Substitution < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 Fr 04.03.2005 | | Autor: | Skydiver |
Hallo.
Ich komme bei diesem Integral nicht weiter, vielleicht kann mir ja wer helfen:
[mm] \int_{}^{} \wurzel {1+x^2}\, [/mm] dx darin substituiere ich x = sinh(y) und
komme damit auf:
[mm] \int_{}^{} cosh(y)^2\, [/mm] dy
nun löse ich dieses Integral und erhalte hiefür
[mm] y/2 + 1/4 \* ( e^{2y} - e^{-2y} ) [/mm]
Wenn ich hier jetzt versuche mit y = arsinh(x) rückzusubstituieren komme ich einfach auf kein ordentliches Ergebnis hiefür, vor allem nicht auf das was ich laut TR erhalten sollte.
Weiß irgenwer wie diese Rücksubstitution funktioniert, bzw. weiß jemand überhaupt einen anderen Lösungsansatz??
mfg.
|
|
| |
|
Hallo,
schreibe den Integranden so:
[mm]\cosh ^{2} (y)\; = \;\frac{{1\; + \;\cosh (2y)}}{2}[/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Fr 04.03.2005 | | Autor: | Skydiver |
Hallo.
Danke für die rasche Antwort.
Leider ist damit mein eigentliches Problem, die Rücksubstitution noch immer nicht gelöst, da ich damit wieder auf das selbe komme, wenn ich beim Rücksubstituieren für den sinh die e-Potenz Formel und für den arsinh die ln Formel verwende.
mfg.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Fr 04.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi
wen du das integral mit additionstheoremen lösen willst, so erhälst du mit dem von MathePower angegebenen
[m] \int \cosh^2 y \, \textrm{d}y = \int \left( \frac{{1\; + \;\cosh (2y)}}{2} \right) \, \textrm{d}y = \frac{y}{2} + \frac{\sinh (2y)}{4} + C [/m]
und mit dem theorem für das doppelte-argument [m] \sinh(2y) = 2 \sinh y \cosh y [/m] weiter
[m] = \frac{y}{2} + \frac{2 \sinh y \cosh y}{4} + C = \frac{y}{2} + \frac{\sinh y \sqrt{ 1 + \sinh^2 y}}{2} + C [/m]
wegen [m] \sinh^2 y + 1 =\cosh^2 y [/m].
theoretisch sollte das aber natürlich auch mit der [mm] $\ln$-darstellung [/mm] klappen. du kannst ja mal deine rechnung posten.
grüße
andreas
|
|
|
|
