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| Aufgabe 1 | [mm] \integral{\bruch{\wurzel{x}}{1+x}dx}
[/mm]
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| Aufgabe 2 | | [mm] \integral{\bruch{x}{\wurzel{1+x}}dx} [/mm] |
Hallo allerseits!
Diese 2 obigen Aufgaben sind ausschließlich mit Substitution zu lösen,(sonst würde ich sie ja hinkriegen) abers so fehlt mir einfach der Ansatz.Ich hab schon Vorschläge, die sind aber derart lang und kompliziert, dass ich an ihrer Richtigkeit zweifle.
Könnte mir da bitte jemand einen kleinen Tipp geben?
Meine Ideen:
[mm] \integral{\bruch{\wurzel{x}}{1+x}dx}
[/mm]
Zuerst [mm] x=u^2
[/mm]
dx=2u
[mm] 2*\integral{\bruch{u^2}{1+u^2}dx}
[/mm]
Dann nochmal u=sinh(z)
du=cosh(z)
[mm] 2*\integral{\bruch{sinh^2(z)*cosh(z)
}{1+sinh^2(z)
}dx}
[/mm]
[mm] 2*\integral{\bruch{sinh^2(z)*cosh(z)
}{cosh^2(z)
}dx}
[/mm]
[mm] 2*\integral{\bruch{sinh^2(z)
}{cosh(z)
}dx}
[/mm]
[mm] 2*\integral{\bruch{1+cosh^2(z)
}{cosh(z)
}dx}
[/mm]
[mm] 2*\integral{\bruch{1}{cosh(z)}dz}+2*\integral{cosh(z)dz}
[/mm]
[mm] 2*\integral{\bruch{1}{cosh(z)}dz}
[/mm]
[mm] tanh(\bruch{z}{2})=v
[/mm]
[mm] cosh(z)=\bruch{1+v^2}{1-v^2}
[/mm]
[mm] dz=\bruch{2dv}{1-v^2}
[/mm]
[mm] 2*\integral{\bruch{1-v^2}{1+v^2}*\bruch{2dv}{1-v^2}
}
[/mm]
stf. [mm] 4*arctan(tanh(\bruch{arsinh(\wurzel{x})}{2}))+2*sinh(arsinh(\wurzel{x}))+C
[/mm]
Da mir dieser Weg zu komliziert erscheint um richtig zu sein, hoffe ich jemand kennt einen einfacheren.
2.
[mm] \integral{\bruch{x}{\wurzel{1+x}}dx}
[/mm]
[mm] x=u^2
[/mm]
dx=2udu
[mm] 2*\integral{\bruch{u^3}{\wurzel{1+u^2}}du}
[/mm]
u=sinh(z)
du=cosh(z)dz
[mm] 2*\integral{\bruch{sinh^3(z)*cosh(z)}{\wurzel{1+sinh^2(z)}}dz}
[/mm]
[mm] 2*\integral{\bruch{sinh^3(z)*cosh(z)}{cosh(z)}dz}
[/mm]
[mm] 2*\integral{sinh^3(z)dz}
[/mm]
[mm] 2*\integral{(1+cosh^2(z))*sinh(z)dz}
[/mm]
cosh(z)=t
t'=sinh(z)
[mm] dz=\bruch{dt}{sinh(z)}
[/mm]
[mm] 2*\integral{(1+t^2)dz}
[/mm]
[mm] 2*\integral{1dt}+2*\integral{t^2dt}
[/mm]
[mm] 2*(arcosh(arsinh(\wurzel{x})))+2*\bruch{(arcosh(arsinh(\wurzel{x})))^3}{3}
[/mm]
Gruß
Angelika
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 Mi 09.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Angelika!
Die Substitution ist gut ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") . Aber zerlege den entstehenden Bruch wie folgt:
[mm] $$\bruch{u^2}{1+u^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{u^2 \ \red{+1-1}}{1+u^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1+u^2}{1+u^2} -\bruch{1}{1+u^2} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Mi 09.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Angelika!
Hier geht es wesentlich einfacher mit der Substitution: $u \ := \ 1+x$ .
Gruß
Loddar
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![[flowers]](/images/smileys/flowers.gif "[flowers]"){kind=small}
für deine Tipps Loddar, die mir immer wieder die Augen öffnen. ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]"){kind=small}
