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Hallo,
ich möchte folgendes Integral lösen:
[mm] \integral_{0}^{1}{\sqrt{1-x^2} dx}
[/mm]
Das schreit nach Substitution, mit dem trigonometrischen Pythagoras. Also:
x=sin(u).
Jetzt habe ich ein Problem mit dem ich nicht klar komme. Wenn ich stur die Regel der Substitution anwende, komme ich nicht weiter. Hier meine Ausführung.
x=sin(u) [mm] \gdw [/mm] u= arcsin(x)
Den arcsin(x) abzuleiten ergibt [mm] \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. [/mm]
[mm] dx=\frac{du}{\sqrt{1-x^2}}
[/mm]
Dann muss ich die Grenzen noch ändern...
ABER im Seminar haben wir die gleiche Substitution gemacht, und was anderes herausbekommen:
x=sin(u)
mit
dx=cos(u)du
Ich stehe irgendwie auf dem Schlauch und bekomme die Herleitung nicht hin.....
Könnte mir einer dabei Helfen, das Problem zu lösen.
Liebe Grüße
Christian
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 So 24.07.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Machen wir das mal am unbestimmten Integral, dann brauchst du dich um die Gernzen nicht zu kümmern.
Substituiere [mm] u=\sin(x) [/mm] , dann ergibt sich:
[mm] \frac{du}{dx}=\cos(x)\Leftrightarrow dx=\cos(u)du
[/mm]
[mm] \int\sqrt{1-x^{2}}dx
[/mm]
[mm] =\int\sqrt{1-\sin^{2}(u)}\cdot\cos(u)du
[/mm]
Nun gilt:
[mm] \cos(\alpha)=\sqrt{1-\sin^{2}(\alpha)}
[/mm]
Also:
[mm] \int\sqrt{1-\sin^{2}(u)}\cos(u)du
[/mm]
[mm] =\int\cos(u)\cdot\cos(u)du
[/mm]
[mm] =\int\cos^{2}(u)du
[/mm]
Nun gibt es ein Additionstheorem:
[mm] \cos^{2}(\beta)=\frac{1}{2}\cos(2\beta)+\frac{1}{2}
[/mm]
Also:
[mm] \int\cos^{2}(u)du
[/mm]
[mm] =\int\frac{1}{2}\cos(2u)+\frac{1}{2}du
[/mm]
[mm] =\frac{1}{2}\left[\int\cos(2u)+1du\right]
[/mm]
[mm] =\frac{1}{2}\left[\int\cos(2u)du+\int1du\right]
[/mm]
Substituiere für das erste Integral s=2u, also [mm] du=\frac{1}{2}s
[/mm]
Damit:
[mm] \frac{1}{2}\left[\int\cos(2u)du+\int1du\right]
[/mm]
[mm] =\frac{1}{2}\left[\int\frac{1}{2}\cos(s)ds+\int1du\right]
[/mm]
[mm] =\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}\int\cos(s)ds+\int1du\right]
[/mm]
Jetzt kannst du die Integrale ohne Probleme bestimmen.
Marius
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> Substituiere [mm]u=\sin(x)[/mm] , dann ergibt sich:
> [mm]\frac{du}{dx}=\cos(x)\Leftrightarrow dx=\cos(u)du[/mm]
Stimmt das? Ich habe doch x= sin(u) gesetzt. Bekommt nach deiner Substitution nicht ein anderes Integral. Durch die Äquivalenz entsteht doch dann [mm] dx=\cos(x)du.....
[/mm]
Liebe Grüße
Junge
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 So 24.07.2011 | | Autor: | DM08 |
Genau. Setzte [mm] u=\sin(x).
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx}=\cos(x)\gdw du=\cos(x)dx\gdw \bruch{du}{\cos(x)}=dx
[/mm]
mfG
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Das stimmt doch nicht....?
Das Integral heißt doch
[mm] \integral_{0}^{1}{\sqrt{1-x^2} dx}
[/mm]
Ich möchte den trigonometrischen Pythagoras anwenden, deswegen setze ich x=sin(u) und nicht anders. Aber ich muss nach der Substitutionsregel aber u=irgendwas haben.
Ich denke die Variabeln werden in den Antworten von Autoren verwechselt...
Liebe Grüße
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Hallo Sachsen-Junge,
> Das stimmt doch nicht....?
>
> Das Integral heißt doch
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\sqrt{1-x^2} dx}[/mm]
>
> Ich möchte den trigonometrischen Pythagoras anwenden,
> deswegen setze ich x=sin(u) und nicht anders. Aber ich muss
> nach der Substitutionsregel aber u=irgendwas haben.
Warum? Das ist doch ziemlich egal, Hauptsache, du bekommst nachher ein Integral komplett in der neuen Variable ..
Wenn du unbedingt willst: [mm]u=\arcsin(x)[/mm] ...
Ein bisschen aufpassen musst du nur im Schritt [mm]\sqrt{\cos^2(u)}=\cos(u)[/mm]
Das solltest du begründen, denn es ist ja erstmal [mm]\sqrt{\cos^2(u)}=|\cos(u)|[/mm] ...
Schaue dir dazu die Grenzen in der neuen Variable an:
untere: [mm]x=0\Rightarrow u=\arcsin(0)=0[/mm]
obere: [mm]x=1\Rightarrow u=\arcsin(1)=...[/mm]
Wie verhält sich der Kosinus innerhalb dieser Grenzen?
>
> Ich denke die Variabeln werden in den Antworten von Autoren
> verwechselt...
>
>
> Liebe Grüße
Gruß
schachuzipus
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