Stückweise stetige Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:43 So 04.08.2019 | | Autor: | bondi |
| Aufgabe | | [mm] $f: [-1,1]\to\IR, f(x)=\begin{cases} 1/x, & \mbox{falls } x\neq 0 \\ 0 & \mbox{falls }x=0\end{cases} [/mm] |
Hallo,
wir sollen stückweise Stetigkeit von Funktionen bestimmen.
[mm] \limes_{x \to 0^+} f(x) = \limes_{x \to 0^+} 1/x = \infty [/mm]
[mm] 1/x [/mm] ist nicht stetig in [mm] \IR [/mm], wohl aber stetig in [mm] \IR \setminus\{0\} [/mm].
Es existiert jedoch kein Grenzwert, demnach nicht stetig. Ich betrachte Stetigkeit doch aber nur im Intervall [-1,1].
Fragen über Fragen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:11 So 04.08.2019 | | Autor: | fred97 |
> [mm]$f: [-1,1]\to\IR, f(x)=\begin{cases} 1/x, & \mbox{falls } x\neq 0 \\ 0 & \mbox{falls }x=0\end{cases}[/mm]
>
> Hallo,
> wir sollen stückweise Stetigkeit von Funktionen
> bestimmen.
>
> [mm]\limes_{x \to 0^+} f(x) = \limes_{x \to 0^+} 1/x = \infty[/mm]
>
> [mm]1/x[/mm] ist nicht stetig in [mm]\IR [/mm], wohl aber stetig in [mm]\IR \setminus\{0\} [/mm].
>
> Es existiert jedoch kein Grenzwert, demnach nicht stetig.
> Ich betrachte Stetigkeit doch aber nur im Intervall
> [-1,1].
>
> Fragen über Fragen...
>
f ist auf [-1,1] stückweise stetig, wenn es eine Zerlegung [mm] t_0=-1
Edit: f ist auf jedem Intervall [mm] (t_{j-1},t_j) [/mm] stetig und die einseitigen Grenzwerte von f existieren in jedem Zerlegungspunkt [mm] t_j.
[/mm]
Findest Du eine solche Zerlegung? Ich bin der Meinung, dass Du keine findest.
Dazu nimm an, es gäbe eine solche Zerlegung. Dann gibt es zwei Fälle.
Es gibt ein [mm] t_j [/mm] mit [mm] 0=t_j [/mm] oder nicht. Führe beide Fälle zum Widerspruch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:17 So 04.08.2019 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
es scheinen verschiedene Definitionen von stückweise stetig im Umlauf zu sein.
@bondi: Wie lautet eure Definition?
@fred97:
> f ist auf [-1,1] stückweise stetig, wenn es eine
> Zerlegung [mm]t_0=-1
> Einschränkung von f auf jedem Teilintervall [mm][t_{j-1}, t_j][/mm]
> stetig ist.
Sicher, dass dies eine sinnvolle Definition der stückweisen Stetigkeit ist?
Wenn ich jetzt nicht gerade einen totalen Blackout habe, würde dann stückweise Stetigkeit einer Abbildung [mm] $f\colon[-1;1]\to\mathbb{R}$ [/mm] äquivalent zur Stetigkeit von f sein.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:58 So 04.08.2019 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
>
> es scheinen verschiedene Definitionen von stückweise
> stetig im Umlauf zu sein.
>
> @bondi: Wie lautet eure Definition?
>
> @fred97:
> > f ist auf [-1,1] stückweise stetig, wenn es eine
> > Zerlegung [mm]t_0=-1
> > Einschränkung von f auf jedem Teilintervall [mm][t_{j-1}, t_j][/mm]
> > stetig ist.
> Sicher, dass dies eine sinnvolle Definition der
> stückweisen Stetigkeit ist?
> Wenn ich jetzt nicht gerade einen totalen Blackout habe,
> würde dann stückweise Stetigkeit einer Abbildung
> [mm]f\colon[-1;1]\to\mathbb{R}[/mm] äquivalent zur Stetigkeit von f
> sein.
Hallo Tobias,
die Definition, die ich oben angegeben habe, ist missglückt. Ich werde es sofort verbessern.
>
> Viele Grüße
> Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 So 04.08.2019 | | Autor: | bondi |
> > Hallo zusammen,
> >
> > es scheinen verschiedene Definitionen von stückweise
> > stetig im Umlauf zu sein.
> >
> > @bondi: Wie lautet eure Definition?
> >
Dank dir, gefunden :)
Definition: Sei [mm] I \subseteq \IR [/mm] ein abgeschlossenes Intervall und [mm] $f: I \rightarrow \IR [/mm].
[mm] f [/mm] heißt stückweise stetig, falls es endlich viele Punkte [mm] x_1 < x_2 < ... x_n [/mm] aus [mm] I [/mm] gibt, sodass
i) [mm] f [/mm] ist stetig in jedem Punkt [mm] x \in I \setminus \{x_1,...,x_n \} [/mm]
ii) [mm] \limes_{x\rightarrow x_k^+} [/mm] [mm] $f(x) [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow x_k^-} [/mm] [mm] $f(x) [/mm] existieren [mm] ( 1 \le k \le n ) [/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:09 Mo 05.08.2019 | | Autor: | tobit09 |
Hallo bondi,
deine Definition ist zwar etwas anders formuliert als Freds, aber äquivalent zu dieser.
Die Funktion f aus der Aufgabenstellung ist also auch nach eurer Definition nicht stückweise stetig.
Beweisen kannst du dies mit Freds Argumentation.
Ich formuliere sie noch einmal mit deiner Definition:
Angenommen f ist stückweise stetig.
Zu zeigen ist ein Widerspruch.
Wegen der angenommenen stückweisen Stetigkeit von f existieren Stellen [mm] $x_1,\ldots,x_n\in[-1,1]$, [/mm] so dass i) und ii) aus der Definition der stückweisen Stetigkeit gelten.
Nun gilt
1. [mm] $0\in\{x_1,\ldots,x_n\}$
[/mm]
oder
2. [mm] $0\notin\{x_1,\ldots,x_n\}$.
[/mm]
Im Fall 1. leite einen Widerspruch zu ii) her.
Im Fall 2. leite einen Widerspruch zu i) her.
Viele Grüße
Tobias
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