Subadditivität und Additivität < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Di 10.02.2009 | | Autor: | oby |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Eigenschaft für eine additive Mengenfunktion [mm] \lambda [/mm] : [mm] \mathcal{R} \mapsto \overline{\IR} [/mm] ( [mm] \mathcal{R} [/mm] Mengenring):
[mm] \lambda [/mm] (C) [mm] \ge [/mm] 0 für alle C aus [mm] \mathcal{R}. [/mm] Dann ist [mm] \lamda [/mm] genau dann volladditiv, wenn [mm] \lambda [/mm] subvolladditiv.
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Hallo zusammen.
Also die Definitionen von volladditiv ist:
[mm] \lambda [/mm] ( [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \lambda (A_i) [/mm] für alle paarweise disjunkte [mm] A_i.
[/mm]
Und die Definition von subvolladditiv ist:
[mm] \lambda [/mm] ( [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i) \le \summe_{i=1}^{\infty} \lambda (A_i) [/mm] für alle (beliebige) [mm] A_i.
[/mm]
Nun ist ja [mm] \lambda [/mm] bereits additiv. Die [mm] \Rightarrow [/mm] Richtung ist ja klar, denn ist [mm] \lambda [/mm] volladditiv, so lässt sich ja eine beliebige Folge [mm] A_i [/mm] mithilfe von [mm] B_1 [/mm] = [mm] A_1 [/mm] und [mm] B_i [/mm] = [mm] A_i \backslash B_{i-1} [/mm] zu einer Folge von disjunkten [mm] B_i [/mm] s "umformen". Nun nutzt man die Volladditivität aus und hat [mm] \lambda [/mm] ( [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty} A_i [/mm] ) = [mm] \lambda [/mm] ( [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty} B_i [/mm] ) = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \lambda (B_i) \le \summe_{i=1}^{\infty} \lambda (A_i) [/mm] da ja die [mm] A_i [/mm] jeweils Teilmengen der [mm] B_i [/mm] s sind.
Aber für die andere Richtung fällt mir kein Ansatz ein. Irgendwie muss es was damit zutun haben, dass alle [mm] \lambda [/mm] (C) [mm] \re [/mm] 0 sind, denn sonst wäre ja volladditiv äquivalent mit subvolladditiv.
Ich hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen. Ich bin für jeden Tipp dankbar!
MfG Oby
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo oby,
seien [mm] A_1,A_2,.... [/mm] abzählbar viele Mengen und [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i \in \mathcal{R}[/mm]
Dann gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n}\lambda (A_i) [/mm] = [mm] \lambda (\bigcup_{i=1}^{n}A_i) \le \lambda (\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i).
[/mm]
Was folgt für [mm]n \to \infty[/mm]?
Nutze subvolladditivität (auch wenn ich den Begriff bisher nur als [mm]\sigma[/mm]-Halbadditivität gehört hab), dann steht die Volladditivität da.
Versuchs mal selbst zu begründen und weiterzumachen, wenn du noch Fragen hast, frag.
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Mi 11.02.2009 | | Autor: | oby |
Hallo.
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Ich denk ich habs verstanden. Allerdings verstehe ich das = Zeichen nicht, da man doch nur die additivität benutzen darf, wenn die [mm] A_i [/mm] alle disjunkt sind. Aber es funktioniert ja auch wenn man das = Zeichen durch [mm] \le [/mm] austauscht (Aus additiv folgt ja subadditiv, wobei die [mm] A_i [/mm] s nicht mehr paarweise disjunkt sein müssen) . Man kommt ja dann zum Schluss auf die Doppelungleichung
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \lamda [/mm] ( [mm] A_i [/mm] ) [mm] \le \lambda [/mm] ( [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i [/mm] ) [mm] \le \summe_{i=1}^{\infty} \lamda [/mm] ( [mm] A_i [/mm] ). Woraus man dann die Gleichheit schließen kann. Ist das so richtig? Ausserdem benutzt man doch nirgends dass die [mm] \lambda [/mm] (C ) positiv sind, d.h. Gilt also immer, wenn eine Mengenfunktion additiv ist, dass dann Volladditivität genau dann wenn Subadditivität gilt?
MfG Oby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:12 Mi 11.02.2009 | | Autor: | oby |
Sorry, hab in obiger Gleichung die Lambdas vergessen.
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Hiho,
> Ich denk ich habs verstanden. Allerdings verstehe ich das
> = Zeichen nicht, da man doch nur die additivität benutzen
> darf, wenn die [mm]A_i[/mm] alle disjunkt sind.
Stimmt, ich hatte das "disjunkt" nur laut gedacht 
> Aber es funktioniert
> ja auch wenn man das = Zeichen durch [mm]\le[/mm] austauscht
Nein, weil allgemein bei Inhalten nur [mm] \ge [/mm] gilt, du kommst sonst nicht aufs [mm] \le
[/mm]
> Man kommt ja dann zum
> Schluss auf die Doppelungleichung
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \lamda[/mm] ( [mm]A_i[/mm] ) [mm]\le \lambda[/mm] ([mm]\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i[/mm] ) [mm]\le \summe_{i=1}^{\infty} \lamda[/mm]
> ( [mm]A_i[/mm] ). Woraus man dann die Gleichheit schließen kann. Ist
> das so richtig?
Richtig.
> Ausserdem benutzt man doch nirgends dass
> die [mm]\lambda[/mm] (C ) positiv sind, d.h. Gilt also immer, wenn
> eine Mengenfunktion additiv ist, dass dann Volladditivität
> genau dann wenn Subadditivität gilt?
> MfG Oby
Nunja, ich würde pauschal behaupten, die Rückrichtung (also die von dir als "klar" bezeichnete) geht ohne die Einschränkung [mm] \ge [/mm] 0 nicht.
Man nehme [mm]\mathcal{R} = \{\emptyset, A, A^{c}, X \}[/mm] mit
[mm]\lambda(M)=\begin{cases} -1, & M=A^c \\ 0, & M=\emptyset,X \\ 1, & M=A \end{cases}[/mm]
Offensichtlich ist [mm] \lambda [/mm] additiv, volladditiv, aber nicht subvolladditiv wie [mm]M = A^c \cup X[/mm] belegt.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:49 Do 12.02.2009 | | Autor: | oby |
Ok.Super, alles klar. Vielen Dank Gonozal!
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