\IC)=H\oplus(\oplus_{i\not= j}L_{ij})[/mm] Zerlegung in
> Gewichtsräume
> Hallo liebe Mathe-Gemeinde
>
> Zu diesem Beispiel hätte ich ein paar Fragen, da mir nicht
> wirklich alles klar ist.
>
> Ok, also H = [mm]span\{h_{1}, h_{2}\}=span\{\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 }\}[/mm]
>
> Gut, sei [mm]e_{ij}=e_{21}=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> also [mm][h_{1}, e_{21}]=\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0}\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}-\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0}=-2\pmat{0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
> = [mm]-2e_{12}[/mm]
> Was wäre denn jetzt hier das zugehörige Gewicht? -2?
Das Gewicht ist ein Element des Dualraumes [mm] $H^{\*}$. [/mm] Ist $v$ ein gemeinsamer Eigenvektor von $H$, so ist das zugehoerige Gewicht [mm] $\alpha:H\to \IC$ [/mm] durch den Eigenwert von $ad h$ bezueglich $v$ gegeben: $(ad h)(v)= [mm] \alpha(h) [/mm] v$.
In diesem Fall ist das Gewicht bezueglich [mm] $e_{ij}$ [/mm] die Diffenerenz der beiden Funktionale [mm] $e_{i}$ [/mm] und [mm] $e_{j}$. [/mm] Dabei war [mm] $e_{i}$ [/mm] so definiert, dass [mm] $e_{i}(h)$ [/mm] den $i$-ten Diagonaleintrag von $h$ darstellt.
Die $-2$ ist somit der Wert von [mm] $h_{1}$ [/mm] bezueglich des Gewichtes von [mm] $e_{12}$: $(e_{1}-e_{2})(h_{1})= [/mm] -2$..
> Sozusagen der Eigenwert? Ich weiss irgendwie nicht, was
> jetzt mit [mm](e_{i}-e_{j})[/mm] gemeint sein soll...
>
> Und ansonsten:
> [mm][h_{2}, e_{21}]=e_{21}[/mm]
> [mm][h_{1}, e_{31}]=-e_{31}[/mm]
> [mm][h_{2}, e_{31}]= -e_{31}[/mm]
>
> [mm][h_{1},e_{12}]=2e_{12}[/mm]
> [mm][h_{2},e_{12}]=-e_{12}[/mm]
> [mm][h_{1},e_{23}]=e_{23}[/mm]
> [mm][h_{2},e_{23}]=-2e_{23}[/mm]
> [mm][h_{1},e_{13}]=e_{13}[/mm]
> [mm][h_{2},e_{13}]=-e_{13}[/mm]
> [mm][h_{1},e_{23}]=-e_{23}[/mm]
> [mm][h_{2},e_{23}]=-e_{23}[/mm]
>
> Und wie würde man denn jetzt zu der obigen Zerlegung
> kommen?
>
> Ich würde mich sehr über Hilfe freuen
>
> Viele Grüße
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Ok,
also es muss gelten: (ad [mm] h_{1})(e_{21})=\alpha(h_{1})e_{21}
[/mm]
es gilt aber: [mm] -2e_{21}=(ad h_{1})(e_{21})\not=-2(h_{1})e_{21}=2e_{21}
[/mm]
Wo wäre denn jetzt hier der Gedankenfehler?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 Do 20.08.2015 | | Autor: | hippias |
Ich verstehe die Frage nicht ganz. Oben hast Du ausgerechnet, dass [mm] $ad_{h_{1}}(e_{21})= -2e_{21}$ [/mm] ist. Nun rechne nach, dass [mm] $(e_{2}-e_{1})(h_{1})$ [/mm] ebenfalls $-2$ ergibt.
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