Substitution < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:40 Do 28.05.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Integriere per Substitution:
[mm] \int_{0}^{0,5} [/mm] x [mm] \cdot{} \wurzel{1-x²}\, [/mm] dx
(Tipp: x = sin u) |
Hallo,
ich habe also zunächst substituiert:
[mm] \int_{0}^{0,5} [/mm] x [mm] \cdot{} \wurzel{1-x²}\, [/mm] dx
x = sin u
[mm] \bruch{dx}{du} [/mm] = cos u -> dx = cos u du
[mm] \wurzel{1-x²} [/mm] = cos u
Integrationsgrenzen mitsubstituieren:
x = sin u -> u = arcsin(x)
x = 0, u = 0
x = 0,5, u = [mm] \bruch{\pi}{6} [/mm]
$= [mm] \int_{0}^{\bruch{\pi}{6}}sin [/mm] u [mm] \cdot{} cos²u\, [/mm] du = [mm] \int_{0}^{\bruch{\pi}{6}}sin [/mm] u [mm] \cdot{} \bruch{1}{2} \left[ 1+cos(2u) \right] \, [/mm] du = [mm] \bruch{1}{2} \int_{0}^{\bruch{\pi}{6}}sin u\, [/mm] du + [mm] \bruch{1}{2} \int_{0}^{\bruch{\pi}{6}} [/mm] sin u [mm] \cdot{} cos(2u)\, [/mm] du = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] [-cos u] + [mm] \bruch{1}{2} \int_{0}^{\bruch{\pi}{6}} [/mm] sin u [mm] \cdot{} cos(2u)\, [/mm] du$
Wie würde es denn weitergehen, für den Term: sin u [mm] \cdot{} [/mm] cos(2u)? Ich habe schon Substitution und partielle Integration probiert, es scheitert immer an denn verschiedenen Argumenten.
Grüße
itse
|
|
| |
|
Hallo itse,
> Integriere per Substitution:
>
> [mm]\int_{0}^{0,5}[/mm] x [mm]\cdot{} \wurzel{1-x²}\,[/mm] dx
>
> (Tipp: x = sin u)
> Hallo,
>
> ich habe also zunächst substituiert:
>
> [mm]\int_{0}^{0,5}[/mm] x [mm]\cdot{} \wurzel{1-x²}\,[/mm] dx
>
> x = sin u
>
> [mm]\bruch{dx}{du}[/mm] = cos u -> dx = cos u du
>
> [mm]\wurzel{1-x²}[/mm] = cos u
>
> Integrationsgrenzen mitsubstituieren:
>
> x = sin u -> u = arcsin(x)
>
> x = 0, u = 0
>
> x = 0,5, u = [mm]\bruch{\pi}{6}[/mm]
>
>
> [mm]= \int_{0}^{\bruch{\pi}{6}}sin u \cdot{} cos²u\, du = \int_{0}^{\bruch{\pi}{6}}sin u \cdot{} \bruch{1}{2} \left[ 1+cos(2u) \right] \, du = \bruch{1}{2} \int_{0}^{\bruch{\pi}{6}}sin u\, du + \bruch{1}{2} \int_{0}^{\bruch{\pi}{6}} sin u \cdot{} cos(2u)\, du = \bruch{1}{2} [-cos u] + \bruch{1}{2} \int_{0}^{\bruch{\pi}{6}} sin u \cdot{} cos(2u)\, du[/mm]
>
> Wie würde es denn weitergehen, für den Term: sin u [mm]\cdot{}[/mm]
> cos(2u)? Ich habe schon Substitution und partielle
> Integration probiert, es scheitert immer an denn
> verschiedenen Argumenten.
>
Kann es sein, dass der Fehler hier liegt:
[mm] $\int_{0}^{0,5}x\cdot{} \wurzel{1-x²}\, dx=\int_{0}^{\bruch{\pi}{6}}sin [/mm] (u) [mm] \cdot{} [/mm] cos(u) [mm] \, [/mm] du $
> itse
LG, Martinius
|
|
|
| |
|
Hallo Martinius,
> Kann es sein, dass der Fehler hier liegt:
>
> [mm]\int_{0}^{0,5}x\cdot{} \wurzel{1-x²}\, dx=\int_{0}^{\bruch{\pi}{6}}sin (u) \cdot{} cos(u) \, du[/mm]
Nein, das war schon richtig, hast du etwa das [mm] $dx=\cos(u) [/mm] \ du$ unterschlagen?
Es kommt in der Tat [mm] $\int{\sin(u)\cos^2(u) \ du}$ [/mm] heraus!
>
> > itse
>
>
> LG, Martinius
>
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:34 Do 28.05.2009 | | Autor: | Martinius |
Hallo schachuzipus,
> Hallo Martinius,
>
> > Kann es sein, dass der Fehler hier liegt:
> >
> > [mm]\int_{0}^{0,5}x\cdot{} \wurzel{1-x²}\, dx=\int_{0}^{\bruch{\pi}{6}}sin (u) \cdot{} cos(u) \, du[/mm]
>
> Nein, das war schon richtig, hast du etwa das [mm]dx=\cos(u) \ du[/mm]
> unterschlagen?
Da habe ich mich der Unterschlagung schuldig gemacht. Sorry.
LG, Martinius
|
|
|
| |
|
Hallo itse,
ich habe deine Grenzen nicht nachgerechnet, aber das substituierte Integral stimmt
Also [mm] $\int{\sin(u)\cos^2(u) \ du}$
[/mm]
Hier substituiere nochmal mit [mm] $z:=\cos(u)$ [/mm] und es klappt wunderbar einfach ...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Do 28.05.2009 | | Autor: | itse |
Hallo,
also nochmals substituieren
$ = [mm] \int_{0}^{\bruch{\pi}{6}}sin(u) \cdot{} cos²(u)\, [/mm] du$
z = cos(u)
du = [mm] \bruch{dz}{-sin(u)}
[/mm]
$ = [mm] \int_{0}^{\bruch{\pi}{6}} \bruch{sin(u) \cdot{} z²}{-sin(u)}\, [/mm] dz = - [mm] \int_{0}^{\bruch{\pi}{6}} z²\, [/mm] dz$ = [mm] -\bruch{1}{3}z^3 [/mm] + C
Da ich die Integrationsgrenzen mitsubstituiert habe, folgt dann als Zahlenwert für das bestimmte Integral
[mm] -\bruch{1}{3}(\bruch{\pi}{6})^3 [/mm] + 0 = -0,047
Stimmt dies? Oder muss ich bei jeder Substitution die Integrationsgrenzen mitsubstituieren, dann würde sich ergeben:
z = cos(u) -> u = arccos(z)
untere Grenze: z = 0, u = [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
obere Grenze: z = [mm] \bruch{\pi}{6}, [/mm] u [mm] \approx [/mm] 1,02
[mm] -\bruch{1}{3}(1,02)^3 [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}(\bruch{\pi}{2})^3 [/mm] = 0,938
Würde ich nun rücksubstituieren:
z = cos(u) = [mm] \wurzel{1-x²}
[/mm]
-> [mm] -\bruch{1}{3} \wurzel{(1-x²)^3} [/mm] + C
Müsste ich doch für die Integrationsgrenzen 0 und 0,5 einsetzen?
|
|
|
| |
|
Hallo, [mm] -\bruch{1}{3}z^{3} [/mm] ist korrekt, es ist immer günstig, erst am Ende die Rücksubstitution zu machen, dann hast du nicht den Trappel mit den Grenzen, du kannst 0,5 und 0 einsetzen,
1. Rücksubstitution:
z=cos(u)
somit hast du
[mm] -\bruch{1}{3}cos^{3}(u)
[/mm]
2. Rücksubstitution:
x=sin(u)
u=arcsin(x)
[mm] -\bruch{1}{3}cos^{3}[arcsin(x)]
[/mm]
jetzt kommen die obere Grenze 0,5 und untere Grenze 0 ins Spiel
obere Grenze 0,5: [mm] -\bruch{1}{3}cos^{3}[arcsin(0,5)]\approx-0,216506351
[/mm]
untere Grenze 0: [mm] -\bruch{1}{3}cos^{3}[arcsin(0)]=-\bruch{1}{3}
[/mm]
Bildung der Differenz: [mm] \approx0,116826982
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Do 28.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo itse!
Was spricht hier gegen die Substitution: $u \ := \ [mm] 1-x^2$ [/mm] .
Damit bist Du ruck-zuck am Ziel.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:38 Do 28.05.2009 | | Autor: | itse |
Natürlich hast du Recht, aber bei der Aufgabe ist ein "Tipp" angegeben. Somit komme ich nicht drum herum, es so zu machen.
Gruß
itse
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:40 Do 28.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo itse!
Einen "Tipp" kann ich befolgen, muss ich aber nicht.
Anders wäre es, wenn die Aufgabenstellung fordern würde: "Lösen Sie so und so ...".
![[meinemeinung]](/images/smileys/meinemeinung.gif "[meinemeinung]")
Gruß
Loddar
|
|
|
|
