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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:32 Di 22.02.2005 | | Autor: | michaelw |
Hallo,
ich habe den anderen Thread hierzu schon gelesen, leider konnte ich mir daraus nicht viel für mein Problem nehmen. Also, ich habe die Funktion:
f(x) = -3x / (1+x²)
und möchte diese integrieren. Ich nehme mal an das das mit Subsitution geht, hab aber echt keinen Plan wie, denn bei Substituion muss doch das was vor dem steht was ersetzt werden soll die Ableitung davon sein. Ich hab hier auch die Lösung von dem was raus kommen muss, und die sieht aus wie als wenn die Regel aus dem anderen Thread abgewendet wurde:
F(x) = 3/2 * ln (1+x²)
Eventuell ist ja Jemand von euch so nett und erklärt mir mal ganz idiotensicher wie man substituiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:55 Di 22.02.2005 | | Autor: | michaelw |
Hab eben mal nachgesehn und eine wirklich gute Erklärung zur Substitution gefunden, ich glaube ich habe es verstanden, warte aber mal noch auf die Antwort von Hugo_Sanchez-Vicario.
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Hallo Michael,
bei der Substitution ersetzt du x durch eine Hilfsvariable, die von x abhängt, meistens heißt diese neue Substitutions-Variable u.
Das dx im Integral muss dann dementsprechend ebenfalls durch u ausgedrückt werden.
Beispiel:
[mm] f(x)=\frac{-3x}{1+x^2}
[/mm]
gesucht z.B.: [mm] \int_{x1}^{x2}f(x)dx
[/mm]
Hier ist angebracht: [mm] u:=1+x^2, [/mm] so dass [mm] u'=\frac{du}{dx}=2x
[/mm]
Nach dx umgestellt: [mm] dx=\frac{du}{2x}
[/mm]
[mm] \int_{x1}^{x2}f(x)dx [/mm] = [mm] \int_{u1}^{u2}\frac{-3x}{u}\frac{du}{2x} [/mm] = [mm] -\frac{3}{2}\int_{u1}^{u2}\frac{1}{u}du [/mm] = [mm] -\frac{3}{2}[\ln(u)]_{u1}^{u2} [/mm] = [mm] -\frac{3}{2}[\ln(1+x^2)]_{x1}^{x2}
[/mm]
Beim Ausrechnen ist noch zu beachten, dass du auch die Grenzen immer von x nach u transformieren musst (d.h. x1<->u1, x2<->u2). Es ist ein beliebter Fehler, die Integrationsgrenzen bei x1 und x2 zu belassen.
Eine idiotensichere Substitution im Sinne von 'es kommt am Ende was Vernünftiges raus' gibt es leider nicht. Es gibt gewisse Standardmethoden, z.B.
[mm] [\ln(f)]' [/mm] = [mm] \frac{f'}{f}
[/mm]
so dass z.B. [mm] \int\frac{2x}{const.+x^2} [/mm] = [mm] \ln(const.+x^2)
[/mm]
Aber eine allgemeingültige Methode, die immer funktioniert, ist mir nicht bekannt.
Hugo
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Du könntest es auch mal mit Partialbruchzerlegung versuchen!
Gruß
Alex
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