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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:37 Di 26.03.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{1}^{e} [/mm] (ln [mm] t)^{2}*\bruch{1}{t} [/mm] dt |
Hallo,
ich möchte obiges Integral mithilfe von Substitution lösen. Leider komme ich gleich beim ersten Schritt nicht weiter, da ich nicht weiß, was t ist?!
Soll ich vllt bei der N.R. angeben t= [mm] t^{2} [/mm] ??
Und dann die neuen Grenzen so berechnen:
Obere Grenze: [mm] (e)^{2} [/mm] = [mm] e^{2}
[/mm]
Untere Grenze: [mm] (1)^{2} [/mm] = 1
Dann Substitution:
t = [mm] t^{2} [/mm] ????? [mm] \Rightarrow \bruch{dt}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{d(t^{2})}{dx} [/mm] = [mm] t^{2}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{dt}{t^{2}} [/mm] = dx
[mm] \integral_{1}^{e} [/mm] (ln [mm] t)^{2}*\bruch{1}{t} [/mm] dt = [mm] \integral_{1}^{e^{2}} [/mm] ?????
Ich hab keine Ahnung :-( ... ich glaub das ist alles falsch... :-(
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:32 Di 26.03.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
> [mm]\integral_{1}^{e}[/mm] (ln [mm]t)^{2}*\bruch{1}{t}[/mm] dt
> Hallo,
>
> ich möchte obiges Integral mithilfe von Substitution
> lösen. Leider komme ich gleich beim ersten Schritt nicht
> weiter, da ich nicht weiß, was t ist?!
>
t ist die Integrationsvariable.
Die Variable der Funktion f wurde hier t genannt, d.h. dass die Funktion "nimm den natürlichen Logarithmus einer Zahl, quadriere das Ergebnis und teile durch die Zahl" in der Form $ f(t) = [mm] (ln(t))^2*\bruch{1}{t} [/mm] $ geschrieben wurde. Genausogut hätte man $ f(x) = [mm] (ln(x))^2*\bruch{1}{x} [/mm] $ oder $ [mm] f(\alpha) [/mm] = [mm] (ln(\alpha))^2*\bruch{1}{\alpha} [/mm] $ schreiben können. Die Wahl der Namensgebung folgt oft gewissen Konventionen t : Zeit, [mm] \alpha [/mm] : Winkel, ... .
Diese Variable der Funktion ist hier auch die Integrationsvariable, wie man an dem dt erkennt.
Es ist also [mm] \integral_{1}^{e}$ [/mm] (ln$ [mm] $t)^{2}*\bruch{1}{t} [/mm] $ $ dt $ = [mm] \integral_{1}^{e}$ [/mm] (ln$ [mm] $x)^{2}*\bruch{1}{x} [/mm] $ $ dx $ = [mm] \integral_{1}^{e}$ [/mm] (ln$ [mm] $\alpha)^{2}*\bruch{1}{\alpha} [/mm] $ $ [mm] d\alpha [/mm] $
(aber [mm] \integral_{1}^{e}$ [/mm] (ln$ [mm] $t)^{2}*\bruch{1}{t} [/mm] $ $ dx $ ist etwas völlig anderes !)
> Soll ich vllt bei der N.R. angeben t= [mm]t^{2}[/mm] ??
>
Das sieht formal sehr schlecht aus und macht auch gar keinen Sinn, weil die Funktion den Term [mm] t^2 [/mm] (bzw. [mm] x^2 [/mm] oder [mm] \alpha^2) [/mm] gar nicht enthält.
Gehe von meiner zweiten Schreibweise aus und Substituiere t = ln x , oder von der dritten und substituiere [mm] \beta [/mm] = ln [mm] \alpha [/mm] oder von der ersten und substituiere x = ln t oder ...
Gruß Sax.
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