Substitution II < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
ich bin in folgendem Integral auf ein Problem gestoßen:
[mm] \integral_{0}^{ \pi}{sin²(x) dx}
[/mm]
Mit der produktregel hat es geklappt, der Wert beträgt [mm] \bruch{1}{2} \pi [/mm] .
Jetzt hatte ich aber zuerst versucht über die Substitutionsregel II das Integral zu lösen.
t := sin(x), somit [mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] = cos(t) also dx = [mm] \bruch{1}{cos(t)}
[/mm]
Durch diese Substitution haben sich aber meine Integrationsgrenzen verändert, und zwar beide auf 0, somit muss der Flächeninhalt ja auch 0 sein!
Habe ich etwa die zweite Substitutionsregel widerlegt? 
Lg
Flipper
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Mi 12.01.2005 | | Autor: | moudi |
> Hi,
> ich bin in folgendem Integral auf ein Problem gestoßen:
> [mm]\integral_{0}^{ \pi}{sin²(x) dx}
[/mm]
> Mit der produktregel
> hat es geklappt, der Wert beträgt [mm]\bruch{1}{2} \pi[/mm] .
> Jetzt hatte ich aber zuerst versucht über die
> Substitutionsregel II das Integral zu lösen.
> t := sin(x), somit [mm]\bruch{dt}{dx}[/mm] = cos(t) also dx =
> [mm]\bruch{1}{cos(t)}
[/mm]
Zuerst noch ein kleiner (grosser?) Fehler: es gilt natürlich [mm]\bruch{dt}{dx}=\cos(x)[/mm]
> Durch diese Substitution haben sich aber meine
> Integrationsgrenzen verändert, und zwar beide auf 0, somit
> muss der Flächeninhalt ja auch 0 sein!
Ja deine Folgerung ist an und für sich richtig. Der Fehler muss in der Substitution liegen!
Die Funktions [mm]t=\sin(x)[/mm] ist nur im Intervall [mm][0,\frac\pi2][/mm] oder im Intervall [mm][\frac\pi2,\pi][/mm] injektiv, aber nicht im Intervall [mm][0,\pi2][/mm]. Die Injektivität ist eine Voraussetzun für die Substitutionsregel (das muss irgendwo im Kleingedruckten stehen), sonst ist die Substitution nich korrekt.
Wenn du mit der Substitution arbeiten willst, musst du das Integral aufteilen:
[mm]\int_{0}^{ \pi}\sin²(x)\,dx=\int_{0}^{\pi/2}\sin²(x)\,dx+\int_{\pi/2}^{\pi}\sin²(x)\,dx[/mm]
Dann kannst du auf beide Teile einzeln obige Substitution anwenden.
> Habe ich etwa die zweite Substitutionsregel widerlegt?
So schnell geht das in der Mathematik nicht.
mfg Moudi
>
> Lg
> Flipper
>
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Hallo, Flipper368
mich würde auch interessieren, wie Du dann [mm] $\bruch{t^2\text{dt}}{\cos (t)}$ [/mm] integriert hast / ( hättest )
-:)
F.
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Hi,
in diesem Falle hätte ich aufgegeben und mir einen anderen Weg überlegt .
Aber es ging mir nur um die Integrationsgrenzen, weil ich den Verdacht hatte da was falsch zu machen.
Vielen Dank an euch beide.
Lg
Flipper
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Hallo Flipper
$ [mm] \integral_{0}^{\pi} {sin^2 (x) dx} =sinx\cdot{}(-cosx) |_{0}^{\pi} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{\pi}(-cosx)(cosx) [/mm] dx $
$ [mm] cos^2 [/mm] x + [mm] sin^2 [/mm] x =1 $ und
$- [mm] \integral_{0}^{\pi}(-cosx)(cosx) [/mm] dx = [mm] \integral_{0}^{\pi}(1-sin^2 [/mm] x)dx $
$ [mm] sinx\cdot{}(-cosx) |_{0}^{\pi} [/mm] = 0 $
$ [mm] \integral_{0}^{\pi} {sin^2 (x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\pi}(1-sin^2 [/mm] x)dx $
$ [mm] \integral_{0}^{\pi} {sin^2 (x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\pi}dx [/mm] - [mm] \integral_{0}^{\pi}(sin^2 [/mm] x)dx $
$ [mm] 2\integral_{0}^{\pi} {sin^2 (x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\pi}dx [/mm] = [mm] \pi [/mm] $
$ [mm] \integral_{0}^{\pi} {sin^2 (x) dx} [/mm] = [mm] \pi/2 [/mm] $
Grüsse
Sauerstoff
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