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Forum "Integralrechnung" - Substitution
Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Substitution: Ergebnis überprüfen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:36 Mi 07.01.2009
Autor: Verdeg

Aufgabe
Substitution (also Stammfunktion bilden) von [mm] \bruch{x}{1-x} [/mm]

Leider bin ich mir nicht ganz sicher, ob ich das richtig gerechnet habe. Und bevor ich weitermache, wolte ich fragen ob Jemand kurz mein Ergebnis anschauen könnte...dann weiß ich das ich die Regel anwenden kann :) und kann mit meinen Aufgaben fortfahren

u= 1-x
also dann [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = -1
umformen nach dx er gibt -du
einsetzten: [mm] \bruch{x}{u} [/mm] * -du = -x * [mm] \bruch{1}{u} [/mm] =  -x ln u= -x * ln(1-x)

Stimmt das?


        
Bezug
Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:51 Mi 07.01.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Verdeg,

> Substitution (also Stammfunktion bilden) von
> [mm]\bruch{x}{1-x}[/mm]
>  Leider bin ich mir nicht ganz sicher, ob ich das richtig
> gerechnet habe. Und bevor ich weitermache, wolte ich fragen
> ob Jemand kurz mein Ergebnis anschauen könnte...dann weiß
> ich das ich die Regel anwenden kann :) und kann mit meinen
> Aufgaben fortfahren
>  
> u= 1-x
>  also dann [mm]\bruch{du}{dx}[/mm] = -1 [ok]
>  umformen nach dx er gibt -du [ok]
>   einsetzten: [mm]\bruch{x}{u}[/mm] * -du = -x * [mm]\bruch{1}{u} \red{du}[/mm] =  -x  ln u [notok]

Hier hast du doch 2 Variablen im Integral, das ist Kudelmuddel, drücke das x noch durch u aus

> -x * ln(1-x)
>  
> Stimmt das?

Leider nicht, Substitution ist auch hier nicht unbedingt nötig, aber gut

Mit deinem Ansatz bist du nun bei [mm] $\int{\frac{-\red{x}}{u} \ du}$ [/mm]

Nun das $x$ in $u$ ausdrücken: Mit $u=1-x$ ist [mm] $\red{x=1-u}$ [/mm]

Also hast du [mm] $...=\int{\frac{-\red{(1-u\red)}}{u} \ du}=\int{\frac{u-1}{u} \ du}=\int{\left(1-\frac{1}{u}\right) \ du}=\int{1 \ du}-\int{\frac{1}{u} \ du}$ [/mm]

Nun du weiter...

LG

schachuzipus
Bezug
                
Bezug
Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:24 Do 08.01.2009
Autor: Verdeg


> Also hast du [mm]...=\int{\frac{-\red{(1-u\red)}}{u} \ du}=\int{\frac{u-1}{u} \ du}=\int{\left(1-\frac{1}{u}\right) \ du}=\int{1 \ du}-\int{\frac{1}{u} \ du}[/mm]
>  
> Nun du weiter...
>  

das wäre dann ja [mm] \integral_{}^{}{u - ln u} [/mm]
und somit 1-x - ln(1-x) ?
Bezug
                        
Bezug
Substitution: sieht gut aus, aber ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:28 Do 08.01.2009
Autor: Loddar

Hallo Verdeg!


> das wäre dann ja [mm]\integral_{}^{}{u - ln u}[/mm]

Hier ist das Integralzeichen zuviel ...


> und somit 1-x - ln(1-x) ?

... und bei einem unbestimmten Integral fehlt hier noch die Integrationskonstante $+C_$ .

Ansonsten richtig.


Gruß
Loddar

Bezug
        
Bezug
Substitution: Andere Frage dazu
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:19 Do 08.01.2009
Autor: Verdeg

Ok, dann mal eine andere Frage. Ich kann es ja mit Partielle Integration auch lösen...wie muss ich denn die Variabel u oder v´ wählne wenn beispielsweise  [mm] \bruch{x}{(1-x)²} [/mm] steht?
Wäre dann u= x und somit u´= 1 und v´= (1-x)² und v dann eben [mm] -\bruch{1}{3}(1-x)³ [/mm] ?

Bitte nochmal ein Tipp dann sollte ich es aber wirklich schaffen :)
Bezug
                
Bezug
Substitution: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:24 Do 08.01.2009
Autor: Loddar

Hallo Verdeg!


Es muss heißen für $v'_$ :
$$v' \ = \ [mm] \bruch{1}{(1-x)^2} [/mm] \ = \ [mm] (1-x)^{-2}$$ [/mm]

Gruß
Loddar

Bezug
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