Substitution < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 Do 09.03.2006 | | Autor: | Pacapear |
| Aufgabe 1 | Berechne das Integral:
[mm] \integral_{0}^{1}{x * \wurzel{x² + 1} dx} [/mm] |
| Aufgabe 2 | Berechne das Integral:
[mm] \integral_{ }^{ }{cos(x) * ( sin(x) )^{10} dx} [/mm] |
| Aufgabe 3 | Berechne das Integral:
[mm] \integral_{0}^{1}{tan(x) dx} [/mm] |
Hallo!
Könnte vielleicht jemand meine Rechnungen kontrollieren?
Vielen Dank!
LG, Nadine
Aufgabe 1
t = x² + 1, [mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] = 2x [mm] \gdw [/mm] dx = [mm] \bruch{dt}{2x}
[/mm]
Grenzen: a = 0 [mm] \Rightarrow \alpha [/mm] = 1, b = 1 [mm] \Rightarrow \beta [/mm] = 2
[mm] \integral_{0}^{1}{x * \wurzel{x² + 1} dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{1}^{2}{x * \wurzel{t} * \bruch{dt}{2x}}
[/mm]
= [mm] \integral_{1}^{2}{ \bruch{1}{2} * \wurzel{t} * dt}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \integral_{1}^{2}{ \wurzel{t} * dt}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] t^{ -\bruch{1}{2}} [/mm] ] (in den Grenzen von 1 bis 2)
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [ ( [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] ) - ( [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{\wurzel{1}} [/mm] ) ]
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * ( [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] )
= [mm] \bruch{1}{4 \wurzel{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{4 \wurzel{2}} [/mm] - [mm] \bruch{\wurzel{2}}{4 \wurzel{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1- \wurzel{2}}{4 \wurzel{2}}
[/mm]
Aufgabe 2
t = sin(x), [mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] = cos(x) [mm] \gdw [/mm] dx = [mm] \bruch{dt}{cos(x)}
[/mm]
[mm] \integral_{ }^{ }{cos(x) * ( sin(x) )^{10} dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{ }^{ }{cos(x) * t^{10} \bruch{dt}{cos(x)}}
[/mm]
= [mm] \integral_{ }^{ }{t^{10} dt}
[/mm]
= [ [mm] \bruch{1}{11} [/mm] + [mm] t^{11} [/mm] + c ]
= [mm] \bruch{1}{11} [/mm] + [mm] sin(x)^{11} [/mm] + c
Aufgabe 3
t = cos(x), [mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] = -sin(x) [mm] \gdw [/mm] dx = [mm] \bruch{dt}{-sin(x)}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}{tan(x) dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{sin(x)}{cos(x)} dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{cos(0)}^{cos(1)}{\bruch{sin(x)}{t} * \bruch{dt}{-sin(x)}}
[/mm]
= - [mm] \integral_{cos(0)}^{cos(1)}{\bruch{1}{t}dt}
[/mm]
Da die obere Grenze ja kleiner ist als die untere, muss ich das Integral doch umdrehen und negativ machen, oder?
= [mm] \integral_{cos(1)}^{cos(0)}{\bruch{1}{t}dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{cos(1)}^{1}{\bruch{1}{t}dt}
[/mm]
= [ ln |t| ] (in den Grenzen von cos(1) bis 1)
= [ ln(1) - ln(cos(1)) ]
= -ln(cos(1))
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Do 09.03.2006 | | Autor: | Pacapear |
Hi Roadrunner!
Danke fürs drüber gucken.
Ich hab die Aufgabe jetzt verbessert.
Ich hoffe, es ist jetzt richtig:
Aufgabe 1
t = x² + 1, [mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] = 2x [mm] \gdw [/mm] dx = [mm] \bruch{dt}{2x}
[/mm]
Grenzen: a = 0 [mm] \Rightarrow \alpha [/mm] = 1, b = 1 [mm] \Rightarrow \beta [/mm] = 2
[mm] \integral_{0}^{1}{x * \wurzel{x² + 1} dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{1}^{2}{x * \wurzel{t} * \bruch{dt}{2x}}
[/mm]
= [mm] \integral_{1}^{2}{ \bruch{1}{2} * \wurzel{t} * dt}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \integral_{1}^{2}{ \wurzel{t} * dt}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [ [mm] \bruch{2}{3}t^{\bruch{3}{2}} ]_{1}^{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [( [mm] \bruch{2}{3} [/mm] * [mm] \wurzel[3]{2} [/mm] ) - ( [mm] \bruch{2}{3} [/mm] * [mm] \wurzel[3]{1} [/mm] ) ]
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [ [mm] \bruch{2}{3} [/mm] * ( [mm] \wurzel[3]{2} [/mm] - 1) ]
= [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * ( [mm] \wurzel[3]{2} [/mm] - 1)
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Hallo Nadine!
Die Stammfunktion stimmt nun. Allerdings "interpretierst" Du das [mm] $(...)^{\bruch{3}{2}}$ [/mm] falsch.
Es gilt: [mm] $(...)^{\bruch{3}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{(...)^3 \ }$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Do 09.03.2006 | | Autor: | Pacapear |
Oh, ich glaube, ich sollte mal wieder die Potenz- und Wurzelgesetze wiederholen! ![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]")
Hoffentlich stimmt es nun:
[mm] \integral_{0}^{1}{x * \wurzel{x² + 1} dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{1}^{2}{x * \wurzel{t} * \bruch{dt}{2x}}
[/mm]
= [mm] \integral_{1}^{2}{ \bruch{1}{2} * \wurzel{t} * dt}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \integral_{1}^{2}{ \wurzel{t} * dt}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [ [mm] \bruch{2}{3}t^{\bruch{3}{2}} ]_{1}^{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [( [mm] \bruch{2}{3} [/mm] * [mm] \wurzel{2³} [/mm] ) - ( [mm] \bruch{2}{3} [/mm] * [mm] \wurzel{1³} [/mm] ) ]
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [ [mm] \bruch{2}{3} [/mm] * ( [mm] \wurzel{8} [/mm] - 1) ]
= [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * ( [mm] \wurzel{8} [/mm] - 1)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Do 09.03.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Nadine!
Wie Du meinem unten stehenden Kontrollergebnis entnehmen kannst: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:13 Do 09.03.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Nadine!
Am Ende müsste herauskommen:
$I \ = \ ... \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*\left(\wurzel{8}-1\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2*\wurzel{2}-1}{3} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 0.61$
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:17 Do 09.03.2006 | | Autor: | Pacapear |
Super!
Jetzt hab ichs raus ![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]")
Vielen Dank für deine Hilfe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Do 16.03.2006 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
Ich habe noch eine generelle Frage zur Substitution:
Die Differentiale (so dachte ich zumindest immer  ) sagen einfach nur, nach welcher Variable man intergrieren soll, und geben an, bis wohin das Integral geht.
Und ich dachte auch immer, dass [mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] nur bedeutet: "Leite die Funktion t nach der Variablen t ab".
Wieso darf ich mit den Dingern denn auch rechnen?
Das doch keine Zahlen, oder Variablen oder so sind, sondern nur quasi ne Abkürzung für was mach machen muss.
Also ich meine damit:
Diese Schreibweise hier [mm] (\bruch{dt}{dx} [/mm] = ...) formt man ja dann um, also löst nach dx auf, und hängt dann nachher das Differential mit Malpunkt an das Intergral an, und darf plötzlich daraus kürzen....
Aber wie gesagt, dass ist ja eigentlich nur ne Schreibweise, keine Zahl oder so, wieso kann man das plötzlich mit Malpunkt anhängen und daraus kürzen???
Das versteh ich irgendwie nicht....
Kann mir das jemand erklären?
LG, Nadine
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Hallo Nadine,
Deine Bedenken sind schon berechtigt. Vorsicht ist hier auf jeden Fall geboten. Man könnte z.B. einen normalen Malpunkt mit dem Hintereinanderausfüren 2er Ableitungen verwechseln. Als Merkregel für die Substitution ist's vllt. nicht schlecht. Man sollte sich aber klar sein das es nur eine Merkregel ist.
Die Substitutionsregel kannst Du Dir auch rückwärts über die Regel "innere Ableitung" herleiten.
Ist F die Stammfunktion von f dann ist
(F(g(x)))'=f(g(x))*g'(x)
Also ist die Stammfunktion von f(g(x))*g'(x) gleich F(g(x))
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:46 Do 16.03.2006 | | Autor: | Pacapear |
Hallo mathemaduenn!
So ganz kann ich deiner Erklärung nicht folgen.
> Man könnte z.B. einen normalen
> Malpunkt mit dem Hintereinanderausfüren 2er Ableitungen
> verwechseln. Als Merkregel für die Substitution ist's vllt.
> nicht schlecht.
Was genau meinst du damit?
Bei der Kettenregel rechnet man doch mal, oder?
Man berechnet erst die innere Ableitung, dann die äußere, und dann multipliziert man beide.
Ist Multiplikation eine Hintereinanderausführung, oder was ist das genau?
So wirklich hat mir das bei meinem Verständnisproblem leider nicht geholfen... ![[verlegen]](/images/smileys/verlegen.gif "[verlegen]")
Könntest du es mir vielleicht nochmal erklären?
Das wäre echt super!
LG, Nadine
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Hallo Nadine,
Meine Idee war z.B. folgendes
[mm] y^{'}*y^{'}=\bruch{dy}{dx}*\bruch{dy}{dx}=\bruch{dy*dy}{dx*dx}=\bruch{d^2y}{d^2x}=y^{''}
[/mm]
Und das in einer etwas komplizierteren Form irgendwo verstecken
Wenn Du jetzt Rechenregeln für dx,dy möchtest Was man darf, Was nicht - Damit kann ich nicht dienen. Aber das Bsp. zeigt das man in
[mm] \bruch{d^2y}{d^2x}*\bruch{dx}{dy} [/mm] nichts kürzen könnte.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Pacapear |
| Aufgabe | Berechne das Integral:
[mm] \integral_{0}^{1}{x^3*e^{x^2} dx}
[/mm]
Hinweis: Subsitution + partielle Integration |
Hallo.
Ich habe hier noch eine Aufgabe zur Substitution.
Ist mein Ergebnis richtig?
LG, Nadine
[mm] \integral_{0}^{1}{x^3*e^{x^2} dx} [/mm] (Substitution: t=x²)
= [mm] \integral_{0}^{1}{x^3*e^t \bruch{dt}{2x}}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{1}{ \bruch{1}{2}*x^2*e^t dt}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}*\integral_{0}^{1}{ \wurzel{t}^2*e^t dt}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}*\integral_{0}^{1}{t*e^t dt} [/mm] (Partielle Integration: $f=t$, [mm] g'=e^{t})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * { [mm] [t*e^t]_{0}^{1} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{1}{1*e^t dt} [/mm] }
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * { [mm] [t*e^t]_{0}^{1} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{1}{e^t dt} [/mm] }
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * { [mm] [t*e^t]_{0}^{1} [/mm] - [mm] [e^t]_{0}^{1} [/mm] }
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * { [mm] [1*e^1-0*e^0]-[e^1-e^0] [/mm] }
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] [e^1-e^1+1]
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
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Hallo Nadine!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Nur hier ...
> = [mm]\bruch{1}{2}*\integral_{0}^{1}{ \wurzel{t}^2*e^t dt}[/mm]
... hättest Du den Umweg über die Wurzel nicht gehen müssen, sondern gleich die Substitution [mm] $x^2 [/mm] \ = \ t$ einsetzen können.
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Pacapear |
Hi!
Vielen Dank fürs Nachschauen.
Bei der Sache mit der Wurzel war ich mir eh nicht so sicher.
Weil wenn ich die Substitution [mm] t=x^2 [/mm] nach $x$ auflöse, erhalte ich ja als Lösung eigentlich [mm] \pm\wurzel{t}, [/mm] und das kann ich ja schlecht in mein Integral einsetzen.
Müsste ich dann eigentlich eine Fallunterscheidung machen, einmal für [mm] +\wurzel{t} [/mm] und einmal für [mm] -\wurzel{t} [/mm] (Für den Fall, dass da z.B. ein $x$ statt ein [mm] x^2 [/mm] stände, und man nicht direkt die Substitution einsetzen könnte)?
LG, Nadine
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Hallo Nadine!
Nein, eine Fallunterscheidung ist hier nicht erforderlich. Auch nicht die Umformung nach $x \ = \ ...$ , da der Ausdruck [mm] $x^2 [/mm] \ = \ t$ eindeutig so festgelegt und in dem Integral vorhanden ist, so dass Du das direkt einsetzen kannst
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Mo 20.03.2006 | | Autor: | Pacapear |
| Aufgabe | Berechnen Sie das folgende Integral:
[mm] \integral_{0}^{1}{x^3*e^{x^2} dx} [/mm] |
Hallo zusammen.
Könnte jemand meine Rechnung kontrollieren?
Vielen Dank.
LG, Nadine
[mm] \integral_{0}^{1}{x^3*e^{x^2} dx} [/mm] (Substituation: [mm] $t=x^2$ [/mm] )
= [mm] \integral_{0}^{1}{x^3*e^t \bruch{dt}{2x}} [/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}*\integral_{0}^{1}{x^2*e^t dt} [/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}*\integral_{0}^{1}{t*e^t dt} [/mm] (Partielle Integration: $f=t$, [mm] $g'=e^t$ [/mm] )
= [mm] \bruch{1}{2}*[ [t*e^t]_{0}^{1}-\integral_{0}^{1}{1*e^t dt}]
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}*[ [t*e^t]_{0}^{1}-[e^t]_{0}^{1}]
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}*[ [1*e^1-0*e^0]-[e^1-e^0]]
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}*[e-(e-1)]
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
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Hallo Nadine!
Hattest Du diese Aufgabe hier nicht erst vor kurzem gerechnet ... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Dennoch: alles richtig!
Gruß vom
Roadrunner
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