Substitution & Partielle Integ < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Sa 03.05.2014 | | Autor: | needmath |
| Aufgabe | Lösen Sie folgende unbestimmte Integrale:
a) [mm] \integral{t^n ln(t) dt}
[/mm]
b) [mm] \integral{\bruch{sin\wurzel[3]{x}}{\wurzel[3]{x}} dx} [/mm] |
a) kann ich das integral auch durch substitution lösen statt mit der partiellen integration?
[mm] \integral{t^n lnt dt}
[/mm]
u = lnt
[mm] \bruch{du}{dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{t} \gdw [/mm] dt = t du
[mm] \Rightarrow
[/mm]
dt = [mm] e^u [/mm] du
[mm] \integral{t^n lnt dt} [/mm] = [mm] \integral{e^{un} * u * e^u du} [/mm] = [ [mm] \bruch{e^{un}}{n} [/mm] * [mm] \bruch{u^2}{2} [/mm] * [mm] e^u]
[/mm]
habe ich was falsch gemacht oder kann man das integral nicht durch substitution lösen?
wie kann ich b) durch substitution lösen? was soll ich substituieren?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 Sa 03.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Lösen Sie folgende unbestimmte Integrale:
>
> a) [mm]\integral{t^n ln(t) dt}[/mm]
>
> b) [mm]\integral{\bruch{sin\wurzel[3]{x}}{\wurzel[3]{x}} dx}[/mm]
>
>
> a) kann ich das integral auch durch substitution lösen
> statt mit der partiellen integration?
>
> [mm]\integral{t^n lnt dt}[/mm]
>
> u = lnt
>
> [mm]\bruch{du}{dt}[/mm] = [mm]\bruch{1}{t} \gdw[/mm] dt = t du
>
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> dt = [mm]e^u[/mm] du
>
> [mm]\integral{t^n lnt dt}[/mm] = [mm]\integral{e^{un} * u * e^u du}[/mm] = [
> [mm]\bruch{e^{un}}{n}[/mm] * [mm]\bruch{u^2}{2}[/mm] * [mm]e^u][/mm]
>
>
> habe ich was falsch gemacht
Da letzte"=" ist völlig falsch.
FRED
>oder kann man das integral
> nicht durch substitution lösen?
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Sa 03.05.2014 | | Autor: | needmath |
hi,
was genau ist falsch?
[mm] \integral{t^n lnt dt} [/mm] = [mm] \integral{e^{un} * u * e^u du} [/mm]
ist das bishierhin richtig?
|
|
|
| |
|
Bis dahin ist es richtig. Aber jetzt geht es wieder mit partieller Integration weiter.
Ich glaube nicht, daß es möglich ist, das vorliegende Integral ohne aufwendige Verrenkungen mit einer Substitution zu lösen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Sa 03.05.2014 | | Autor: | needmath |
hi,
dann löse ich es lieber gleich mit der partiellen integration:
[mm] \integral{t^n ln(t) dt} [/mm] = [ [mm] \bruch{t^{n+1}}{n+1} [/mm] *lnt ] - [mm] \integral{ \bruch{t^{n+1}}{n+1} * \bruch{1}{t}dt} [/mm] = [ [mm] \bruch{t^{n+1}}{n+1} [/mm] *lnt ] - [mm] \bruch{1}{n+1}\integral{t^n dt}
[/mm]
= [ [mm] \bruch{t^{n+1}}{n+1} [/mm] *lnt ] - [mm] \bruch{t^{n+1}}{n+1}
[/mm]
ist die lösung richtig?
wie löse ich auf b) am besten? mit substitution oder partielle integration? bei ersteres wüsste ich nicht was ich substituieren soll
|
|
|
| |
|
Hallo
a)
du möchtest lösen [mm] \integral_{}^{}{t^n dt}=\bruch{t^{n+1}}{n+1}
[/mm]
es fehlt also der Exponent 2
[mm] \bruch{t^{n+1}}{n+1}*ln(t)-\bruch{t^{n+1}}{(n+1)^2}+C
[/mm]
b)
substituiere zunächst [mm] x^{\bruch{1}{3}}
[/mm]
dann partielle Integration
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 So 04.05.2014 | | Autor: | needmath |
[mm] \integral{\bruch{sin\wurzel[3]{x}}{\wurzel[3]{x}} dx}
[/mm]
u = [mm] x^\bruch{1}{3} [/mm]
[mm] \bruch{du}{dx}= \bruch{1}{3}x^\bruch{-2}{3} \gdw [/mm] dx = [mm] \bruch{3du}{x^\bruch{-2}{3}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{sinu}{u} \bruch{3du}{x^\bruch{-2}{3}}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral{\bruch{sinu}{u} \bruch{3du}{u^{-2}}} [/mm] = 3 [mm] \integral{ sinu(u) * u } [/mm] =
[-cos(u)*u] + [mm] \integral{cos(u) du} [/mm] = -cos(u)*u + sin(u) +c = [mm] -cos(x^\bruch{1}{3} )*x^\bruch{1}{3} [/mm] + [mm] sin(x^\bruch{1}{3} [/mm] ) +c
stimmt die lösung? meine eigentliche frage ist wieso ich hier eigentlich die Substitution anwenden kann? ich habe gelernt, dass man die substitution anwenden kann, wenn folgende bedingung erfüllt ist: [mm] \integral{f(x) * f'(x)dx}
[/mm]
also wenn der zweite faktordie ableitung des ersten faktors ist. muss die bedingung nicht erfüllt sein, um die substitution zu benutzen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 So 04.05.2014 | | Autor: | jayw |
Du hast die vor das Integral gezogene 3 noch vergessen in der Lösung. Substituieren darf man eigentlich immer, es führt nur nicht immer zu einem einfacheren Integral und zur Lösung.
|
|
|
|
