Substitution < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:57 Di 01.05.2012 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Löse für [mm] $x\in\mathbb{R}_{+}$
[/mm]
[mm] $\left(\begin{array}{c}
y_{1}'\\
y_{2}'
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
\frac{3y_{2}}{x}\\
-\frac{3y_{1}}{x}
\end{array}\right).$ [/mm] |
Hallo,
es geht mir hier im Wesentlichen nur um einen Schritt, der eine Substitution
behandelt. Und zwar substituiert man im gegebenen System [mm] $x=e^{s}$
[/mm]
und führt damit das System auf eines mit konstanten Koeffizienten
zurück. Dann hat man einfach [mm] $dx=e^{s}ds$ [/mm] gesetzt, sodass die erste
DGL zu
[mm] $\frac{dy_{1}}{ds}=3y_{2}$ [/mm] wird und im Folgenden [mm] $y_{1}$ [/mm] und [mm] $y_{2}$
[/mm]
als Funktionen von $s$ betrachtet. Ich würde diesen Schritt gerne
etwas formaler haben und habe mich dabei aber bisher immer in Widersprüche
verwickelt.
Eigentlich steht in der ersten Gleichung ja [mm] $y_{1}'(x)=\frac{3y_{2}(x)}{x}=f(x,y_{2}).$
[/mm]
Jetzt könnte man das Argument der Funktion doch durch [mm] $s(x)=\mbox{ln}x$
[/mm]
ersetzen und erhielte
[mm] $(y_{1}(s(x)))'=\frac{3y_{2}(s(x))}{x}.$ [/mm] Würde man jetzt die linke
Seite mit der Kettenregel ausrechnen, käme man wieder auf [mm] $\frac{dy_{1}}{ds}=3y_{2}$.
[/mm]
Aber eigentlich habe ich doch die Substitution nicht richtig ausgeführt.
In den Funktionen steht ja am Anfang $x,$ das kann ich doch nicht
einfach durch $s(x)$ ersetzen und wenn ich dieses aber doch täte,
müsste ich doch auch das $x$ im Nenner auf der rechten Seite ersetzen.
Hoffentlich ist mein Problem einigermaßen nachvollziehbar.
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Hallo Unk,
> Löse für [mm]x\in\mathbb{R}_{+}[/mm]
>
> [mm]$\left(\begin{array}{c}
y_{1}'\\
y_{2}'
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
\frac{3y_{2}}{x}\\
-\frac{3y_{1}}{x}
\end{array}\right).$[/mm]
>
> Hallo,
>
> es geht mir hier im Wesentlichen nur um einen Schritt, der
> eine Substitution
> behandelt. Und zwar substituiert man im gegebenen System
> [mm]x=e^{s}[/mm]
> und führt damit das System auf eines mit konstanten
> Koeffizienten
> zurück. Dann hat man einfach [mm]dx=e^{s}ds[/mm] gesetzt, sodass
> die erste
> DGL zu
>
> [mm]\frac{dy_{1}}{ds}=3y_{2}[/mm] wird und im Folgenden [mm]y_{1}[/mm] und
> [mm]y_{2}[/mm]
> als Funktionen von [mm]s[/mm] betrachtet. Ich würde diesen Schritt
> gerne
> etwas formaler haben und habe mich dabei aber bisher immer
> in Widersprüche
> verwickelt.
>
> Eigentlich steht in der ersten Gleichung ja
> [mm]y_{1}'(x)=\frac{3y_{2}(x)}{x}=f(x,y_{2}).[/mm]
> Jetzt könnte man das Argument der Funktion doch durch
> [mm]s(x)=\mbox{ln}x[/mm]
> ersetzen und erhielte
>
> [mm](y_{1}(s(x)))'=\frac{3y_{2}(s(x))}{x}.[/mm] Würde man jetzt die
> linke
> Seite mit der Kettenregel ausrechnen, käme man wieder auf
> [mm]\frac{dy_{1}}{ds}=3y_{2}[/mm].
>
> Aber eigentlich habe ich doch die Substitution nicht
> richtig ausgeführt.
> In den Funktionen steht ja am Anfang [mm]x,[/mm] das kann ich doch
> nicht
> einfach durch [mm]s(x)[/mm] ersetzen und wenn ich dieses aber doch
> täte,
> müsste ich doch auch das [mm]x[/mm] im Nenner auf der rechten
> Seite ersetzen.
>
> Hoffentlich ist mein Problem einigermaßen nachvollziehbar.
Es ist doch:
[mm]y_{k}\left( \ s\left(x\right) \ \right)=y_{k}\left(x\right), \ k=1,2[/mm]
Dies nach x differenziert ergibt:
[mm]\bruch{d y_{k}}{ds}*\bruch{ds}{dx}=\bruch{d y_{k}}{dx}, \ k=1,2[/mm]
Dies setzt Du jetzt in das gegebene DGL-System ein.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Di 01.05.2012 | | Autor: | Unk |
Hallo,
> Es ist doch:
>
> [mm]y_{k}\left( \ s\left(x\right) \ \right)=y_{k}\left(x\right), \ k=1,2[/mm]
>
Wieso das denn. Es gilt doch [mm] $s(x)=\ln(x)$, [/mm] dann ergibt die obige Gleichung ja [mm] $y_{k}\left( \ln(x) \ \right)=y_{k}\left(x\right), [/mm] \ k=1,2$.
Das kann doch irgendwie nicht stimmen???
> Dies nach x differenziert ergibt:
>
> [mm]\bruch{d y_{k}}{ds}*\bruch{ds}{dx}=\bruch{d y_{k}}{dx}, \ k=1,2[/mm]
>
> Dies setzt Du jetzt in das gegebene DGL-System ein.
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo Unk,
> Hallo,
>
> > Es ist doch:
> >
> > [mm]y_{k}\left( \ s\left(x\right) \ \right)=y_{k}\left(x\right), \ k=1,2[/mm]
>
> >
>
> Wieso das denn. Es gilt doch [mm]s(x)=\ln(x)[/mm], dann ergibt die
> obige Gleichung ja [mm]y_{k}\left( \ln(x) \ \right)=y_{k}\left(x\right), \ k=1,2[/mm].
>
> Das kann doch irgendwie nicht stimmen???
>
Doch das stimmt schon, da es sich links
um eine verkettete Funktion handelt.
> > Dies nach x differenziert ergibt:
> >
> > [mm]\bruch{d y_{k}}{ds}*\bruch{ds}{dx}=\bruch{d y_{k}}{dx}, \ k=1,2[/mm]
>
> >
> > Dies setzt Du jetzt in das gegebene DGL-System ein.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Di 01.05.2012 | | Autor: | Unk |
> Hallo Unk,
>
> > Hallo,
> >
> > > Es ist doch:
> > >
> > > [mm]y_{k}\left( \ s\left(x\right) \ \right)=y_{k}\left(x\right), \ k=1,2[/mm]
>
> >
> > >
> >
> > Wieso das denn. Es gilt doch [mm]s(x)=\ln(x)[/mm], dann ergibt die
> > obige Gleichung ja [mm]y_{k}\left( \ln(x) \ \right)=y_{k}\left(x\right), \ k=1,2[/mm].
>
> >
> > Das kann doch irgendwie nicht stimmen???
> >
>
>
> Doch das stimmt schon, da es sich links
> um eine verkettete Funktion handelt.
Achso dann macht man das eher so (für positive x): Sei [mm] f(x)=x^2 [/mm] und [mm] t(x)=x^2, [/mm] dann ist [mm] f(t(x))=t(x)=f(x^2). [/mm] Und nicht so: [mm] f(t(x))=(t(x))^2?
[/mm]
Ich hab gerade für x dann einfach t(x) eingesetzt. Ziemlich dumm von mir...
Aber dann stimmt ja alles.
>
>
> > > Dies nach x differenziert ergibt:
> > >
> > > [mm]\bruch{d y_{k}}{ds}*\bruch{ds}{dx}=\bruch{d y_{k}}{dx}, \ k=1,2[/mm]
>
> >
> > >
> > > Dies setzt Du jetzt in das gegebene DGL-System ein.
> > >
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo Unk,
> > Hallo Unk,
> >
> > > Hallo,
> > >
> > > > Es ist doch:
> > > >
> > > > [mm]y_{k}\left( \ s\left(x\right) \ \right)=y_{k}\left(x\right), \ k=1,2[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > >
> > > Wieso das denn. Es gilt doch [mm]s(x)=\ln(x)[/mm], dann ergibt die
> > > obige Gleichung ja [mm]y_{k}\left( \ln(x) \ \right)=y_{k}\left(x\right), \ k=1,2[/mm].
>
> >
> > >
> > > Das kann doch irgendwie nicht stimmen???
> > >
> >
> >
> > Doch das stimmt schon, da es sich links
> > um eine verkettete Funktion handelt.
>
> Achso dann macht man das eher so (für positive x): Sei
> [mm]f(x)=x^2[/mm] und [mm]t(x)=x^2,[/mm] dann ist [mm]f(t(x))=t(x)=f(x^2).[/mm] Und
> nicht so: [mm]f(t(x))=(t(x))^2?[/mm]
>
Letzteres ist richtig.
> Ich hab gerade für x dann einfach t(x) eingesetzt.
> Ziemlich dumm von mir...
> Aber dann stimmt ja alles.
>
> >
> >
> > > > Dies nach x differenziert ergibt:
> > > >
> > > > [mm]\bruch{d y_{k}}{ds}*\bruch{ds}{dx}=\bruch{d y_{k}}{dx}, \ k=1,2[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Dies setzt Du jetzt in das gegebene DGL-System ein.
> > > >
> > > >
> > > > Gruss
> > > > MathePower
> > >
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Di 01.05.2012 | | Autor: | Unk |
> Hallo Unk,
>
> > > Hallo Unk,
> > >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > > Es ist doch:
> > > > >
> > > > > [mm]y_{k}\left( \ s\left(x\right) \ \right)=y_{k}\left(x\right), \ k=1,2[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > >
> > > > Wieso das denn. Es gilt doch [mm]s(x)=\ln(x)[/mm], dann ergibt die
> > > > obige Gleichung ja [mm]y_{k}\left( \ln(x) \ \right)=y_{k}\left(x\right), \ k=1,2[/mm].
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Das kann doch irgendwie nicht stimmen???
> > > >
> > >
> > >
> > > Doch das stimmt schon, da es sich links
> > > um eine verkettete Funktion handelt.
> >
> > Achso dann macht man das eher so (für positive x): Sei
> > [mm]f(x)=x^2[/mm] und [mm]t(x)=x^2,[/mm] dann ist [mm]f(t(x))=t(x)=f(x^2).[/mm] Und
> > nicht so: [mm]f(t(x))=(t(x))^2?[/mm]
> >
>
>
> Letzteres ist richtig.
>
Jetzt verwirrst du mich. Doch Letzteres, also [mm] $f(t(x))=(t(x))^2$?
[/mm]
Dann ist das [mm] $y_k(s(x))=y_k(x)$ [/mm] ja wieder nicht mehr richtig.
Konkret: Rechnet man eine spezielle Lösung der DGL aus, so erhält man z.B. [mm] $y_1(x)=\cos(3\ln(x))$. [/mm]
Dann gilt nach meiner Logik [mm] $y_1(s(x))=\cos(3s(x))=y_1(x)$.
[/mm]
Und nicht: [mm] $y_1(s(x))=\cos(3\ln(s(x)))$.
[/mm]
Richtig?
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Hallo Unk,
> > Hallo Unk,
> >
> > > > Hallo Unk,
> > > >
> > > > > Hallo,
> > > > >
> > > > > > Es ist doch:
> > > > > >
> > > > > > [mm]y_{k}\left( \ s\left(x\right) \ \right)=y_{k}\left(x\right), \ k=1,2[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > >
> > > > > Wieso das denn. Es gilt doch [mm]s(x)=\ln(x)[/mm], dann ergibt die
> > > > > obige Gleichung ja [mm]y_{k}\left( \ln(x) \ \right)=y_{k}\left(x\right), \ k=1,2[/mm].
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Das kann doch irgendwie nicht stimmen???
> > > > >
> > > >
> > > >
> > > > Doch das stimmt schon, da es sich links
> > > > um eine verkettete Funktion handelt.
> > >
> > > Achso dann macht man das eher so (für positive x): Sei
> > > [mm]f(x)=x^2[/mm] und [mm]t(x)=x^2,[/mm] dann ist [mm]f(t(x))=t(x)=f(x^2).[/mm] Und
> > > nicht so: [mm]f(t(x))=(t(x))^2?[/mm]
> > >
> >
> >
> > Letzteres ist richtig.
> >
>
> Jetzt verwirrst du mich. Doch Letzteres, also
> [mm]f(t(x))=(t(x))^2[/mm]?
>
> Dann ist das [mm]y_k(s(x))=y_k(x)[/mm] ja wieder nicht mehr
> richtig.
Das ist weiterhin richtig.
Links ist das Argument von [mm]y_{k}[/mm] s(x),
damit kannst Du ebenso x als Argument von [mm]y_{k}[/mm] verwenden,
was auf der rechten Seite auch angewendet worden ist.
> Konkret: Rechnet man eine spezielle Lösung der DGL aus,
> so erhält man z.B. [mm]y_1(x)=\cos(3\ln(x))[/mm].
> Dann gilt nach meiner Logik [mm]y_1(s(x))=\cos(3s(x))=y_1(x)[/mm].
> Und nicht: [mm]y_1(s(x))=\cos(3\ln(s(x)))[/mm].
>
> Richtig?
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Di 01.05.2012 | | Autor: | Unk |
> Hallo Unk,
> > Jetzt verwirrst du mich. Doch Letzteres, also
> > [mm]f(t(x))=(t(x))^2[/mm]?
> >
> > Dann ist das [mm]y_k(s(x))=y_k(x)[/mm] ja wieder nicht mehr
> > richtig.
>
>
> Das ist weiterhin richtig.
>
> Links ist das Argument von [mm]y_{k}[/mm] s(x),
> damit kannst Du ebenso x als Argument von [mm]y_{k}[/mm]
> verwenden,
> was auf der rechten Seite auch angewendet worden ist.
>
Ok, langsam laufe ich Gefahr, dir auf die Nerven zu gehen, aber verständlich ist das für mich immer noch nicht.
Nochmal: [mm] $x=e^s, [/mm] d.h. [mm] s=\ln(x)$. [/mm] Wenn ich jetzt in die Funktion [mm] $y_1$ [/mm] als Argument $x$ schreibe, ist das doch nicht dasselbe, wie wenn ich da als Argument [mm] $\ln [/mm] x$, also $s(x)$ einsetze.
Das zeigt doch das Beispiel, was ich gebracht habe. Ist [mm] f(x)=x^2, [/mm] so ist doch für [mm] $t(x)=x^2$ [/mm] auch nicht $f(t(x))=f(x)$.
Genauso habe ich eine spezielle Lösung angegeben und argumentiert, dass hier [mm] $y_1(s(x))\neq y_1(x)$ [/mm] ist.
Irgendwas stimmt doch jetzt nicht. Zumindest ist die Gleichheit [mm] $y_1(s(x))=y_1(x)$ [/mm] aus meiner Sicht immer noch unbegründet! Von mir aus könnte man schreiben [mm] $y_1(e^s)=y_1(x)$, [/mm] aber das bringt doch nichts oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Di 01.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich denke, die verwirrung besteht in den Funktionsbezeichnungen.
wenn y eine bekannte fkt ist zB sin und x=eâ dann ist [mm] sin(x)=sin(e^s) [/mm] oder sin(s)=sin(ln(x))
aber in beiden Fällen kann ich sagen y ist eine fkt von s oder y ist eine funktin von x
nur beim ableiten muss ich aufpassen y(s)=y(s(x))
[mm] \frac{dy}{ds}=\frac{dy}{dx}*\frac{dx}{ds}=\frac{dy}{dx}*e^s
[/mm]
dann hattest du [mm] \frac{dy}{dx}=y(s)/x=y/e^s [/mm] also
[mm] \frac{dy}{dx}*e^s=y(s) [/mm] insgesamt:
[mm] \frac{dy}{ds}=y(s)
[/mm]
daraus wird y(s) bestimmt z.B y=sin(s) damit ist dann y(x)=sin(lnx)
wenn jemand allgemein schreibt $ f(t(x))=f(x) $. meint er nur eine funktion von t(x) kann man uch als funktion von x auffassen NICHT mit f=sin sin(t(x))=sin(x)
Die Schreibweise mit dem allgemeinen f oder y ist da irreführend.
also wenn du für y(s) eine funktion bestimmt hast musst du statt s lnx einsetzen, wenn du die fkt von x explizit haben willst.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Di 01.05.2012 | | Autor: | Unk |
> Hallo
> Ich denke, die verwirrung besteht in den
> Funktionsbezeichnungen.
> wenn y eine bekannte fkt ist zB sin und x=eâ dann ist
> [mm]sin(x)=sin(e^s)[/mm] oder sin(s)=sin(ln(x))
> aber in beiden Fällen kann ich sagen y ist eine fkt von s
> oder y ist eine funktin von x
> nur beim ableiten muss ich aufpassen y(s)=y(s(x))
>
> [mm]\frac{dy}{ds}=\frac{dy}{dx}*\frac{dx}{ds}=\frac{dy}{dx}*e^s[/mm]
Nach der Anwendung der Kettenregel müsstest du dann aber eher y(s)=y(x(s)) oben schreiben, oder? Ansonsten müsste die äußere Ableitung nämlich nach s(x) gehen und die Innere nach x.
> dann hattest du [mm]\frac{dy}{dx}=y(s)/x=y/e^s[/mm] also
> [mm]\frac{dy}{dx}*e^s=y(s)[/mm] insgesamt:
> [mm]\frac{dy}{ds}=y(s)[/mm]
> daraus wird y(s) bestimmt z.B y=sin(s) damit ist dann
> y(x)=sin(lnx)
> wenn jemand allgemein schreibt [mm]f(t(x))=f(x) [/mm]. meint er
> nur eine funktion von t(x) kann man uch als funktion von x
> auffassen NICHT mit f=sin sin(t(x))=sin(x)
> Die Schreibweise mit dem allgemeinen f oder y ist da
> irreführend.
Das finde ich aber auch, dann sollte man eher y(x)=h(s(x)) schreiben und so weiter machen.
> also wenn du für y(s) eine funktion bestimmt hast musst
> du statt s lnx einsetzen, wenn du die fkt von x explizit
> haben willst.
> Gruss leduart
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 Mi 02.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Es kommt oft zu Verwirrung, wenn man nach der Substitution die Bez. der Funktionen nicht ändert.
Für j=1,2 setze [mm] z_j(s):= y_j(e^s)
[/mm]
Dann ist [mm] z_1'(s)=y_1(e^s)*e^s=3y_2(e^s)=3z_2(s)
[/mm]
und (analog) [mm] z_2'(s) =-3z_1(s)
[/mm]
FRED
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