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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:27 So 16.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Hallo im Matheraum,
ich wollte mal wissen, ob es generell irgendwelche guten Tipps für die Substitution bei Integralen gibt???
Oder ist das zu "Aufgabenspezifisch"???
Ich stecke hier nämlich ziemlich fest...
Ich habe zwar eine Idee, aber ich komm nicht auf die korrekte Substitution.
Gibt es vielleicht Tricks, mit denen es leichter geht???
Vielen Dank, Grüße von Cathrine
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 19:39 So 16.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Hach ja, wie deprimierend!!!
Es ist gerade so als sei Analysis ein unüberwindbares Hindernis, obwohl es früher meine absolute Stärke war :-(
... okay, die Aufgabe ist:
[mm]\integral_{-a}^{a}=\wurzel{b²-\bruch{1}{a²}x²} dx [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 So 16.05.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Cathrine,
ich gebe dir mal ein paar Tipps für solche Aufgaben.
Man wendet bei solchen Aufgaben am besten trigonometrische Substitutionen an:
Ein Integrand, in dem einer der Ausdrücke
[mm] $\sqrt{a^2 - b^2 x^2}$,
[/mm]
[mm] $\sqrt{a^2 + b^2 x^2}$
[/mm]
oder
[mm] $\sqrt{b^2 x^2 -a^2}$,
[/mm]
aber kein anderer irrationaler Faktor steht, kann in einen anderen umgeformt werden, indem man als neue Veränderliche trigonometrische Funktionen einführt.
1) Für
[mm] $\sqrt{a^2 - b^2 x^2}$
[/mm]
benutze
$x = [mm] \frac{a}{b} \sin(u)$,
[/mm]
um folgendes zu erhalten:
$a [mm] \sqrt{1 - \sin^2(u)} [/mm] = [mm] a\cos(u)$.
[/mm]
2) Für
[mm] $\sqrt{a^2 + b^2 x^2}$
[/mm]
benutze
$x = [mm] \frac{a}{b} \tan(u)$,
[/mm]
um folgendes zu erhalten:
$a [mm] \sqrt{1 - \tan^2(u)} [/mm] = [mm] a\sec(u)$.
[/mm]
3) Für
[mm] $\sqrt{b^2 x^2 - a^2}$
[/mm]
benutze
$x = [mm] \frac{a}{b} \sec(u)$,
[/mm]
um folgendes zu erhalten:
$a [mm] \sqrt{\sec^2(u)- 1} [/mm] = [mm] a\tan(u)$.
[/mm]
Versuche mit einem dieser "Tricks" (okay, ich helfe dir: mit Hilfe von 1)  ) dein Integral zu "knacken" und melde dich bitte mit einem Lösungsvorschlag oder weiteren Fragen. Allerdings muss dir dann jemand anders helfen, denn ich bin jetzt erst einmal weg.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 So 16.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Übrigens:
[mm] a,b\in(0, unendlich) [/mm]
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:25 So 16.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Ich glaube, dann ist mein Ansatz völlig daneben, ich dachte man soll nach a substituieren (wegen der Grenzen). Hat das überhaupt damit zu tun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:09 Mo 17.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Cathrine
nein, du musst gar nicht auf die Grenzen achten, wenn du nach einer geeigneten Substitution suchst. Die Substitution hat nur den Zweck, überhaupt eine Stammfunktion zu finden. Und dann muss immer das $x$ durch ein geeigneten $g(x)$ ersetzt werden.
Klar, die Grenzen ändern sich mit der Substitution auch, aber das ist nicht das Kriterium, wenn es darum geht, welche Substitution man denn wählen soll!
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:35 Di 18.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Okay, das finde ich einleuchtend, dass man also immer das x substituieren muss!!!
Nur das mit dem g(x) verstehe ich nicht. Und vor allem verstehe ich die Substitution im Bezug auf ihre Formel nicht.
Kann man die Formel tatsächlich gebrauchen???
Wenn ja, was ich annehme, - kann mir jemand sagen WIE???
Bye Cathy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:08 Di 18.05.2004 | | Autor: | Julius |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Liebe Cathrine,
die allgemeine Substitutionsformel lautet ja:
$\int\limits_a^b f(x)\, dx = \int\limits_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)} f(g(x))\, g'(x)\, dx$
(oder:
$\int\limits_{g(a)}^{g(b)} f(x)\, dx = \int\limits_a^b f(g(x))\, g'(x)}\, dx$.)
Die meinte Paul.
Beispiele zu dieser Formel findest du ja hinreichend viele in meinem anderen Beitrag. Arbeite die jetzt mal durch und versuche sie anschließend formal wie oben zu schreiben, d.h. finde mal zu jedem der Beispiele die Funktion $g(x)$.
Dann solltest du das Prinzip verstehen. 
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:53 Mo 17.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Hallo an alle,
sorry, tut mir leid, wenn ich schon wieder mit der Substitution nerve, aber ich halte sie für wirklich wichtig...
Ich will es wirklich verstehe, bin aber grade noch meilenweit entfernt davon... :-(
1) Gibt es "bestimmte Substitutionen" z.B für Ausdrücke wie x², exp, log, sin, cos.... etc??????
2) Wenn nicht, was ich befürchte, wie geht man eine Substitutionsaufgabe am geschicktesten an???
Also zu dem, was Stefan geschrieben hat ... Hm? Ich weiß nicht genau, wie das gemeint ist. (Sorry!)
Das bezog sich wohl nur auf die Aufgabe, oder?
Und zu guter letzt:
Wie gehe ich die Substitution hier an:
[mm] \integral_{1}^{4} [/mm] [mm] \bruch{exp(\wurzel{x}}{\wuzel{x}} [/mm]
Die letzte Frage ist natürlich auch wichtig, aber nicht soooo wie die anderen
Grüße und Danek schon mal, Cathrine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:57 Di 18.05.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Cathrine,
so allgemeine "Kochrezepte" können wir natürlich nicht aufstellen. Sind sind aber von der Seite ![[]](/images/popup.gif) http://www.tedstriker.de/Downloads/Downloads2.htm mal ein paar typische Substitutionsaufgaben. Arbeite die doch mal am besten alle durch und versuche das Verfahren zu verinnerlichen.
Die Methode von Stefan funktioniert immer bei den angegebenen Ausdrücken, nicht nur bei der speziellen Aufgabe. Hast du es denn für diese Aufgabe mal versucht? Lass uns doch mal an deinen Ansätzen teilhaben.
[Dateianhang nicht öffentlich]
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Bei der letzten Frage ist was verloren gegangen, denke ich. Kannst du das Integral noch einmal eingeben?
Liebe Grüße
Julius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Anhang Nr. 6 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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