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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Fr 02.03.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo, ich versuche gerade Folgendes zu verstehen:
Zitat aus "Mengentheoretische Topologie", B.v.Querenburg:
"Zu einer gegebenen Menge X kann jedes System S von Teilmengen als Subbasis einer Topologie auf X dienen [...]." |
Was ist ein "System von Teilmengen einer Menge X"?
Sei etwa die Menge
[mm] $X=\left\{a,b,c,d\right\}$ [/mm] gegeben.
Was wäre dann ein System von Teilmengen?
(Die Potenzmenge zum Beispiel? Aber was gäbe es noch für Systeme von Teilmengen?)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:02 Fr 02.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, ich versuche gerade Folgendes zu verstehen:
>
> Zitat aus "Mengentheoretische Topologie", B.v.Querenburg:
>
> "Zu einer gegebenen Menge X kann jedes System S von
> Teilmengen als Subbasis einer Topologie auf X dienen
> [...]."
> Was ist ein "System von Teilmengen einer Menge X"?
Sei P(X) die Potenzmenge von X
Ein System von Teilmengen von X ist eine Teilmenge von P(X)
>
>
>
> Sei etwa die Menge
>
> [mm]X=\left\{a,b,c,d\right\}[/mm] gegeben.
>
> Was wäre dann ein System von Teilmengen?
Z.B. [mm] \{ \{a,b\}, \{c\} \}
[/mm]
FRED
>
> (Die Potenzmenge zum Beispiel? Aber was gäbe es noch für
> Systeme von Teilmengen?)
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:11 Fr 02.03.2012 | | Autor: | mikexx |
Okay, nehme ich also mal [mm] $S:=\left\{\left\{a,b\right\},\left\{c\right\}\right\}$.
[/mm]
Inwiefern kann dieses System S jetzt als Subbasis einer Topologie auf X dienen?
Das hieße doch, daß
[mm] $\mathcal{B}=\left\{\bigcap_{i=1}^{n}Q~|~Q\in S\right\}$, [/mm] also die Menge aller endlichen Schnitte von Mengen aus S, eine Basis dieser Topologie sein müsste.
Dazu müsste gelten:
(1) [mm] $\bigcup_{B\in\mathcal{B}}B=X$
[/mm]
(2) [mm] $\forall~x\in (B\cap [/mm] B'), [mm] B,B'\in\mathcal{B}$ [/mm] gibt es ein [mm] $B''\in\mathcal{B}$, [/mm] sodaß [mm] $x\in B''\subseteq (B\cap [/mm] B')$.
Ist denn das erfüllt? Insbesondere (1) macht mir Probleme, denn wie kommt da das Element d ins Spiel?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:21 Fr 02.03.2012 | | Autor: | mikexx |
Hm, ich scheine nicht der Einzige zu sein, der da nicht weiterkommt.
Liegt vllt. irgendwo ein Fehler vor?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 So 04.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Sa 03.03.2012 | | Autor: | mikexx |
Niemand eine Idee?
Ich grüble da auch schon immer drüber, aber sehe keine Lösung.
Irgendwo muss doch ein Missverständnis sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 Sa 03.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich kenne mich mit Subbasen nicht (mehr?) aus, aber bei Wikipedia steht's sicher korrekt, was gemeint ist:
![[]](/images/popup.gif) Wiki, Subbasis einer Topologie
Ich müsste mich da nun auch erstmal ein paar Minuten einlesen, topologisch habe ich nur "teilweise gute" Kenntnisse ^^
Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Sa 03.03.2012 | | Autor: | mikexx |
Bezogen auf das kleine obige Beispiel:
[mm] $X=\left\{a,b,c,d\right\}$
[/mm]
[mm] $S=\left\{\left\{a,b\right\},\left\{c\right\}\right\}$
[/mm]
Und S soll jetzt zur Definition einer Topologie [mm] $\mathcal{T}$ [/mm] auf X verwendet werden.
Dann sollen jetzt also die offenen Mengen diejenigen sein, die man als Vereinigung von endlichen Schnitten von Mengen aus S schreiben kann.
Endliche Schnitte von Mengen aus S sind m.E.:
[mm] $\bigcap_{i=1}^{n}=\left\{\emptyset, \left\{a,b\right\},\left\{c\right\}\right\}$
[/mm]
Dann sind beliebige Vereinigungen von Mengen daraus zum Beispiel [mm] $\left\{\emptyset,a,b,c\right\},\left\{\emptyset,c\right\}$ [/mm] und [mm] $\emptyset$.
[/mm]
Dies sind also Element in [mm] $\mathcal{T}?
[/mm]
(Gibt's da noch mehr Mengen in [mm] $\mathcal{T}$?)
[/mm]
So, und nun muss ja jedenfalls irgendwie auch $X$ in die Topologie rein... und da einigt man sich jetzt auf
[mm] $\bigcup_{i\in\emptyset}S_i=X, S_i\in [/mm] S$?
Habe ich das richtig verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 So 04.03.2012 | | Autor: | SEcki |
> Endliche Schnitte von Mengen aus S sind m.E.:
>
> [mm]\bigcap_{i=1}^{n}=\left\{\emptyset, \left\{a,b\right\},\left\{c\right\}\right\}[/mm]
Falsch. Es fehlt der Schnitt über keine Menge, also die Grundmenge selber.
SEcki
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