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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass es sich bei der Funktion S mit der Gleichung
[mm] S(t)=80ln(5e^{0,8t}+59) [/mm] um eine Stammfunktion der Funktion N mit
[mm] N(t)=\bruch{320}{5+59e^{-0,8t}}, t\in\IR\ge [/mm] 0 handelt |
Hallo zusammen,
ich verzweifele hier seit 2 Tagen an dieser Aufgabe.
Augenscheinlich gibt es ja 2 Ansätze für diese Aufgabe:
- Die Ableitung von S(t) bestimmen, welche N(t) sein sollte, oder
- Die Stammfunktion von N(t), also [mm] \integral{N(t)dt} [/mm] errechnen, welche S(t) wäre.
Bei beiden Ansätzen komme ich jedoch einfach nicht weiter! Hier mal meine Rechnungen:
[mm] S(t)=80ln(5e^{0,8t}+59)
[/mm]
[mm] u(v)=80ln(v)\qquad \Rightarrow\qquad u'(v)=\bruch{80}{v}
[/mm]
[mm] v(t)=5e^{0,8t}+59\quad\Rightarrow\qquad v'(t)=4e^{0,8t}
[/mm]
[mm] S'(t)=u'(v(t))\cdot v'(t)=\bruch{80}{(5e^{0,8t}+59)}\cdot 4e^{0,8t}=\bruch{320e^{0,8t}}{(5e^{0,8t}+59)}
[/mm]
Und hier komme ich nicht weiter. Wie kann ich diesen Bruch jetzt trotz der Summe im Nenner weiter bearbeiten??
Auch bei der Stammfunktion von N(t) hakts gewaltig.
[mm] N(t)=\bruch{320}{5+59e^{-0,8t}}=320(5+59e^{-0,8t})^{-1}
[/mm]
hier scheine ich ja eine Substitution durchführen zu müssen, aber irgendwie passt mein Ansatz nicht:
[mm] u(v)=\bruch{320}{v}
[/mm]
[mm] v(t)=5+59e^{-0,8t}\qquad\Rightarrow\qquad v'(t)=-\bruch{236}{5}e^{-0,8t}=\bruch{dv}{dt}\qquad\gdw\qquad dt=-\bruch{5}{236e^{-0,8t}}dv
[/mm]
[mm] \integral{N(t)dt}=\integral{\bruch{320}{v}\cdot(-\bruch{5}{236e^{-0,8t}})dv^2}
[/mm]
Ich schätze mal hier mache ich etwas falsch. Das t dürfte in diesem Integral doch garnicht mehr auftauchen, oder irre ich mich?
Hoffentlich kann mir hier jemand helfen, ich danke allen die es versuchen wollen schonmal im Vorraus!
MfG Endo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Endo, erstmal ein etwas verspätetes ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Zeigen Sie, dass es sich bei der Funktion S mit der
> Gleichung
>
> [mm]S(t)=80ln(5e^{0,8t}+59)[/mm] um eine Stammfunktion der Funktion
> N mit
>
> [mm]N(t)=\bruch{320}{5+59e^{-0,8t}}, t\in\IR\ge[/mm] 0 handelt
> Hallo zusammen,
>
> ich verzweifele hier seit 2 Tagen an dieser Aufgabe.
>
> Augenscheinlich gibt es ja 2 Ansätze für diese Aufgabe:
> - Die Ableitung von S(t) bestimmen, welche N(t) sein
> sollte, oder
> - Die Stammfunktion von N(t), also [mm]\integral{N(t)dt}[/mm]
> errechnen, welche S(t) wäre.
Ja, beides geht, der erste Ansatz ist aber eigentlich immer der einfachere.
> Bei beiden Ansätzen komme ich jedoch einfach nicht weiter!
> Hier mal meine Rechnungen:
>
> [mm]S(t)=80ln(5e^{0,8t}+59)[/mm]
>
> [mm]u(v)=80ln(v)\qquad \Rightarrow\qquad u'(v)=\bruch{80}{v}[/mm]
Das ist ungenau und würde Dir angestrichen werden. Richtig ist, gleich die Kettenregel zu verwenden, was Du ja dann später auch tust.
> [mm]v(t)=5e^{0,8t}+59\quad\Rightarrow\qquad v'(t)=4e^{0,8t}[/mm]
>
>
> [mm]S'(t)=u'(v(t))\cdot v'(t)=\bruch{80}{(5e^{0,8t}+59)}\cdot 4e^{0,8t}=\bruch{320e^{0,8t}}{(5e^{0,8t}+59)}[/mm]
>
> Und hier komme ich nicht weiter. Wie kann ich diesen Bruch
> jetzt trotz der Summe im Nenner weiter bearbeiten??
Du erweiterst den Bruch mit [mm] \bruch{e^{-0,8t}}{e^{-0,8t}}
[/mm]
Danach bist Du mit der Aufgabe fertig.
> Auch bei der Stammfunktion von N(t) hakts gewaltig.
> [mm]N(t)=\bruch{320}{5+59e^{-0,8t}}=320(5+59e^{-0,8t})^{-1}[/mm]
>
> hier scheine ich ja eine Substitution durchführen zu
> müssen, aber irgendwie passt mein Ansatz nicht:
>
> [mm]u(v)=\bruch{320}{v}[/mm]
> [mm]v(t)=5+59e^{-0,8t}\qquad\Rightarrow\qquad v'(t)=-\bruch{236}{5}e^{-0,8t}=\bruch{dv}{dt}\qquad\gdw\qquad dt=-\bruch{5}{236e^{-0,8t}}dv[/mm]
>
> [mm]\integral{N(t)dt}=\integral{\bruch{320}{v}\cdot(-\bruch{5}{236e^{-0,8t}})dv^2}[/mm]
>
> Ich schätze mal hier mache ich etwas falsch. Das t dürfte
> in diesem Integral doch garnicht mehr auftauchen, oder irre
> ich mich?
Stimmt. Man kann es auch wegbekommen, indem man mal umrechnet
[mm] t=-\bruch{5}{4}\ln{\left(\bruch{v-5}{59}\right)}
[/mm]
...aber das Integral wird dadurch ja auch nicht leichter.
Besser wäre, den Integranden (in Anlehnung an die Rechnung oben) erst einmal mit [mm] \bruch{e^{0,8t}}{e^{0,8t}} [/mm] zu erweitern und dann Zähler oder Nenner zu substituieren.
Für die Aufgabe ist das aber viel zu mühsam. Die Ableitung oben genügt doch, und Deine Lösung war richtig, nur die Umformung zur Zieldarstellung der Funktion fehlte noch.
> Hoffentlich kann mir hier jemand helfen, ich danke allen
> die es versuchen wollen schonmal im Vorraus!
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:26 Sa 01.09.2012 | | Autor: | Endorphin |
> [mm]S'(t)=u'(v(t))\cdot v'(t)=\bruch{80}{(5e^{0,8t}+59)}\cdot 4e^{0,8t}=\bruch{320e^{0,8t}}{(5e^{0,8t}+59)}[/mm]
> Du erweiterst den Bruch mit [mm]\bruch{e^{-0,8t}}{e^{-0,8t}}[/mm]
> Danach bist Du mit der Aufgabe fertig.
[mm] \bruch{320e^{0,8t}}{(5e^{0,8t}+59)}=\bruch{320e^{0,8t}}{(5e^{0,8t}+59)}\cdot\bruch{e^{-0,8t}}{e^{-0,8t}}=\bruch{320e^{0,8t-0,8t}}{5e^{0,8t-0,8t}+59e^{-0,8t}}=\bruch{320}{5+59e^{-0,8t}}=N(t)
[/mm]
Hossa, das geht ja auf!  Manchmal hat man auch ein Brett vorm Kopf...
Die Integration mittels Substitution werde ich mir wohl nochmal anschauen müssen.
Herrlich Ich danke dir!
-Endo
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