Substitution < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Di 06.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
| Aufgabe | Lösen Sie folgende Differentialgleichung durch geeignete Substitution:
[mm] $y'=\frac{6y-x}{6x+y}$ [/mm] |
Könnte mir jemand sagen, was hier eine geeignete Substitution wäre? Ich komme da beim besten Willen nicht drauf.
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Hallo Morph007,
> Lösen Sie folgende Differentialgleichung durch geeignete
> Substitution:
>
> [mm]y'=\frac{6y-x}{6x+y}[/mm]
>
> Könnte mir jemand sagen, was hier eine geeignete
> Substitution wäre? Ich komme da beim besten Willen nicht
> drauf.
Eine geeignete Substitution ist z.B [mm]u=6x+y[/mm]
Oder auch [mm]y=u*x[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 Mi 07.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
Sorry aber mit den Substitutionen kann ich irgendwie nichts anfangen...
Könntest Du vielleicht die darauffolgenden Rechenschritte noch dazu schreiben?
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Hallo Morph007,
[mm] $y'\;=\;\frac{6y-x}{6x+y}$
[/mm]
mit: [mm] $z\;=\; \frac{y}{x}$ [/mm] und [mm] $y\;=\;z*x$ [/mm] und [mm] $y'\;=\;z'x+z$
[/mm]
[mm] $z'x+z\;=\;\frac{6z-1}{6+z}$ [/mm] und [mm] $z'x\;=\;\frac{6z-1}{6+z}-z$
[/mm]
[mm] $z'x\;=\;\frac{6z-1}{6+z}-\frac{z^2+6z}{6+z}\;=\;\frac{-z^2-1}{6+z}$
[/mm]
[mm] $\int \frac{z+6}{z^2+1}\;dz\;=\;- \int \frac{1}{x}\; [/mm] dx$
[mm] $\frac{1}{2}*\int \frac{2z+12}{z^2+1}\;dz\;=\;- \int \frac{1}{x}\; [/mm] dx$
[mm] $\frac{1}{2}*\int\left( \frac{2z}{z^2+1}+\frac{12}{z^2+1}\right)\;dz\;=\;- \int \frac{1}{x}\; [/mm] dx$
(Hoffentlich ohne Fehler.)
Kommst Du nun weiter?
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Do 08.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
Ehrlich gesagt überfordert mich das schon ab deiner dritten Zeile, wo Du die rechte Seite nach einsetzen kürzt. Ich verstehe nicht ganz wie Du da gekürzt hast.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 Do 08.01.2015 | | Autor: | chrisno |
> $ [mm] y'\;=\;\frac{6y-x}{6x+y} [/mm] $
> mit: $ [mm] z\;=\; \frac{y}{x} [/mm] $ und $ [mm] y\;=\;z\cdot{}x [/mm] $ und $ [mm] y'\;=\;z'x+z [/mm] $
mach es einfach selbst, zeige, bis wohin Du kommst:
Ersetze in der ersten Zeile rechts y durch das was in der zweiten Zeile hinter y= steht und schreibe es hier hin.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Do 08.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
Nun gut, aber da ist bei mir auch direkt nach dem Einsetzen schon wieder alles vorbei weil ich nicht weiter weiß:
[mm] $z'x+z=\frac{6zx-x}{6x+zx}$
[/mm]
Ich habe einfach keine Ahnung wie ich den Bruch rechts vereinfachen/auflösen soll.
Das einzige (sinnvolle?), das mir einfällt ist:
[mm] $z'x+z=\frac{x(6z-1)}{x(6+z)}$
[/mm]
Da könnte ich dann ja das x aus dem Bruch kürzen richtig? Nur wie dann weiter?
Okay ich glaube ich kann jetzt den Lösungsweg nachvollziehen. Danach dann das z auf die rechte Seite und auf den Hauptnenner bringen und dann wieder die rechte Seite zusammenfassen und weiter übers Integral auflösen.
Dann wäre ich auch da wo Martinius war, nämlich bei:
$ [mm] \int \frac{z+6}{z^2+1}\;dz\;=\;- \int \frac{1}{x}\; [/mm] dx $
$ [mm] \frac{1}{2}\cdot{}\int \frac{2z+12}{z^2+1}\;dz\;=\;- \int \frac{1}{x}\; [/mm] dx $
$ [mm] \frac{1}{2}\cdot{}\int\left( \frac{2z}{z^2+1}+\frac{12}{z^2+1}\right)\;dz\;=\;- \int \frac{1}{x}\; [/mm] dx $
Und dann?
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Hallo Morph007,
> [mm]\frac{1}{2}\cdot{}\int \frac{2z+12}{z^2+1}\;dz\;=\;- \int \frac{1}{x}\; dx[/mm]
>
> [mm]\frac{1}{2}\cdot{}\int\left( \frac{2z}{z^2+1}+\frac{12}{z^2+1}\right)\;dz\;=\;- \int \frac{1}{x}\; dx[/mm]
>
> Und dann?
Integrieren.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Do 08.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
Über partielle Integration, oder?
Wie sollte ich denn dann $f(x)$ und $g'(x)$ wählen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Do 08.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Über partielle Integration, oder?
Nein.
>
> Wie sollte ich denn dann [mm]f(x)[/mm] und [mm]g'(x)[/mm] wählen?
Wir haben
$ [mm] \frac{1}{2}\cdot{}\int\left( \frac{2z}{z^2+1}+\frac{12}{z^2+1}\right)\;dz\;=\;- \int \frac{1}{x}\; [/mm] dx $
Eine Stammfunktion von [mm] \frac{2z}{z^2+1} [/mm] ist [mm] \ln(z^2+1).
[/mm]
Eine Stammfunktion von [mm] \frac{12}{z^2+1} [/mm] ist [mm] \arctan(z^2+1).
[/mm]
Eine Stammfunktion von [mm] \frac{1}{x} [/mm] ist ???
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:25 Do 08.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
[mm] $\ln(x)$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Do 08.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
Wie löse ich denn dann meine erhaltene Gleichung auf?
Ich habe jetzt:
[mm] $6*\arctan{(\frac{y}{x})}+\frac{1}{2}\ln{(\frac{y^2}{x^2}+1)} [/mm] = [mm] \ln{(x)} [/mm] +c$
PS: Warum wurde eigentlich die linke Seite mit 1/2 erweitert?
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Hallo Morph007,
> Wie löse ich denn dann meine erhaltene Gleichung auf?
>
> Ich habe jetzt:
>
> [mm]6*\arctan{(\frac{y}{x})}+\frac{1}{2}\ln{(\frac{y^2}{x^2}+1)} = \ln{(x)} +c[/mm]
>
Hier hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:
[mm]6*\arctan{(\frac{y}{x})}+\frac{1}{2}\ln{(\frac{y^2}{x^2}+1)} = \blue{-}\ln{(x)} +c[/mm]
>
> PS: Warum wurde eigentlich die linke Seite mit 1/2
> erweitert?
Weil dann im ersten Summanden des Integranden
auf der linken Seite [mm]\bruch{Ableitung \ der \ Funktion}{Funktion}
[/mm] steht.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Do 08.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
Okay und [mm] \integral{\frac{f'(x)}{f(x)}dx} [/mm] = [mm] \ln{(f(x))}
[/mm]
Dann ist meine Gleichung also
$ [mm] 12\cdot{}\arctan{(\frac{y}{x})}+\ln{(\frac{y^2}{x^2}+1)} [/mm] = - [mm] \ln{(x)} [/mm] +c $
Wie kann ich das ganze denn nun nach y auflösen?
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Hallo Morph007,
> Okay und [mm]\integral{\frac{f'(x)}{f(x)}dx}[/mm] = [mm]\ln{(f(x))}[/mm]
>
> Dann ist meine Gleichung also
>
> [mm]12\cdot{}\arctan{(\frac{y}{x})}+\ln{(\frac{y^2}{x^2}+1)} = - \ln{(x)} +c[/mm]
>
Die Gleichung sieht nach der Multiplikation mit 2 so aus:
[mm]12\cdot{}\arctan{(\frac{y}{x})}+\ln{(\frac{y^2}{x^2}+1)} = - \blue{2}*\ln{(x)} +c[/mm]
> Wie kann ich das ganze denn nun nach y auflösen?
>
Das ist nicht möglich.
Du kannst aber probieren, Polarkoordinaten zu verwenden
und dann versuchen nach r aufzulösen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Do 08.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
Das ist aber nicht so gut, ich sollte doch die Lösung bestimmen :D
Gibt es denn vielleicht eine andere, geeignetere Substitution um die Differentialgleichung zu lösen?
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Hallo Morph007,
> Das ist aber nicht so gut, ich sollte doch die Lösung
> bestimmen :D
>
Dies ist auch eine Lösung.
Die Darstellung der Lösung ist dann in Polarkoordinaten gegeben.
> Gibt es denn vielleicht eine andere, geeignetere
> Substitution um die Differentialgleichung zu lösen?
Nun, explizit wirst Du die DGL wohl kaum lösen können,
so daß Du eine Lösung y=y(x) bekommst.
Im Nachhinein ist die Substitution in Polarkoordinaten
die bessere Wahl:
[mm]x=r\left(t\right)*\cos\left(t\right), \ y=r\left(t\right)*\sin\left(t\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Do 08.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
Also dann direkt am Anfang in Polarkoordinaten substituieren?
Dann bin ich aber total raus ... könntest Du mir da mal einige Schritte und das Ergebnis hinschreiben?
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Hallo Morph007,
> Also dann direkt am Anfang in Polarkoordinaten
> substituieren?
Ja.
> Dann bin ich aber total raus ... könntest Du mir da mal
> einige Schritte und das Ergebnis hinschreiben?
Es ist doch
[mm]x\left(t\right)=r\left(t\right)*\cos\left(t\right)[/mm]
[mm]y\left(t\right)=r\left(t\right)*\sin\left(t\right)[/mm]
Weiter ist:
[mm]y\left(\ x\left(t\right) \ \right)=y\left(t\right)[/mm]
abgeleitet nach t:
[mm]y'\left(x\right) *\dot{x}=\dot{y}[/mm]
,wobei [mm]\dot{x}=\bruch{dx}{dt}, \ \dot{y}=\bruch{dy}{dt}[/mm] bedeuten.
Dies alles eingesetzt in die gegebene DGL liefert
[mm]r\left(t\right)=C*e^{-6*t\right}[/mm]
Gruss
MathePower
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Hallo,
> Hallo Morph007,
>
> > Also dann direkt am Anfang in Polarkoordinaten
> > substituieren?
>
>
> Ja.
>
>
> > Dann bin ich aber total raus ... könntest Du mir da mal
> > einige Schritte und das Ergebnis hinschreiben?
>
>
> Es ist doch
>
> [mm]x\left(t\right)=r\left(t\right)*\cos\left(t\right)[/mm]
> [mm]y\left(t\right)=r\left(t\right)*\sin\left(t\right)[/mm]
>
> Weiter ist:
>
> [mm]y\left(\ x\left(t\right) \ \right)=y\left(t\right)[/mm]
>
> abgeleitet nach t:
>
> [mm]y'\left(x\right) *\dot{x}=\dot{y}[/mm]
>
> ,wobei [mm]\dot{x}=\bruch{dx}{dt}, \ \dot{y}=\bruch{dy}{dt}[/mm]
> bedeuten.
>
> Dies alles eingesetzt in die gegebene DGL liefert
>
> [mm]r\left(t\right)=C*e^{-6*t\right}[/mm]
>
>
> Gruss
> MathePower
Ich wüsste auch gerne, wie diese Umformung in Polarkoordinaten funktioniert - und wie man auf [mm]r\left(t\right)=C*e^{-6*t\right}[/mm] kommt.
Ich verfranse mich da andauernd beim Rechnen. Bisher:
[mm] $\frac{\dot y}{\dot x}\;=\;\frac{6y-x}{6x-y}\;=\;\frac{6*r*sin(t)-r*cos(t)}{r*sin(t)+6*r*cos(t)}\;=\;\frac{6*sin(t)-cos(t)}{sin(t)+6*cos(t)}\;=\;\frac{6*tan(t)-1}{tan(t)+6}\;=\;6-\frac{37}{tan(t)+6}$ [/mm] ??
Auch ein Literaturhinweis (Mathe für "Anwender") oder Link mit einer ausführlichen Erklärung resp. vorgerechnetem Bsp. würde helfen.
Danke & LG, Martinius
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Hallo Martinius,
> Hallo,
>
> > Hallo Morph007,
> >
> > > Also dann direkt am Anfang in Polarkoordinaten
> > > substituieren?
> >
> >
> > Ja.
> >
> >
> > > Dann bin ich aber total raus ... könntest Du mir da mal
> > > einige Schritte und das Ergebnis hinschreiben?
> >
> >
> > Es ist doch
> >
> > [mm]x\left(t\right)=r\left(t\right)*\cos\left(t\right)[/mm]
> > [mm]y\left(t\right)=r\left(t\right)*\sin\left(t\right)[/mm]
> >
> > Weiter ist:
> >
> > [mm]y\left(\ x\left(t\right) \ \right)=y\left(t\right)[/mm]
> >
> > abgeleitet nach t:
> >
> > [mm]y'\left(x\right) *\dot{x}=\dot{y}[/mm]
> >
> > ,wobei [mm]\dot{x}=\bruch{dx}{dt}, \ \dot{y}=\bruch{dy}{dt}[/mm]
> > bedeuten.
> >
> > Dies alles eingesetzt in die gegebene DGL liefert
> >
> > [mm]r\left(t\right)=C*e^{-6*t\right}[/mm]
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
>
> Ich wüsste auch gerne, wie diese Umformung in
> Polarkoordinaten funktioniert - und wie man auf
> [mm]r\left(t\right)=C*e^{-6*t\right}[/mm] kommt.
>
> Ich verfranse mich da andauernd beim Rechnen. Bisher:
>
> [mm]\frac{\dot y}{\dot x}\;=\;\frac{6y-x}{6x-y}\;=\;\frac{6*r*sin(t)-r*cos(t)}{r*sin(t)+6*r*cos(t)}\;=\;\frac{6*sin(t)-cos(t)}{sin(t)+6*cos(t)}\;=\;\frac{6*tan(t)-1}{tan(t)+6}\;=\;6-\frac{37}{tan(t)+6}[/mm]
> ??
>
Die zu lösende DGL lautet doch:
[mm]y'=\frac{6y-x}{6x+y}[/mm]
und somit in Polarkoordianten:
[mm]\bruch{\dot{y}}{\dot{x}}=\bruch{6y-x}{6x+y}[/mm]
>
> Auch ein Literaturhinweis (Mathe für "Anwender") oder Link
> mit einer ausführlichen Erklärung resp. vorgerechnetem
> Bsp. würde helfen.
>
> Danke & LG, Martinius
Gruss
MathePower
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:04 Di 27.01.2015 | | Autor: | Martinius |
Hallo liebe Leute,
habe jetzt eine Umformung einer DGL in Polarkoordinaten in einem Buch gefunden.
$ [mm] y'=\frac{6y-x}{6x+y} [/mm] $
wobei [mm] $x\;=\;r*cos(\theta)$ [/mm] und [mm] $y\;=\;r*sin(\theta)$ [/mm] und [mm] $\frac{y}{x}\;=\;tan(\theta)$ [/mm] und [mm] $r^2\;=\;x^2+y^2$
[/mm]
[mm] $(6x+y)\;dy+(x-6y)\;dx\;=\;0$
[/mm]
[mm] $(6x\;dy-6y\;dx)+(y\;dy+x\;dx)\;=\;0$
[/mm]
[mm] $6*(x\;dy-y\;dx)+(y\;dy+x\;dx)\;=\;0$
[/mm]
[mm] $6*x^2*d\left(\frac{y}{x} \right)+\frac{1}{2}*d\left( y^2+x^2\right)\;=\;0$
[/mm]
Bei dem letzten Schritt - handelt es sich da sozusagen um die "Umkehrung" eines "totalen Differentials"?
[mm] $6*x^2*d\left(tan(\theta) \right)+\frac{1}{2}*d\left( r^2\right)\;=\;0$
[/mm]
Nebenrechnung: [mm] $x^2*d\left(tan(\theta) \right)\;=\;x^2*\frac{1}{((cos(\theta))^2}\;d\theta\;=\;x^2*\frac{r^2}{x^2}\;d\theta\;=\;r^2*d\theta$
[/mm]
[mm] $6*r^2\;d\theta+r\;dr\;=\;0$ [/mm] Dieses wäre dann unsere umgeformte DGL in Polarkoordinaten.
[mm] $r\;dr\;=\;-6*r^2\;d\theta$
[/mm]
[mm] $\int \frac{1}{r}\;dr\;=\;-6*\int d\theta$
[/mm]
[mm] $ln|r|\;=\;-6*\theta+ln|C|$
[/mm]
[mm] $r\;=\;C*e^{-6*\theta}$
[/mm]
Auf diesen Rechengang wäre ich alleine aber niemals gekommen.
Gibt es da keinen einfacheren - mit [mm] $\dot [/mm] x$ und [mm] $\dot [/mm] y$ ?
LG, Martinius
Edit: Tippfehler berichtigt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:55 Mi 28.01.2015 | | Autor: | Martinius |
Hallo liebe Leute,
Dank Euch für Eure Geduld - so konnte ich alle meine Vorzeichenfehler finden. (Und dieser Rechenweg ist tatsächlich viel einfacher.)
[mm] $y'(x)\;=\; \frac{\dot y}{\dot x}\;=\;\frac{6y-x}{6x-y}$
[/mm]
wobei $ [mm] x\;=\;r\cdot{}cos(t) [/mm] $ und $ [mm] y\;=\;r\cdot{}sin(t) [/mm] $ und $ [mm] \frac{y}{x}\;=\;tan(t) [/mm] $
[mm] $\frac{\dot r*sin(t)+r*cos(t)}{\dot r*cos(t)-r*sin(t)}\;=\;\frac{6\frac{y}{x}-1}{6-\frac{y}{x}}$ [/mm] und [mm] $\frac{\dot r*tan(t)+r}{\dot r-r*tan(t)}\;=\;\frac{6*tan(t)-1}{6-tan(t)}$
[/mm]
[mm] $(\dot r*tan(t)+r)*(6+tan(t))\;=\;(\dot [/mm] r-r*tan(t))*(6*tan(t)-1)$
[mm] $6*\dot [/mm] r* [mm] tan(t)+6*r+\dot [/mm] r [mm] *tan^2(t)+r*tan(t)\;=\;6*\dot [/mm] r* [mm] tan(t)-6*r*tan^2(t)-\dot [/mm] r+r*tan(t)$
[mm] $6*r+\dot [/mm] r [mm] *tan^2(t)\;=\;6*r*tan^2(t)-\dot [/mm] r$
[mm] $6*r*(1+tan^2(t))\;=\;-\dot r*(1+tan^2(t))$
[/mm]
[mm] $-6*\int \;dt\;=\;\int \frac{1}{r}\;dr$
[/mm]
[mm] $ln|r|\;=\;-6*t+ln|C|$
[/mm]
[mm] $r\;=\;C*e^{-6t}$
[/mm]
LG, Martinius
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