Stufenfunktionen auf Quader < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo leute,
da bin ich mal wieder. Diesmal habe ich von diesem Aufgabentyp gar keine Ahnung. Es ist so, dass die letzten Vorlesungen so langweilig gemacht/gehalten wurden, dass man da nichts richtig verstehen konnte. Es kommen immer weniger Beispiele etc..vor. Da besucht fast keiner mehr seine Vorlesung.
Ich hoffe mir kann jemand bei der Aufgabe helfen. Was mich schockt ist, dass es für sie 4 Punkte gibt, was dann wirklich eine ganze Menge sein muss.
Seien f und g zwei Stufenfunktionen auf einem Quader Q [mm] \subset \IR^d. [/mm] Zeige, dass (f+g)(x)=f(x)+g(x) und (fg)(x) auch Stufenfunktionen auf Q sind.
die Gleichungen sehen gar nicht so kompliziert aus. muss man "nur" zeigen, dass sie gelten?
Würde mich über Hilfe freuen!!!
Danke!
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Hallo Prinzessin,
Seien [mm] A_1, [/mm] ... , [mm] A_m [/mm] die Stufen von f, und [mm] B_1, [/mm] ... , [mm] B_n [/mm] die Stufen von g.
D.h.: [mm] A_i \subseteq [/mm] Q und [mm] B_j \subseteq [/mm] Q und
f(x) = [mm] \sum_{i=1}^m a_i [/mm] * [mm] 1_{A_i}(x) [/mm] und
g(x) = [mm] \sum_{j=1}^n b_j [/mm] * [mm] 1_{B_j}(x)
[/mm]
(mit [mm] 1_M [/mm] die charakteristische Funktion der Menge M)
Betrachte dann
[mm] C_{ij} [/mm] = [mm] A_i \cap B_j [/mm] für i = 1, ..., m und j = 1, ..., n
Die C's sind dann die Stufen der Summe und des Produktes von f und g.
Liebe Grüße,
Holy Diver
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Hallo,
danke dir für den Tipp. Aber mir ist was noch nicht ganz klar.
> Betrachte dann
> [mm]C_{ij}[/mm] = [mm]A_i \cap B_j[/mm] für i = 1, ..., m und j = 1, ..., n
>
> Die C's sind dann die Stufen der Summe und des Produktes
> von f und g.
>
> Liebe Grüße,
> Holy Diver
Wie meinst du das mit dem [mm] C_{ij} [/mm] ?
Also ich weiß nicht wie du das mit dem ausrechnen magst. Liegt wohl daran, weil das eher abstrakt ist und ich das noch nie so richtig gemacht habe.
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Wie ich das mit den [mm] C_{ij} [/mm] meine?
f ist ja konstant auf jedem [mm] A_i, [/mm] und g auf jedem [mm] B_j.
[/mm]
Wenn man nun [mm] A_i [/mm] und [mm] B_j [/mm] schneidet (der Schnitt kann natürlich auch leer sein, aber das macht nichts) erhält man eine Menge auf der sowohl f als auch g konstant ist.
Dann muss aber auch f+g und f*g auf [mm] C_{ij} [/mm] konstant sein, da in diesem Bereich nur zwei Konstanten addiert bzw. multipliziert werden, und wieder eine Konstante herauskommt. f hatte auf [mm] A_i [/mm] den Wert [mm] a_i [/mm] und g auf [mm] B_j [/mm] den Wert [mm] b_j. [/mm] Also haben f+g bwz f*g die Darstellung
f+g(x) = [mm] \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_i [/mm] + [mm] b_j [/mm] * [mm] 1_{C_{ij}}(x)
[/mm]
f*g(x) = [mm] \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_i [/mm] * [mm] b_j [/mm] * [mm] 1_{C_{ij}}(x)
[/mm]
Dass hier nun eine Doppelsumme steht macht nichts aus. Wichtig ist dass sie nur aus m*n - also endlich vielen - Summanden besteht.
Liebe Grüße,
Holy Diver
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Danke dir für die Hilfe!
Das Problem was ich bei so Aufgaben habe ist einfach, dass ich nie weiß wie ich argumentieren soll/kann und was ich als Voraussetzung nehmen kann etc.
Ich wäre z.b. nicht drauf gekommen, dass wenn ich es so zeige (mit den Konstanten), dass die Multiplikation und Addition auch Stufenfunktionen auf Q sind...
Vielen Dank dir!
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